2023届河北省张家口市部分学校高三上学期期中数学试题含解析

2023届河北省张家口市部分学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，集合．若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断集合是否为空集，然后根据题意求解即可.

【详解】显然，故，要使，则，解得.

故选：C

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出复数的模，再代入计算即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D

3．已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差，进而可根据求和公式即可.

【详解】设等差数列的公差为，由，得，

所以

故选：B

4．已知等比数列各项均为正数，且，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】代入等比数列的通项公式，即可求解

【详解】根据等比数列的通项公式可知，，

所以，解得：或（舍），

故选：A

5．钝角的内角A，B，C的对边分别是，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据题目信息可知，利用余弦定理可计算出，又因为是钝角三角形，比较三边大小可知，C角为钝角，由可计算出符合题意的取值，通过计算可求出的面积.

【详解】由及余弦定理可知，

，整理得，

解得或；

又因为是钝角三角形，比较三边大小可知，为最大边，

所以C角为最大角，即C为钝角；

①当时，，符合题意，

此时的面积为；

②当时，，不符合题意；

综上可知，的面积为.

故选：C.

6．已知中，，设点M，N满足，，若，则（    ）

A．2 B．3 C．2或3 D．或3

【答案】D

【分析】首先用基底表示，代入数量积公式，即可求解.

【详解】,,

所以

,

即

解得：或.

故选：D

7．小明同学想要测得学校教学楼的高度，他在地面上共线的三点A，B，C处测得教学楼的仰角分别为，且，则学校教学楼的高度为（    ）m．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别在Rt，Rt，Rt中利用三角函数得到，，，然后在和中用余弦定理列方程，解方程即可得到教学楼的高度.

【详解】

设m在Rt中，，所以，

在Rt中，，所以，

在Rt中，，所以，

在和中分别用余弦定理得，解得.

故选：C.

8．在中，若，则的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根据二倍角公式以及正余弦定理边角互化即可求解.

【详解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，

由余弦定理边角互化可得：，

化简得，

因此或，故为直角三角形，

故选：B

二、多选题

9．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．的虚部为

C．若，则 D．

【答案】BCD

【分析】根据复数的模长公式以及复数虚部等概念即可根据选项逐一求解.

【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，

对于B; ,所以的虚部为，故正确，

对于C; 若，则,故

，故，正确，

对于D; 而,进而，故，所以正确，

故选：BCD

10．在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于A，直接判断即可；对于B，，结合即可判断；对于C，，结合即可判断；对于D，，结合即可判断.

【详解】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；

对于B，因为，

所以由正弦定理得，

因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；

对于C，因为，

所以由正弦定理得，即，

因为，所以有两解（，或，），故C正确；

对于D，因为，

所以由正弦定理得，

由于，故，所以只有一解，故D错误；

故选：BC

11．已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法确的是（    ）

A．为单调递增数列

B．

C．

D．当时，数列的前n项和满足

【答案】BCD

【分析】对于A，利用递推式得到，从而证得数列是单调递减数列，由此判断即可；对于B，先利用反证法证得，再由数列的单调性得到，据此判断即可；对于C，利用累加法即可证得，由此判断即可；对于D，利用数列的单调性与前项的定义即可证得，据此判断即可.

【详解】对于A，因为，

若，则，故是各项为的常数列，与矛盾，

所以，，则，故，即，

所以数列是单调递减数列，故A错误；

对于B，因为，

若，则，故是各项为负数的数列，与矛盾，所以，

又因为数列是单调递减数列，所以是数列中最大的项，所以，

综上：，故B正确；

对于C，因为，所以，则，

所以，

上述各式相加得，

又，所以，

经检验：，满足，

所以，故C正确；

对于D，由选项A知，，

所以，故D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数

B．的图象关于点对称

C．若函数在上的最大值、最小值分别为M、N，则

D．若函数满足，则实数a的取值范围是

【答案】BC

【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；

BC选项：根据对称性判断即可；

D选项：根据对称性将原不等式整理为，然后根据单调性列不等式求解即可.

【详解】A选项：， 所以的定义域为R，关于原点对称，，同时，所以非奇非偶，故A错；

B选项：的定义域为R， ，所以关于对称，故B正确；

定义域为R ，且，则关于对称，所以若在处取得最大值，则在处取得最小值，，故C正确；

因为关于对称，关于对称，所以，即，关于对称，

令，，则，所以函数为减函数，为减函数，

，所以为减函数，则为减函数，

，即，所以，解得，故D错.

故选：BC.

三、填空题

13．平面向量与的夹角为，，则_______________．

【答案】

【分析】利用数量积表示向量的模.

【详解】.

故答案为：

14．已知数列中，，则_______________．

【答案】-3

【分析】根据递推公式计算，，，，发现数列的周期为6，然后根据周期求即可.

【详解】由题意得，，，，，，，所以数列的周期为6，.

故答案为：-3.

15．已知，且有，则的最小值____________．

【答案】

【分析】根据完全平方公式以及基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当即，时取等号，由于，所以，

故答案为：

16．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据题意得，令，求导得，单调递增，得，得，令，求导，求即可解决.

【详解】由题知，， ，恒成立，

所以，

所以，

所以，

令，

所以，

因为，

当时，，单调递增，

所以，

所以，

所以，

令，

所以，

因为，当时，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数的最小正周期为．

(1)求的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数在区间上的图象；

(2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？

【答案】(1),图象见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据函数的解析式可得，由最小正周期为可计算的值；根据解析式利用五点作图法可画出函数在区间上的图象；（2）根据三角函数图象平移变换规律即可得出结果.

【详解】（1）由题意可知，

即，所以

此时，函数的最小正周期为，

所以，即函数的解析式为.

根据五点作图法列表如下：

画出图像如图所示：

（2）根据三角函数图象伸缩变换规律可知，

第一步：首先将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象；

第二步：再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象.

18．已知正项数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先等式变形为，利用累乘法求通项公式；

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）由条件可知，,

得，

当时，

，

当时，成立，

所以；

（2）由（1）可知，，

，

，

两式相减得，

19．已知的内角A，B，C的对边分别为，．

(1)求角的大小；

(2)若边上中线长为，，求的面积．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）三角恒等变换解决即可；（2）设中点为,得,得，分或两种情况解决即可.

【详解】（1）由题知，，

所以由正弦定理得，

因为在三角形中，

所以，

因为，

所以，

所以或

（2）由（1）得或

因为边上中线长为，，

设中点为,

所以,

所以，即，

所以，

当时，，解得，

当时，，解得，

所以

，或

20．已知正项数列的前n项和为，其中．

(1)求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)，数列不是等差数列，理由见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由得，当时，，然后两式相减得，即数列从第2项起为等差数列，根据和得到，即可得到，数列不是等差数列，然后求通项即可；

（2）利用裂项相消的方法求，即可证明.

【详解】（1）由得，当时，，两式相减得，整理得，

因为数列为正项数列，所以，则，即，

在中，令，则，

解得或-1（舍去），所以，

所以数列从第2项起为等差数列，公差为2，

所以，数列不是等差数列.

（2）当时，，

所以当时，

，

因为，所以，即.

21．已知分别为锐角内角的对边，．

(1)证明：；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；（2）由正弦定理，三角恒等变换得即可解决.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得,

因为在三角形中,

所以，

所以，

所以，或（舍去），

所以；

（2）由（1）得

所以由正弦定理得

,

因为锐角三角形，

所以，

所以，

所以,

所以，

所以的取值范围为

22．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数有两个不同的零点且，求证：．

【答案】(1)的极小值为，无极大值

(2)证明见解析

【分析】（1）当时，，对函数求导判断其单调性即可得出函数的极值；（2）根据函数有两个不同的零点，得出的取值范围，再根据可以限定的取值范围，分析法证明不等式即可.

【详解】（1）由题意可知，当时，，其定义域为

则，令得；

所以当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

因此，函数的极小值为，无极大值；

综上可知，函数的极小值为，无极大值.

（2）由题可知，；

当时，恒成立，即函数在上单调递增，

此时，函数不可能有两个不同的零点，不符合题意；

当时，令，则，

所以时，，即函数在上单调递减，

时，，即函数在上单调递增；

所以函数在处取极小值，也是最小值，即

又因为和时，，

所以若使函数有两个不同的零点，则需满足

又因为，所以，即，

是函数有两个不同的零点，

所以

即

所以，两边同时取对数可得

整理得

构造函数，则，

所以，，函数在上单调递减，

，，函数在上单调递增，

此时，又因为，

所以；

要证明不等式，只需证

只需证明，即，

等价于

又因为,，所以

又，所以；

所以，

即得证.

【点睛】方法点睛：

证明多元不等式通常的方法有三个：

（1）消元：可以利用条件代入消元，也可以将不等式变形后对多元不等式进行整体换元；

（2）变量分离后若结构相同，则可以将相同的结构通过构造函数，利用函数单调性与自变量大小来证明不等式；

（3）利用函数单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.