2023届陕西省部分重点高中高三上学期11月联考数学（文）试题含解析

2023届陕西省部分重点高中高三上学期11月联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．R

【答案】D

【分析】解不等式得到集合，，然后求并集即可.

【详解】由题意可得，，则.

故选：D.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.

【详解】.

故选：D

3．若函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的解析式由内到外可计算得出的值.

【详解】由题意可得，则.

故选：C.

4．已知向量，若与反向共线，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求，再验证向量是否反向即可.

【详解】因为共线，所以，得，

当时，，向量与方向相同，与条件矛盾，

当时，，向量与方向相反，满足条件，

所以，

故选：A.

5．《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可.

【详解】“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，

但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，

所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.

故选:B.

6．设满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】作出不等式组的可行域，平移直线，得出最大值时经过的点，联立方程组求出点A，代入即可求出最大值.

【详解】由题画出可行域如下图所示，

当直线平移到过点A时，取得最大值，

由，得，

所以，

故选：D.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义域，结合的正负判断即可.

【详解】定义域为，排除CD，又，排除A.

故选：B

8．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合指数函数的单调性、幂函数的单调性、余弦函数的正负性进行判断即可.

【详解】由，

由，

因为在第二象限，所以，

所以，

故选：C

9．若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.

【详解】由题可知在上有解，

即在上有解，

设 ，

当时，，递减，当时，，递增，

故，，

所以，解得，所以的取值范围是，

故选：A

10．在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，则正整数的值为（    ）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】C

【分析】由等差求和公式结合二次函数的性质得出正整数的值.

【详解】因为，所以可看成关于的二次函数，

由可知二次函数图像的对称轴为，所以，解得.

故选：C

11．若定义域为R的函数满足为偶函数，且对任意，均有，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到的图象关于直线对称，在上单调递增，在上单调递减，再解不等式即可.

【详解】函数满足为偶函数，所以的图象关于直线对称，

因为对任意，均有

所以在上单调递增.

又因为的图象关于直线对称，所以在上单调递减.

因为，

所以的解集为.

故选：A

12．已知函数，若对任意的有解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据方程有解，可得有解，将变形为，讨论和，利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】由题意有解可得有解,

因为，所以，

所以,

当时，，当且仅当，即时取等号，

则，即，

当时，，当且仅当，即时取等号，

则，即，

综上，，

故选：D

二、填空题

13．在等比数列中，，则__________.

【答案】

【分析】设数列的公比为，根据等比数列性质列方程求，结合等比数列性质求.

【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，故，

所以，

故答案为：.

14．函数的极值点为，则______.

【答案】-3

【分析】由极值点的定义可求，再由同角关系，两角和正切公式可求.

【详解】因为，

所以

因为函数的极值点为，

所以，且，

所以，所以，

所以.

故答案为：-3.

15．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.

【答案】8

【分析】可分别构造与，分别求得的长度以及、，根据数量积的定义以及运算律即可求得；也可取中点为，构造，求出以及的值.又，根据数量积的定义即可求得.

【详解】方法一：

图3

如图3，取中点为，连结，显然过点.

易知，，，

则，，.

所以，.

图4

如图4，延长交于，易知是的中点，且.

则，，

在中，，.

所以，.

所以，.

故答案为：8.

方法二：

图5

取中点为，连结，显然过点.

易知，，，

如图5，取中点为，显然，，.

在中，，.

又为中点，则.

所以，.

故答案为：8.

16．函数的值域是__________．

【答案】

【分析】化简函数解析式，通过换元转化为3次函数，利用导数研究函数的单调性， 根据单调性求值域.

【详解】因为，所以，

令，则，故原函数可化为，且，

所以，令，可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

又，，，，

所以函数，的值域为，

所以函数的值域是，

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合周期公式即可求解；

（2）结合平移法则和诱导公式化简得，由余弦函数图象特征解不等式即可求解.

【详解】（1）

，故；

（2）因为，向左平移个单位长度，

得到，

故要使，需满足，解得，故的解集为

18．已知一次函数满足.

(1)求的解析式；

(2)若对任意的，恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设函数，代入对应系数相等即可.

(2) 把分离参量，然后用基本不等式求最大值.

【详解】（1）设，

则，

所以解得

所以的解析式为.

（2）由，，可得，

，当且仅当即时，取得最大值，

所以，即的取值范围为.

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)求角B的最大值，并说明此时的形状.

【答案】(1)证明见解析

(2)，等边三角形

【分析】（1）由切化弦结合正弦定理即可证明；

（2）由余弦定理结合均值不等式即可求出结果．

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以，

所以，由正弦定理得；

（2），

当且仅当时，取得最小值，所以角取得最大值，

此时为等边三角形．

20．已知正项数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据求解可得，结合正项数列与等差数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）可得，再裂项相消求和证明即可.

【详解】（1）令，则，又，得.

当时，因为，所以，

两式相减得，

即.

又因为，所以，

则是公差为的等差数列，

故.

（2）证明：由（1）可得，

所以

因为，所以，

因此.

21．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求在上的最大值与最小值．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)最大值为1，最小值为．

【分析】（1）对参数分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可；

（2）根据（1）中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.

【详解】（1）因为．

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，若，；若，，

所以在上单调递减，在，上单调递增；

当时，若，；若，．

所以在上单调递增，在，上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递增，在，上单调递减.

（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最大值为．

因为，，所以在上的最小值为．

综上所述：的最大值为，最小值为.

22．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导数的几何意义及直线的点斜式即可求解.

（2）利用导数法求出函数的最小值及基本不等式，结合导数的几何意义、两直线平行的条件及直线的点斜式方程即可求解.

【详解】（1），

，则，

所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）设，令，则.

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在时取得最大值2，即.

，当且仅当时，等号成立，取得最小值2.

因为，所以，得.

即，

所以直线的方程为，即.