2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题含解析

2023届山东省淄博市部分学校高三上学期12月教学质量摸底检测数学试题

一、单选题

1．已知，i是虚数单位，且是纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算得到，再由纯虚数的概念得到，结合复数的模的定义即可求解.

【详解】因为，是虚数单位，

所以，

又是纯虚数，则，解得：，

所以，

故选：A.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分清楚集合，然后再进行集合的运算即可.

【详解】对于集合：；

对于集合：；

故选：C

3．已知数列是等比数列，且，，则公比（    ）

A． B．2或 C． D．或

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式，代入解方程即可.

【详解】因为等比数列的通项公式

所以,，

又因为，

即所以.

故选：B

4．已知角α的顶点与坐标原点O重合，角的始边与x轴非负半轴重合，点P是α的终边与单位圆的交点．若在x轴上的投影向量的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由投影向量的坐标可得点P横坐标，根据三角函数的定义，求得，二倍角公式求出.

【详解】若在x轴上的投影向量的坐标为，则点P横坐标为，点P是α的终边与单位圆的交点，有，∴.

故选：B

5．若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求实数a的取值范围.

【详解】由题可知，，则有，

因为，所以，

因为，当且仅当即时等号成立，

所以，

故选:C.

6．函数与函数的图象交于不同的两点，.若点满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据函数和函数的奇偶性得到和两点关于原点对称，再利用这个结论结合得到含有和这两个未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为是一次函数，且函数图象过原点，所以的图象关于原点对称，为奇函数，

函数的定义域为，关于原点对称，

，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称.

又因为函数与函数的图象交于不同的两点和，

所以和关于原点对称，设，则，

因为，所以，，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

当且仅当时等号成立.

故选：A.

7．已知定义在R上的函数和，导函数的定义域也为R．若为偶函数，，，则下列不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】容易分析知在轴两侧的一段区域内单调性相反，；再经过赋值法可以依次判断ACD是否正确.

【详解】依题意：为偶函数，导函数的定义为R，，B对；

令代入A对；

又又，

D对；

又为偶函数，为奇函数；

由又，

也为周期为4的函数，

C错；

故选：C

8．已知，，，则下列关系式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造新的函数，，，，求导判断函数的单调性，即可比较大小.

【详解】设函数，则，当时，，

所以在上单调递增，当时，，即，所以.

设函数，，则，

所以在上单调递减，当时，，

所以当时，，即，所以.

设，，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，即，，

所以，所以，故.

故选：D

二、多选题

9．已知函数（，，）的部分图象如图，则（    ）

A．函数解析式

B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数在区间上的最大值为2

【答案】BC

【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断各选项即可.

【详解】由题图知：，函数的最小正周期满足，即，

则，所以函数．

将点代入解析式中可得，即，

则，得，因为，所以，

因此，故A错误；

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B正确；

由，当时，，故C正确；

当时，，所以，

即，即最大值为，故D错误．

故选：BC．

10．甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A．，，是两两互斥的事件 B．

C．事件与事件相互独立 D．

【答案】AD

【分析】根据的意义可求其概率，从而可判断D的正误，根据全概率公式可计算，故可判断B的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断AC的正误.

【详解】，

又，故D正确.

故

，故B错误.

，故，

所以事件与事件不相互独立，故C错误，

根据互斥事件的定义可得两两互斥，故A正确.

故选：AD

11．下列命题是真命题的有（    ）

A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4

C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67

D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

【答案】BD

【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；

对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；

对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；

对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.

12．小明和小童两位同学玩构造数列小游戏,规则是:首先给出两个数字1,10,然后小明把两数之积插入这两数之间得到第一个新数列1,10,10,再然后小童把每相邻两项的积插入此两项之间,得到第二个新数列1,10,10,100,10,如此下去,不断得到新数列．假设第n个新数列是:记:,则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据数列的新定义,写出前4项,即可判断选项AD的正误,再根据新定义找到项数,,与第几个数列之间的关系,利用数学归纳法即可判断选项B的正误,根据和之间的联系即可得到选项C的正误.

【详解】解:由题可知:

第一个新数列为:1,10,10,项数为:3,,

第二个新数列1,10,10,100,10,由于第二个新数列的得到是第一个数列的基础上,相邻两项积插入,故项数为:,,

第三个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故项数为:,,

第四个新数列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故项数为:, ,

故选项A正确;

不妨记第个数列时，为,

当时,即第一个数列时,满足,

不妨假设当时,即第个数列时满足,且数列有项,

则当时,即第个数列时,

数列的项数有项,

此时,

满足,

故选项B正确;

由于新数列是将两数之积插入这两数之间得到,

且,

故在中比多出来的部分需要乘2次,需要乘一次,

再加上乘以,

故有,

即,

故选项C正确;

由选项A中可知:

,

,

故选项D错误.

故选:ABC

三、填空题

13．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数．当时，，则______．

【答案】

【分析】根据解决即可.

【详解】由题知，函数是定义在上的周期为2的奇函数，

所以

因为当时，，

所以，

，

所以.

故答案为：

14．已知,且,则______.

【答案】

【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式求出,的值,因为,利用两角差的正切公式即可求解.

【详解】,

,又,

,

则,

.

故答案为:.

15．的展开式中，项的系数为35，则实数a的值为______．

【答案】或3

【分析】根据二项式定理的通项公式，分别求出含有项的系数，利用系数为35，列出方程即可求解.

【详解】解：由二项式定理的通项可得，

，

，

，

因为项的系数为35，

所以，整理得，

解得或，

故答案为：或3.

16．设，，若关于x的方程恰有三个不同的实数解，，，且，则的值为______．

【答案】##

【分析】设，，由得其为偶函数，则根据解的情况得，，，再对x分类讨论去绝对值，求解，即可解出a，b，得出的值.

【详解】设，，则，

∴为偶函数，则恰有三个不同的实数解，，，结合偶函数对称性，

显然，，则，

以下讨论上性质确定：

当，；

当，单调递增，

由得：，则，联立，

解得，故.

故答案为：

四、解答题

17．为了解患某种疾病A与某种生活习惯B是否有关．某社区所在地随机调查了500位居民，结果如下：

(1)估计该地区居民中，有疾病A病历的比例；

(2)根据小概率值的独立性检验，分析有生活习惯B是否会增加患某种疾病A的风险．

附：，

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】对于（1），利用500人中有疾病A的比例，估计该地区居民中有疾病A病历的比例；

对于（2），由表中数据计算出，比较与6.635大小即可得答案.

【详解】（1）在500人中，有70人有疾病A病历，则估计该地区居民中有疾病A病历的比例为：.

（2）由表中数据，.

故在犯错几率不超过的前提下，可以认为有生活习惯B会增加患某种疾病A的风险．

18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．

(1)求的值；

(2)若，求cosB的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；

（2）根据余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.

【详解】（1）由，则，

设，则，

根据余弦定理，可得，

化简可得，根据正弦定理可得：，则.

（2）由，根据余弦定理，可得，整理可得，

则，，由，则，

由，则，根据正弦定理，可得，即，故，

.

19．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）先将代入得到，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后通过直线的点斜式方程即可写出切线方程.

（2）先求出的导函数并进行因式分解，可得到一个含参的二次式，然后对参数进行分类讨论即可得到函数的单调性.

【详解】（1）因为，所以，所以，

因为，所以切线方程的斜率为，

又因为切线方程过点，所以切线方程为，即，

故当时，曲线在点处的切线方程为.

（2）因为的定义域为，

，

令，解得或，

当时，即，，

所以函数在区间上单调递减；

当，即时，

令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，

令，解得，所以函数在区间上单调递增；

当，即时，

令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，

令，解得，所以函数在区间上单调递增.

综上所述，当时，函数在区间上单调递减；

当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.

20．已知数列,.

(1)求证:数列为等差数列;

(2)若,数列,记数列的前2n项和为,求.

【答案】(1)见解析过程

(2)

【分析】(1)由已知结合等差中项的定义证明即可;

(2)根据(1)得到,代入可得数列的通项公式,再根据裂项求和的方法和等比数列求和公式即可得到结果.

【详解】（1）由①,得②,

②①得:,

即,

数列为等差数列.

（2）设数列的公差为,

当时,,又,且数列为等差数列,

,

,

,

则

.

21．世界杯期间，明星队和火车头队相遇，双方要打n（n为奇数）场比赛，某球队至少有一半的场次赢球即为战胜对方球队，其中明星队每场赢球的概率为，各场比赛间相互独立．

(1)若，，估计明星队赢球多少场；

(2)对任意的正整数k，找出p的范围使得比对明星队更合算．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二项分布可求估计明星队赢球场；

（2）令表示“明星队在场比赛中赢球的场数”，表示场比赛中明星队战胜对方球队，表示场比赛中明星队战胜对方球队，则可由题设得到，再根据可求的范围.

【详解】（1）设明星队赢球场数为，由题设由，

故，故估计明星队赢球场.

（2）令表示“明星队在场比赛中赢球的场数”，

表示场比赛中明星队战胜对方球队的概率，

表示场比赛中明星队战胜对方球队的概率，

其中，

在场比赛中比赛中，明星队战胜对方球队，由以下3个互斥事件构成：

（ⅰ）；

（ⅱ），且余下两场比赛中，明星队至少胜一场；

（ⅲ），且余下两场比赛中，明星队全胜；

故，

所以

，

若，则.

故当时，有对任意的正整数k，使得比对明星队更合算．

22．已知函数，．

(1)若，函数恒成立，求a的取值范围；

(2)证明：对，．

【答案】(1)；

(2)证明见解析．

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得函数单调性，由函数在上的最小值不小于0即可得；

（2）在（1）的讨论中得出，时，，从而得，此函数不等式中令得，然后让分别取得个不等式相加后可证题设不等式．

【详解】（1），

时，恒成立，在上递减，又，因此，恒成立，

 时，，恒成立，在上递减，又，因此，恒成立，

时，，有两根，且，，

因此不妨设，当时，，递增，因此，与题意不合，

综上，．

（2）由（1）知时，在上是减函数，因此时，，，

令，，

则，

令，

，

，

，

，

然后相加得

，

∴．

【点睛】方法点睛：用导数研究函数不等式恒成立问题，一般有两种方法：

（1）用分离参数法变形不等式转化为求新函数的最值，从而得出参数范围；

（2）直接求函数的导数，由导数确定函数的单调性，得函数最值，然后由函数最值满足的不等关系得参数范围．