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第02讲 常用逻辑用语 期末大总结(解析版) 试卷
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这是一份第02讲 常用逻辑用语 期末大总结(解析版)，共16页。
第2讲 常用逻辑用语 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：充分条件、必要条件的判断
必会题型二：利用充分条件、必要条件求参数范围
必会题型三：全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
必会题型四：由全称量词与存在量词命题的真假求参数
必会题型五： 常用逻辑用语与集合综合
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．必要条件、充分条件及充要条件
(1)必要条件与充分条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时(即pq)，称q是p的必要条件， p是q的充分条件．
(2)充要条件：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．
2．对必要条件、充分条件与充要条件的理解
(1)从逻辑推理关系的角度理解：
①若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件；
②若pq，但q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件；
④若p q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(2)从集合的角度理解：若条件p，q对应的集合分别为A，B，利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断必要条件、充分条件的方法，如下
①A⊆B指x∈A⇒x∈B，即p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②AB指x∈A⇒x∈B，“x∈A”“x∈B”，即p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若A⊆B且A⊇B，即A＝B，则“x∈A”⇔“x∈B”，p是q的充要条件；
④若A⊈B且A⊉B，则“x∈A”“x∈B”且“x∈B”“x∈A”，即p是q的既不充分也不必要条件．
3．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
(2)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀"表示，读作对“任意的”．如：“∀x∈R，有x2⩾0”读作“对于任意的实数x，都有x2⩾0”．
4．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
(2)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．如：“∃x∈R，使得x2＋x－1＝0” 读作“存在实数x，使得x2＋x－1＝0”．
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
∀x∈M，x具有性质p(x)
∃x∈M，x具有性质p(x)
否定形式
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题的否定是全称量词命题
否定
∃x∈M，x不具有性质p(x)
∀x∈M，x不具有性质p(x)
举例
“∀x∈R，有x2＝x”的否定是“∃x∈R，使x2≠x”．
“∃x∈R，使x2＋x＋1⩽0”的否定是“∀x∈R，有x2＋x＋1＞0”．
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：充分条件、必要条件的判断
1．(2021·广东·广州市番禺区实验中学高一期中)已知a，b，c是实数，则下列命题是真命题的( )
A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件
C．“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件
D．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件
【答案】D
【分析】利用a2>b2⇔a>b来判断AB；利用c2≥0来判断CD．
【解析】对于A，a>b ⇏ a>b⇔ a2>b2，故“a>b”是“a2>b2”的充分条件为假命题；
对于B ，a2>b2 ⇔a>b ⇏ a>b，故“a>b”是“a2>b2”的必要条件为假命题；
对于C ，当c2=0时，a>b ⇏ ac2>bc2,故“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件为假命题；
对于D ，ac2>bc2⇒a>bc2≠0，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件为真命题．
故选：D
2．(2022·河北·石家庄二中实验学校高一阶段练习)设x,y∈R，下列说法中错误的是( )
A．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件
B．“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件
C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件
D．“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可．
【解析】对于A，因为x2>1的解集为−∞,−1∪1,+∞，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，故正确；
对于B，“xy=0”时， “x2+y2=0”不一定成立，反之“x2+y2=0”成立时，“xy=0”一定成立，所以“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，故正确；
对于C，“x>1,y>1”时，“x+y>2,xy>1”一定成立，反之 “x+y>2,xy>1”成立时，x>1,y>1不一定成立，例如x=12,y=3，所以 “x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充分不必要条件，故错误；
对于D，当x=1,y=−2时，满足“x>y”，但不满足“x2>y2”；当x=−2,y=−1时，满足“x2>y2”，但不满足“x>y”，所以“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件，故正确．
故选：C
3．(2022·广东·模拟预测)已知a+b=1，则“ab>0”是“ba+1b≥3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由ba+1b≥3可得ba+ab≥2，即a−b2ab≥0，分析可得ab>0，即可得出结论．
【解析】因为a+b=1，所以ba+1b=ba+a+bb=ba+ab+1，且ab≠0，
由ba+1b≥3可得ba+ab≥2，即a−b2ab≥0，因为a−b2≥0，则ab>0，
因此，“ab>0”⇔“ba+1b≥3”，
因此，“ab>0”是“ba+1b≥3”的充要条件．
故选：C．
4．[多选] (2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习)下列几种说法中，正确的是( )
A．面积相等的三角形全等
B．“xy−3=0”是“x2+y−32=0”的充分不必要条件
C．若a为实数，则“a<1”是“1a>1”的必要不充分条件
D．命题“若a>b>0，则1a<1b”的否定是假命题
【答案】CD
【分析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，；
对于B：当x=0，y=5时，满足xy−3=0，但x2+y−32=4≠0；
对于C：由1a>1得1−aa>0，解得0
【解析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，故A错；
对于B：当x=0，y=5时，满足xy−3=0，但x2+y−32=4≠0，故B错；
对于C：由1a>1得1−aa>0，解得01”的必要不充分条件，故C正确；
对于D：因为a>b>0，所以1a<1b，所以命题“若a>b>0，则1a<1b”是真命题，所以命题“若a>b>0，则1a<1b”的否定是假命题，故D正确，
故选：CD．
必会题型二：利用充分条件、必要条件求参数范围
1．(2022·湖南· 邵东市第一中学高一阶段练习)若x>2m2-3是-1
C．{m∣m⩽-1或m⩾1} D．m∣-1⩽m⩽1
【答案】D
【分析】由题意列不等式求解
【解析】因为x>2m2-3是-1
故选：D
2．(2022·上海市延安中学高一阶段练习)若α:x≤-1或x>3,β:a-1≤x
【分析】根据“x≤-1或x>3”是“a-1≤x3的真子集，
∴a-1>3或a+2≤-1，
解得：a≤-3或a>4，
故答案为：(-∞,-3] ∪(4,+∞)．
3．(2022·上海市南洋模范中学高一期中)设p:3x−1x−2≤1,q:x2−2a+1x+aa+1<0，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】−12,1
【分析】结合不等式的性质求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解析】由3x−1x−2≤1得3x−1x−2−1=2x+1x−2≤0
解得−12≤x<2，
设A=x−12≤x<2=−12,2
由x2−2a+1x+aa+1<0得x−ax−a+1<0
解得a
∴BÜA，即a,a+1真包含于−12,2
∴a≥−12a+1≤2，解得−12≤a≤1
∴实数a的取值范围为−12,1
故答案为：−12,1
4．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知集合M={x∣−1
(2)若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)∁RN∩M=x−1
【分析】(1)根据交并补的定义直接运算即可；
(2)由题可得N是M的真子集，列出不等式即可求出．
【解析】(1)因为a=3，所以N={x∣3
则有a≥−1a+2≤4，解得−1≤a≤2．
5．(2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习)已知集合A=xx+3x−1≤0，B=x2m−1≤x≤m+1．
(1)若集合B满足B≠∅且A∩B=∅，求实数m的取值范围；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1){m| 1≤m≤2或m<−4 }；
(2){m|−1≤m<0或m>2}．
【分析】(1)解分式不等式确定集合A，然后根据空集的定义、交集的结论求解；
(2)由题意得BÜA，然后对B按是否为空集分类讨论求解．
【解析】(1)由已知A=xx+3x−1≤0可得A=x−3≤x<1，
因为B≠∅，所以m+1≥2m−1，即m≤2，
当A∩B=∅时，2m−1≥1m≤2或m+1<−3m≤2，
所以1≤m≤2或m<−4，
∴m的取值范围为{m| 1≤m≤2或m<−4 }；
(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以BÜA，
①当B为空集时，m+1<2m−1，即m>2，原命题成立；
②当B不是空集时，所以2m−1≥−3m+1<1m≤2，解得−1≤m<0，满足题意．
综上①②，m的取值范围为{m|−1≤m<0或m>2}．
6．(2022·辽宁·大连二十四中高一期中)已知集合A=x∣x−14−x>0,B=x∣x2−4x+7−a2>0．
(1)当a=2时，求A∩B,A∪∁RB；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)A∩B=x∣3
【分析】(1)求出集合A、B，进而求出A∩B,A∪∁RB；(2)由p是q的充分条件，列不等式组求出a的取值范围．
【解析】(1)A=x∣x−14−x>0=x∣1
所以A∩B=x∣3
因为A=x∣1
所以
i．当−3
要使A⊆B，只需4<2−a2−3或者1>2+a2−3，均无解．
综上所述：a的取值范围为−3,3．
7．(2022·广东·石门高级中学高一阶段练习)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|(x-2+m)(x-2-m)≤0,m>0}．
(1)若m=3，求A∪B；
(2)若实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的______，求实数m的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)A∪B=-2,5
(2)选①，4,+∞；选②，0,3
【分析】(1)将m=3代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集，
(2)分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围．
【解析】(1)由A={x|x2-3x-10≤0}=[-2,5]，m=3时，B={x|(x+1)(x-5)≤0}=[-1,5]
所以A∪B=-2,5．
(2)∵B={x|(x-2+m)(x-2-m)≤0,m>0}=[2-m,2+m]
逸①“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以m>02-m≤-22+m≥5⇒m>0m≥4m≥3⇒m∈[4,+∞)．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是4,+∞．
选②因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，
所以B是A的真子集．
所以m>02-m≥-22+m≤5⇒m>0m≤4m≤3⇒m∈(0,3]．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是0,3．
必会题型三：全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
1．(2022·陕西西安·高一期中)命题p:∀x>0，x2−ax+1>0的否定是( )
A．∀x>0，x2−ax+1≤0 B．∀x≤0，x2−ax+1>0
C．∃x0>0，x02−ax0+1≤0 D．∃x0≤0，x02−ax0+1≤0
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定的结构形式可得正确的选项．
【解析】命题p:∀x>0，x2−ax+1>0的否定为：∃x0>0，x02−ax0+1≤0，
故选：C．
2．(2022·北京市第十二中学高一期中)命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0的否定是( )
A．∀x∈R，均有x2+3x+2≥0 B．∀x∈R，均有x2+3x+2<0
C．∃x∈R，使得x2+3x+2≥0 D．∃x∈R，使得x2+3x+2≤0
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定理解判断．
【解析】命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0的否定是“∀x∈R，均有x2+3x+2≥0”．
故选：A．
3．(2022·江苏·淮海中学高一期中)下列命题是真命题的一项为( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0
C．∀x∈Q，x2−2≠0 D．∃x∈Q，x2−2=0
【答案】C
【分析】根据存在性、任意性的定义逐一判断即可．
【解析】当x=0时，x2=0，所以选项A是假命题；
因为∀x∈R，x2≥0，所以不∃x∈R，x2<0，因此选项B是假命题；
由x2−2=0⇒x=±2，而±2是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题，
故选：C
4．(2022·北京·首都师范大学附属密云中学高一阶段练习)给出以下命题：
(1)∃x∈Z，x2−2x−3=0；(2)∀x∈R，x2>0；(3)有些自然数是偶数；
(4)∃x∈R，x2+x+1≤0；(5)x∈0，1是x∈−2，1的充分不必要条件；
(6)符合条件a，b，c⊆P⊆a，b，c，d，e集合P有4个；
其中真命题的个数为( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的含义结合条件可判断(1)(3)(4)，根据全称量词命题的含义及条件可判断(2)，根据充分条件及必要条件的概念可判断(5)，根据集合的关系可判断(6)．
【解析】当x=−1∈Z时，−12−2×−1−3=0，故∃x∈Z，x2−2x−3=0，故(1)正确；
当x=0时，x2=0不大于0，故(2)错误；
2，4是偶数，所以有些自然数是偶数，故(3)正确；
因为x2+x+1=x+122+34≥34>0，故(4)错误；
由x∈0，1可推出x∈−2，1，由x∈−2，1推不出x∈0，1，
所以x∈0，1是x∈−2，1的充分不必要条件，故(5)正确；
符合条件a，b，c⊆P⊆a，b，c，d，e的集合P与集合d，e的子集数相同为4个，故(6)正确．
真命题的个数为4．
故选：C．
5．[多选](2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习)下列命题中是真命题的是( )
A．∀x∈R，2x2-3x+4>0 B．∀x∈-1，1，0，x2>0
C．∃x∈N，使x≤x D．∃x∈N*，使x3<1．
【答案】AC
【分析】根据全称命题和特称命题的判断即可求解．
【解析】2x2-3x+4=2x-342+238>0，故A正确，
当x=0时，x2=0，所以B错误，
当x=1，满足x≤x，所以C正确，
当x3<1⇒x<1，故不存在x∈N*，使x3<1，故D错误，
故选：AC
6．[多选](2022·江苏·靖江高级中学高一期中)下列命题中，假命题的是( )
A．a+b=0的充要条件是ab=−1 B．∀m∈R，2m≥m2
C．若x+y>2，则x，y至少有一个大于1 D．∃x∈R，x2+2≤0
【答案】ABD
【分析】通过特殊值判断A，B的正误；通过不等式的基本性质判断C的正误；利用命题的否定形式判断D 的正误．
【解析】对于A，当a=b=0时，满足a+b=0，但ab=−1不成立，故A为假命题；
对于B，当x=−1时，2−1=12<−12=1，故B为假命题；
对于C，若x≤1，y≤1，则x+y≤2，所以若x+y>2，则x，y至少有一个大于1，故C为真命题；
对于D，∀x∈R，x2+2>0，故不存在x∈R，x2+2≤0，故D为假命题．
故选：ABD．
必会题型四：由全称量词与存在量词命题的真假求参数
1．(2022·北京医学院附属中学高一期中)若命题“∃x0∈R，x02+2mx0+m+2<0”为假命题，则m的取值范围是( )
A．−1，2 B．−∞，−1∪2，+∞
C．−1，2 D．−∞，−1∪2，+∞
【答案】A
【分析】分析可知，命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，可得Δ≤0，即可求得实数m的取值范围．
【解析】由题意可知，命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，
所以，Δ=4m2−4m+2≤0，即m2−m−2≤0，解得−1≤m≤2．
故选：A．
2．(2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习)已知命题“∃x∈R，4x2−42ax+5a+3=0”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤−12或a≥3 B．−12
【答案】B
【分析】由题意，可知该命题的否定“∀x∈R，4x2−42ax+5a+3≠0”为真命题，即可得该方程无实数根，根据Δ<0求解．
【解析】因为“∃x∈R，4x2−42ax+5a+3=0”为假命题，
所以“∀x∈R，4x2−42ax+5a+3≠0”为真命题，
所以方程4x2−42ax+5a+3≠0无实数根，
Δ=−42a2−165a+3<0，解得−12
3．[多选](2021·江苏·高一单元测试)若p:x2+x−6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件，则实数a的值为( )
A．2 B．−12 C．13 D．3
【答案】BC
【分析】解方程x2+x−6=0，根据题意可得出关于实数a的等式，即可解得实数a的值．
【解析】由x2+x−6=0，可得x=2或x=−3．
对于方程ax+1=0，当a=0时，方程ax+1=0无解；
当a≠0时，解方程ax+1=0，可得x=−1a．
由题意知p⇒q，q⇒p，则可得a≠0，
此时应有−1a=2或−1a=−3，解得a=−12或a=13．
综上可得，a=−12或a=13．
故选：BC．
3．(2022·福建宁德·高一期中)已知命题：“∃x0∈R，x02−ax0+1<0 ”为真命题，则a的取值范围为________．
【答案】a<−2或a>2
【分析】转化为一元二次不等式有解，运用判别式Δ>0解决即可．
【解析】“∃x0∈R，x02−ax0+1<0 ”为真命题，
所以不等式x2−ax+1<0有解，
所以Δ=a2−4>0 ，
解得a<−2或a>2，
所以a的取值范围为a<−2或a>2，
故答案为：a<−2或a>2．
4．(2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习)若命题“∃x∈1，3，mx2−18<0”为真命题，则实数m的取值范围为__________．
【答案】−∞，18
【分析】首先将题意转化为∃x∈1，3，m<18x2max，再求18x2的最大值即可得到答案．
【解析】因为命题“∃x∈1，3，mx2−18<0”为真命题，
所以∃x∈1，3，m<18x2为真命题，即∃x∈1，3，m<18x2max．
因为1≤x2≤9，所以2≤18x2≤18，即m<18．
故答案为：−∞，18
5．(2022·宁夏·银川市第九中学高一阶段练习)已知a∈R，命题p:∀x∈1，2，a≤x2；命题q:∃x∈R，使得x2+2ax-a-2=0．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；
【答案】(1)1；
(2)-2，1∪1，+∞．
【分析】(1)先求出x2的范围，利用全称命题为真命题即可求得；(2)先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i．p真q假时和ii． p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解．
【解析】(1)记y=x2，x∈1，2，由y=x2在1，2单调递增，所以ymin=12=1．
要使命题p:∀x∈1，2，a≤x2为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1．
(2)命题q:∃x∈R，使得x2+2ax-a-2=0为真命题，则Δ=4a2+4a-2≥0，解得：a≥1或a≤-2．
i．p真q假时，只需a≤1-2
所以-21．
综上所述：a的取值范围为-2，1∪1，+∞．
6．(2022·广东·高一期中)已知命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，命题q：∃x∈−2，1，x−a+1>0．
(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)a≥4．
(2)a≥4或a<2．
【分析】(1)根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案；
(2)结合(1)，再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案．
【解析】(1)由题意命题p： ∀x∈R，ax2+8x+a≥0，当a=0时，8x≥0，∴x≥0，不合题意；
当a≠0时，命题p为真命题，则需满足a>0Δ=64−4a2≤0，即a≥4；
(2)由(1)知命题p为真命题时，a的取值范围为a≥4；
命题q：∃x∈−2，1，x−a+1>0为真时，则a<(x+1)max=2，
当命题p真而命题q假时，a≥4且a≥2，故a≥4；
当命题p假而命题q真时，a<4且a<2，故a<2；
当命题p和命题q都真时，a≥4且a<2，则a∈∅，
故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为a≥4或a<2．
必会题型五：常用逻辑用语与集合综合
1．(2022·浙江·杭十四中高一期中)下列说法正确的是( )
A．命题“若1x<1，则x>1”为假命题
B．“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件
C．命“若实数x满足x2−3x+2=0，则x=1或x=2”为假命题
D．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：“∃x∈R，均有x2+x+1≥0”
【答案】A
【分析】解出1x<1判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程x2−3x+2=0可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项．
【解析】对于A选项，当1x<1时，1x−1=1−xx<0，所以x>1或x<0，故命题为假命题，所以A选项正确．
对于B选项，解方程x2−5x−6=0可得x=−1或x=6，
所以，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，解方程x2−3x+2=0可得x=1或x=2，
所以，命题“若实数x满足x2−3x+2=0，则x=1或x=2”为真命题，C错；
对于D选项，命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：
“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，D错．
故选：A．
2．(2022·江苏·南京师大附中高一期中)已知a为实数，使“∀x∈3，4，x−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≥5 C．a≥3 D．a≤5
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的真假性求得a的取值范围，然后确定其充分不必要条件．
【解析】依题意，全称量词命题：∀x∈3，4，x−a≤0为真命题，
a≥x在区间3，4上恒成立，所以a≥4，
所以使“∀x∈3，4，x−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是“a≥5”．
故选：B
3．(2022·全国·高一单元测试)已知集合A=y|y=x2−32x+1，x∈34，2，B=x|x+m2≥1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】−∞，−34∪34，+∞
【分析】求函数的值域求得集合A，根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件列不等式，由此求得m的取值范围．
【解析】函数y=x2−32x+1的对称轴为x=34，开口向上，
所以函数y=x2−32x+1在34，2上递增，
当x=34时，ymin=716；当x=2时，ymax=2．
所以A=716，2．
B=x|x+m2≥1=x|x≥1−m2，
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以1−m2≤716，m2≥916，
解得m≤−34或m≥34，
所以m的取值范围是−∞，−34∪34，+∞．
故答案为：−∞，−34∪34，+∞
4．(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习)设集合A=x|x2≥2x,B=x∈N|x−5≤7−2x．
(1)用列举法表示集合A∩B，并指出集合A∩B的子集的个数；
(2)记C={x∈R|x≤a−2或x≥a+6}，若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0,2,3,4，16
(2)−4,2
【分析】(1)由题意得A=x|x≤0或x≥2，B=0,1,2,3,4，进一步可以求得A∩B及其子集的个数；
(2)由已知条件可得C是A的真子集，列出不等式组，求解即可．
【解析】(1)∵A=x|x2≥2x=x|x≤0或x≥2，B=x∈N|x−5≤7−2x=x∈N|x≤4=0,1,2,3,4，
∴A∩B=0,2,3,4，
集合A∩B的子集有：∅，0，2，3，4，0,2，0,3，0,4，2,3，2,4，3,4，0,2,3，0,2,4，0,3,4，2,3,4，0,2,3,4，共16个．
(2)因为“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，
所以C是A的真子集，
所以a−2≤0a+6≥2，(两等号不能同时成立)，解得−4≤a≤2，
即实数a的取值范围是−4,2．
5．(2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中)已知p:|2x−5|≤3，q:x2−(a+2)x+2a≤0
(1)若q是真命题，求对应x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)[1，4]．
【解析】(1)由q是真命题，利用含参二次不等式分类讨论进行求解；
(2)由p是q的必要不充分条件，得利用集合的思想分类讨论．
【解析】(1)化简得到q:(x−2)(x−a)≤0，讨论a>2，a=2，a<2三种情况
当a>2时，2≤x≤a；
当a=2时，x=2；
当a<2时，a≤x≤2．
(2)p:|2x−5|≤3即|2x−5|≤3，解得1≤x≤4，
p是q的必要不充分条件，
当a>2时，q:2≤x≤a，故满足a≤4，即2
当a<2时，q:a≤x≤2，故满足a≥1，即2>a≥1．
综上所述：a∈[1，4]．
6．(2022·四川·泸州市龙马高中高一阶段练习)已知命题p：∃x∈R，x2+m-2x+1=0 成立．命题，都有ab−1≥m+22成立．
(1)若命题P为真命题，求实数m的取值范围：
(2)若命题P和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围
【答案】(1){m|m⩾4或m⩽0}
(2){m|0
(2)根据题意，求出p，q为真时m的取值范围，由此分p真q假和p假q真两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．
【解析】(1)根据题意，命题p:∃x∈R，x2+(m-2)x+1=0成立．若p为真，则方程x2+(m-2)x+1=0有解，
必有Δ=(m-2)2-4⩾0，解可得m⩾4或m⩽0，
故p为真时，m的取值范围为{m|m⩾4或m⩽0}，
(2)若∀a，b∈R+，b=2aa-1，由于b>0， 则a-1>0，
则a(b-1)=a(a+1a-1)=(a-1+1)(1+2a-1)=3+(a-1)+2a-1⩾3+22，
当且仅当a-1=2时，即a=1+2，b=2+2时等号成立，
即a(b-1)的最小值为3+22，
若命题q为真命题，必有m+22⩽3+22，可得m⩽3，
故m的取值范围为(-∞，3]；
又由命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论，
若p真q假，则有m⩾4或m⩽0m>3，解可得m⩾4，
若p假q真，则有0
(2)求∁UA
(3)有三个条件：①(∁UA)∩B=∅， ②A∪B=A，③若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(-∞,-4]
(2)CUA={x|-1≤x≤3}
(3)(-∞,-2]∪[4,+∞)
【分析】(1)由空集的定义求解；
(2)解不等式得集合A，然后由补集定义计算；
(3)三个条件都得出A⊆B，然后由包含关系求得a的范围．
【解析】(1)集合B={x|a-1
(2)全集U=R，集合A={x|4x+1<1}，由4x+1<1,可得1-4x+1>0,
化简得x-3x+1>0,即(x-3)(x+1)>0,解得x>3或x<-1，A={ x>3或x<-1 }，
所以∁UA={x|-1≤x≤3}
(3)有三个条件：①(∁UA)∩B=∅， ②A∪B=A，③若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
从这三个条件中任选一个作为已知条件，都可得B⊆A．又集合A={x|x<-1或x>3}
①若B=∅，由(1)可知a≤-4，此时满足B⊆A，符合题目要求
②若B≠∅，要满足B⊆A，则a-1<2a+32a+3≤-1或a-1<2a+3a-1≥3，
解得-4
所以实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[4,+∞)
第2讲 常用逻辑用语 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：充分条件、必要条件的判断
必会题型二：利用充分条件、必要条件求参数范围
必会题型三：全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
必会题型四：由全称量词与存在量词命题的真假求参数
必会题型五： 常用逻辑用语与集合综合
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．必要条件、充分条件及充要条件
(1)必要条件与充分条件：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时(即pq)，称q是p的必要条件， p是q的充分条件．
(2)充要条件：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q．
2．对必要条件、充分条件与充要条件的理解
(1)从逻辑推理关系的角度理解：
①若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件；
②若pq，但q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件；
④若p q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(2)从集合的角度理解：若条件p，q对应的集合分别为A，B，利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断必要条件、充分条件的方法，如下
①A⊆B指x∈A⇒x∈B，即p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②AB指x∈A⇒x∈B，“x∈A”“x∈B”，即p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若A⊆B且A⊇B，即A＝B，则“x∈A”⇔“x∈B”，p是q的充要条件；
④若A⊈B且A⊉B，则“x∈A”“x∈B”且“x∈B”“x∈A”，即p是q的既不充分也不必要条件．
3．全称量词与全称量词命题
(1)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．
(2)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀"表示，读作对“任意的”．如：“∀x∈R，有x2⩾0”读作“对于任意的实数x，都有x2⩾0”．
4．存在量词与存在量词命题
(1)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．
(2)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．如：“∃x∈R，使得x2＋x－1＝0” 读作“存在实数x，使得x2＋x－1＝0”．
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
∀x∈M，x具有性质p(x)
∃x∈M，x具有性质p(x)
否定形式
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题的否定是全称量词命题
否定
∃x∈M，x不具有性质p(x)
∀x∈M，x不具有性质p(x)
举例
“∀x∈R，有x2＝x”的否定是“∃x∈R，使x2≠x”．
“∃x∈R，使x2＋x＋1⩽0”的否定是“∀x∈R，有x2＋x＋1＞0”．
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：充分条件、必要条件的判断
1．(2021·广东·广州市番禺区实验中学高一期中)已知a，b，c是实数，则下列命题是真命题的( )
A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件
C．“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件
D．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件
【答案】D
【分析】利用a2>b2⇔a>b来判断AB；利用c2≥0来判断CD．
【解析】对于A，a>b ⇏ a>b⇔ a2>b2，故“a>b”是“a2>b2”的充分条件为假命题；
对于B ，a2>b2 ⇔a>b ⇏ a>b，故“a>b”是“a2>b2”的必要条件为假命题；
对于C ，当c2=0时，a>b ⇏ ac2>bc2,故“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件为假命题；
对于D ，ac2>bc2⇒a>bc2≠0，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件为真命题．
故选：D
2．(2022·河北·石家庄二中实验学校高一阶段练习)设x,y∈R，下列说法中错误的是( )
A．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件
B．“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件
C．“x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充要条件
D．“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可．
【解析】对于A，因为x2>1的解集为−∞,−1∪1,+∞，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，故正确；
对于B，“xy=0”时， “x2+y2=0”不一定成立，反之“x2+y2=0”成立时，“xy=0”一定成立，所以“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，故正确；
对于C，“x>1,y>1”时，“x+y>2,xy>1”一定成立，反之 “x+y>2,xy>1”成立时，x>1,y>1不一定成立，例如x=12,y=3，所以 “x>1,y>1”是“x+y>2,xy>1”的充分不必要条件，故错误；
对于D，当x=1,y=−2时，满足“x>y”，但不满足“x2>y2”；当x=−2,y=−1时，满足“x2>y2”，但不满足“x>y”，所以“x>y”是“x2>y2”的既不充分也不必要条件，故正确．
故选：C
3．(2022·广东·模拟预测)已知a+b=1，则“ab>0”是“ba+1b≥3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由ba+1b≥3可得ba+ab≥2，即a−b2ab≥0，分析可得ab>0，即可得出结论．
【解析】因为a+b=1，所以ba+1b=ba+a+bb=ba+ab+1，且ab≠0，
由ba+1b≥3可得ba+ab≥2，即a−b2ab≥0，因为a−b2≥0，则ab>0，
因此，“ab>0”⇔“ba+1b≥3”，
因此，“ab>0”是“ba+1b≥3”的充要条件．
故选：C．
4．[多选] (2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习)下列几种说法中，正确的是( )
A．面积相等的三角形全等
B．“xy−3=0”是“x2+y−32=0”的充分不必要条件
C．若a为实数，则“a<1”是“1a>1”的必要不充分条件
D．命题“若a>b>0，则1a<1b”的否定是假命题
【答案】CD
【分析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，；
对于B：当x=0，y=5时，满足xy−3=0，但x2+y−32=4≠0；
对于C：由1a>1得1−aa>0，解得0
【解析】对于A：因为同底等高的三角形其面积相等，但未必全等，故A错；
对于B：当x=0，y=5时，满足xy−3=0，但x2+y−32=4≠0，故B错；
对于C：由1a>1得1−aa>0，解得0
对于D：因为a>b>0，所以1a<1b，所以命题“若a>b>0，则1a<1b”是真命题，所以命题“若a>b>0，则1a<1b”的否定是假命题，故D正确，
故选：CD．
必会题型二：利用充分条件、必要条件求参数范围
1．(2022·湖南· 邵东市第一中学高一阶段练习)若x>2m2-3是-1
C．{m∣m⩽-1或m⩾1} D．m∣-1⩽m⩽1
【答案】D
【分析】由题意列不等式求解
【解析】因为x>2m2-3是-1
故选：D
2．(2022·上海市延安中学高一阶段练习)若α:x≤-1或x>3,β:a-1≤x
【分析】根据“x≤-1或x>3”是“a-1≤x
∴a-1>3或a+2≤-1，
解得：a≤-3或a>4，
故答案为：(-∞,-3] ∪(4,+∞)．
3．(2022·上海市南洋模范中学高一期中)设p:3x−1x−2≤1,q:x2−2a+1x+aa+1<0，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】−12,1
【分析】结合不等式的性质求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
【解析】由3x−1x−2≤1得3x−1x−2−1=2x+1x−2≤0
解得−12≤x<2，
设A=x−12≤x<2=−12,2
由x2−2a+1x+aa+1<0得x−ax−a+1<0
解得a
∴BÜA，即a,a+1真包含于−12,2
∴a≥−12a+1≤2，解得−12≤a≤1
∴实数a的取值范围为−12,1
故答案为：−12,1
4．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知集合M={x∣−1
(2)若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)∁RN∩M=x−1
【分析】(1)根据交并补的定义直接运算即可；
(2)由题可得N是M的真子集，列出不等式即可求出．
【解析】(1)因为a=3，所以N={x∣3
则有a≥−1a+2≤4，解得−1≤a≤2．
5．(2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习)已知集合A=xx+3x−1≤0，B=x2m−1≤x≤m+1．
(1)若集合B满足B≠∅且A∩B=∅，求实数m的取值范围；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1){m| 1≤m≤2或m<−4 }；
(2){m|−1≤m<0或m>2}．
【分析】(1)解分式不等式确定集合A，然后根据空集的定义、交集的结论求解；
(2)由题意得BÜA，然后对B按是否为空集分类讨论求解．
【解析】(1)由已知A=xx+3x−1≤0可得A=x−3≤x<1，
因为B≠∅，所以m+1≥2m−1，即m≤2，
当A∩B=∅时，2m−1≥1m≤2或m+1<−3m≤2，
所以1≤m≤2或m<−4，
∴m的取值范围为{m| 1≤m≤2或m<−4 }；
(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以BÜA，
①当B为空集时，m+1<2m−1，即m>2，原命题成立；
②当B不是空集时，所以2m−1≥−3m+1<1m≤2，解得−1≤m<0，满足题意．
综上①②，m的取值范围为{m|−1≤m<0或m>2}．
6．(2022·辽宁·大连二十四中高一期中)已知集合A=x∣x−14−x>0,B=x∣x2−4x+7−a2>0．
(1)当a=2时，求A∩B,A∪∁RB；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q的充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)A∩B=x∣3
【分析】(1)求出集合A、B，进而求出A∩B,A∪∁RB；(2)由p是q的充分条件，列不等式组求出a的取值范围．
【解析】(1)A=x∣x−14−x>0=x∣1
所以A∩B=x∣3
因为A=x∣1
所以
i．当−3
要使A⊆B，只需4<2−a2−3或者1>2+a2−3，均无解．
综上所述：a的取值范围为−3,3．
7．(2022·广东·石门高级中学高一阶段练习)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|(x-2+m)(x-2-m)≤0,m>0}．
(1)若m=3，求A∪B；
(2)若实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的______，求实数m的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)A∪B=-2,5
(2)选①，4,+∞；选②，0,3
【分析】(1)将m=3代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集，
(2)分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围．
【解析】(1)由A={x|x2-3x-10≤0}=[-2,5]，m=3时，B={x|(x+1)(x-5)≤0}=[-1,5]
所以A∪B=-2,5．
(2)∵B={x|(x-2+m)(x-2-m)≤0,m>0}=[2-m,2+m]
逸①“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以m>02-m≤-22+m≥5⇒m>0m≥4m≥3⇒m∈[4,+∞)．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是4,+∞．
选②因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，
所以B是A的真子集．
所以m>02-m≥-22+m≤5⇒m>0m≤4m≤3⇒m∈(0,3]．
经检验“＝”满足．所以实数m的取值范围是0,3．
必会题型三：全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断
1．(2022·陕西西安·高一期中)命题p:∀x>0，x2−ax+1>0的否定是( )
A．∀x>0，x2−ax+1≤0 B．∀x≤0，x2−ax+1>0
C．∃x0>0，x02−ax0+1≤0 D．∃x0≤0，x02−ax0+1≤0
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定的结构形式可得正确的选项．
【解析】命题p:∀x>0，x2−ax+1>0的否定为：∃x0>0，x02−ax0+1≤0，
故选：C．
2．(2022·北京市第十二中学高一期中)命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0的否定是( )
A．∀x∈R，均有x2+3x+2≥0 B．∀x∈R，均有x2+3x+2<0
C．∃x∈R，使得x2+3x+2≥0 D．∃x∈R，使得x2+3x+2≤0
【答案】A
【分析】根据特称命题的否定理解判断．
【解析】命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0的否定是“∀x∈R，均有x2+3x+2≥0”．
故选：A．
3．(2022·江苏·淮海中学高一期中)下列命题是真命题的一项为( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0
C．∀x∈Q，x2−2≠0 D．∃x∈Q，x2−2=0
【答案】C
【分析】根据存在性、任意性的定义逐一判断即可．
【解析】当x=0时，x2=0，所以选项A是假命题；
因为∀x∈R，x2≥0，所以不∃x∈R，x2<0，因此选项B是假命题；
由x2−2=0⇒x=±2，而±2是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题，
故选：C
4．(2022·北京·首都师范大学附属密云中学高一阶段练习)给出以下命题：
(1)∃x∈Z，x2−2x−3=0；(2)∀x∈R，x2>0；(3)有些自然数是偶数；
(4)∃x∈R，x2+x+1≤0；(5)x∈0，1是x∈−2，1的充分不必要条件；
(6)符合条件a，b，c⊆P⊆a，b，c，d，e集合P有4个；
其中真命题的个数为( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的含义结合条件可判断(1)(3)(4)，根据全称量词命题的含义及条件可判断(2)，根据充分条件及必要条件的概念可判断(5)，根据集合的关系可判断(6)．
【解析】当x=−1∈Z时，−12−2×−1−3=0，故∃x∈Z，x2−2x−3=0，故(1)正确；
当x=0时，x2=0不大于0，故(2)错误；
2，4是偶数，所以有些自然数是偶数，故(3)正确；
因为x2+x+1=x+122+34≥34>0，故(4)错误；
由x∈0，1可推出x∈−2，1，由x∈−2，1推不出x∈0，1，
所以x∈0，1是x∈−2，1的充分不必要条件，故(5)正确；
符合条件a，b，c⊆P⊆a，b，c，d，e的集合P与集合d，e的子集数相同为4个，故(6)正确．
真命题的个数为4．
故选：C．
5．[多选](2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习)下列命题中是真命题的是( )
A．∀x∈R，2x2-3x+4>0 B．∀x∈-1，1，0，x2>0
C．∃x∈N，使x≤x D．∃x∈N*，使x3<1．
【答案】AC
【分析】根据全称命题和特称命题的判断即可求解．
【解析】2x2-3x+4=2x-342+238>0，故A正确，
当x=0时，x2=0，所以B错误，
当x=1，满足x≤x，所以C正确，
当x3<1⇒x<1，故不存在x∈N*，使x3<1，故D错误，
故选：AC
6．[多选](2022·江苏·靖江高级中学高一期中)下列命题中，假命题的是( )
A．a+b=0的充要条件是ab=−1 B．∀m∈R，2m≥m2
C．若x+y>2，则x，y至少有一个大于1 D．∃x∈R，x2+2≤0
【答案】ABD
【分析】通过特殊值判断A，B的正误；通过不等式的基本性质判断C的正误；利用命题的否定形式判断D 的正误．
【解析】对于A，当a=b=0时，满足a+b=0，但ab=−1不成立，故A为假命题；
对于B，当x=−1时，2−1=12<−12=1，故B为假命题；
对于C，若x≤1，y≤1，则x+y≤2，所以若x+y>2，则x，y至少有一个大于1，故C为真命题；
对于D，∀x∈R，x2+2>0，故不存在x∈R，x2+2≤0，故D为假命题．
故选：ABD．
必会题型四：由全称量词与存在量词命题的真假求参数
1．(2022·北京医学院附属中学高一期中)若命题“∃x0∈R，x02+2mx0+m+2<0”为假命题，则m的取值范围是( )
A．−1，2 B．−∞，−1∪2，+∞
C．−1，2 D．−∞，−1∪2，+∞
【答案】A
【分析】分析可知，命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，可得Δ≤0，即可求得实数m的取值范围．
【解析】由题意可知，命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，
所以，Δ=4m2−4m+2≤0，即m2−m−2≤0，解得−1≤m≤2．
故选：A．
2．(2022·重庆·西南大学附中高一阶段练习)已知命题“∃x∈R，4x2−42ax+5a+3=0”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤−12或a≥3 B．−12
【答案】B
【分析】由题意，可知该命题的否定“∀x∈R，4x2−42ax+5a+3≠0”为真命题，即可得该方程无实数根，根据Δ<0求解．
【解析】因为“∃x∈R，4x2−42ax+5a+3=0”为假命题，
所以“∀x∈R，4x2−42ax+5a+3≠0”为真命题，
所以方程4x2−42ax+5a+3≠0无实数根，
Δ=−42a2−165a+3<0，解得−12
3．[多选](2021·江苏·高一单元测试)若p:x2+x−6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件，则实数a的值为( )
A．2 B．−12 C．13 D．3
【答案】BC
【分析】解方程x2+x−6=0，根据题意可得出关于实数a的等式，即可解得实数a的值．
【解析】由x2+x−6=0，可得x=2或x=−3．
对于方程ax+1=0，当a=0时，方程ax+1=0无解；
当a≠0时，解方程ax+1=0，可得x=−1a．
由题意知p⇒q，q⇒p，则可得a≠0，
此时应有−1a=2或−1a=−3，解得a=−12或a=13．
综上可得，a=−12或a=13．
故选：BC．
3．(2022·福建宁德·高一期中)已知命题：“∃x0∈R，x02−ax0+1<0 ”为真命题，则a的取值范围为________．
【答案】a<−2或a>2
【分析】转化为一元二次不等式有解，运用判别式Δ>0解决即可．
【解析】“∃x0∈R，x02−ax0+1<0 ”为真命题，
所以不等式x2−ax+1<0有解，
所以Δ=a2−4>0 ，
解得a<−2或a>2，
所以a的取值范围为a<−2或a>2，
故答案为：a<−2或a>2．
4．(2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习)若命题“∃x∈1，3，mx2−18<0”为真命题，则实数m的取值范围为__________．
【答案】−∞，18
【分析】首先将题意转化为∃x∈1，3，m<18x2max，再求18x2的最大值即可得到答案．
【解析】因为命题“∃x∈1，3，mx2−18<0”为真命题，
所以∃x∈1，3，m<18x2为真命题，即∃x∈1，3，m<18x2max．
因为1≤x2≤9，所以2≤18x2≤18，即m<18．
故答案为：−∞，18
5．(2022·宁夏·银川市第九中学高一阶段练习)已知a∈R，命题p:∀x∈1，2，a≤x2；命题q:∃x∈R，使得x2+2ax-a-2=0．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；
【答案】(1)1；
(2)-2，1∪1，+∞．
【分析】(1)先求出x2的范围，利用全称命题为真命题即可求得；(2)先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i．p真q假时和ii． p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解．
【解析】(1)记y=x2，x∈1，2，由y=x2在1，2单调递增，所以ymin=12=1．
要使命题p:∀x∈1，2，a≤x2为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1．
(2)命题q:∃x∈R，使得x2+2ax-a-2=0为真命题，则Δ=4a2+4a-2≥0，解得：a≥1或a≤-2．
i．p真q假时，只需a≤1-2
所以-2
综上所述：a的取值范围为-2，1∪1，+∞．
6．(2022·广东·高一期中)已知命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，命题q：∃x∈−2，1，x−a+1>0．
(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)a≥4．
(2)a≥4或a<2．
【分析】(1)根据命题为真结合二次函数性质，列不等式，求得答案；
(2)结合(1)，再求出命题q为真时a的范围，根据命题p和命题q至少有一个为真命题，分类求解，可得答案．
【解析】(1)由题意命题p： ∀x∈R，ax2+8x+a≥0，当a=0时，8x≥0，∴x≥0，不合题意；
当a≠0时，命题p为真命题，则需满足a>0Δ=64−4a2≤0，即a≥4；
(2)由(1)知命题p为真命题时，a的取值范围为a≥4；
命题q：∃x∈−2，1，x−a+1>0为真时，则a<(x+1)max=2，
当命题p真而命题q假时，a≥4且a≥2，故a≥4；
当命题p假而命题q真时，a<4且a<2，故a<2；
当命题p和命题q都真时，a≥4且a<2，则a∈∅，
故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为a≥4或a<2．
必会题型五：常用逻辑用语与集合综合
1．(2022·浙江·杭十四中高一期中)下列说法正确的是( )
A．命题“若1x<1，则x>1”为假命题
B．“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件
C．命“若实数x满足x2−3x+2=0，则x=1或x=2”为假命题
D．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：“∃x∈R，均有x2+x+1≥0”
【答案】A
【分析】解出1x<1判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程x2−3x+2=0可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项．
【解析】对于A选项，当1x<1时，1x−1=1−xx<0，所以x>1或x<0，故命题为假命题，所以A选项正确．
对于B选项，解方程x2−5x−6=0可得x=−1或x=6，
所以，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，解方程x2−3x+2=0可得x=1或x=2，
所以，命题“若实数x满足x2−3x+2=0，则x=1或x=2”为真命题，C错；
对于D选项，命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”的否定是：
“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，D错．
故选：A．
2．(2022·江苏·南京师大附中高一期中)已知a为实数，使“∀x∈3，4，x−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≥5 C．a≥3 D．a≤5
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的真假性求得a的取值范围，然后确定其充分不必要条件．
【解析】依题意，全称量词命题：∀x∈3，4，x−a≤0为真命题，
a≥x在区间3，4上恒成立，所以a≥4，
所以使“∀x∈3，4，x−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是“a≥5”．
故选：B
3．(2022·全国·高一单元测试)已知集合A=y|y=x2−32x+1，x∈34，2，B=x|x+m2≥1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】−∞，−34∪34，+∞
【分析】求函数的值域求得集合A，根据“x∈A”是“x∈B”的充分条件列不等式，由此求得m的取值范围．
【解析】函数y=x2−32x+1的对称轴为x=34，开口向上，
所以函数y=x2−32x+1在34，2上递增，
当x=34时，ymin=716；当x=2时，ymax=2．
所以A=716，2．
B=x|x+m2≥1=x|x≥1−m2，
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以1−m2≤716，m2≥916，
解得m≤−34或m≥34，
所以m的取值范围是−∞，−34∪34，+∞．
故答案为：−∞，−34∪34，+∞
4．(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习)设集合A=x|x2≥2x,B=x∈N|x−5≤7−2x．
(1)用列举法表示集合A∩B，并指出集合A∩B的子集的个数；
(2)记C={x∈R|x≤a−2或x≥a+6}，若“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0,2,3,4，16
(2)−4,2
【分析】(1)由题意得A=x|x≤0或x≥2，B=0,1,2,3,4，进一步可以求得A∩B及其子集的个数；
(2)由已知条件可得C是A的真子集，列出不等式组，求解即可．
【解析】(1)∵A=x|x2≥2x=x|x≤0或x≥2，B=x∈N|x−5≤7−2x=x∈N|x≤4=0,1,2,3,4，
∴A∩B=0,2,3,4，
集合A∩B的子集有：∅，0，2，3，4，0,2，0,3，0,4，2,3，2,4，3,4，0,2,3，0,2,4，0,3,4，2,3,4，0,2,3,4，共16个．
(2)因为“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件，
所以C是A的真子集，
所以a−2≤0a+6≥2，(两等号不能同时成立)，解得−4≤a≤2，
即实数a的取值范围是−4,2．
5．(2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中)已知p:|2x−5|≤3，q:x2−(a+2)x+2a≤0
(1)若q是真命题，求对应x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)[1，4]．
【解析】(1)由q是真命题，利用含参二次不等式分类讨论进行求解；
(2)由p是q的必要不充分条件，得利用集合的思想分类讨论．
【解析】(1)化简得到q:(x−2)(x−a)≤0，讨论a>2，a=2，a<2三种情况
当a>2时，2≤x≤a；
当a=2时，x=2；
当a<2时，a≤x≤2．
(2)p:|2x−5|≤3即|2x−5|≤3，解得1≤x≤4，
p是q的必要不充分条件，
当a>2时，q:2≤x≤a，故满足a≤4，即2
当a<2时，q:a≤x≤2，故满足a≥1，即2>a≥1．
综上所述：a∈[1，4]．
6．(2022·四川·泸州市龙马高中高一阶段练习)已知命题p：∃x∈R，x2+m-2x+1=0 成立．命题，都有ab−1≥m+22成立．
(1)若命题P为真命题，求实数m的取值范围：
(2)若命题P和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围
【答案】(1){m|m⩾4或m⩽0}
(2){m|0
(2)根据题意，求出p，q为真时m的取值范围，由此分p真q假和p假q真两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．
【解析】(1)根据题意，命题p:∃x∈R，x2+(m-2)x+1=0成立．若p为真，则方程x2+(m-2)x+1=0有解，
必有Δ=(m-2)2-4⩾0，解可得m⩾4或m⩽0，
故p为真时，m的取值范围为{m|m⩾4或m⩽0}，
(2)若∀a，b∈R+，b=2aa-1，由于b>0， 则a-1>0，
则a(b-1)=a(a+1a-1)=(a-1+1)(1+2a-1)=3+(a-1)+2a-1⩾3+22，
当且仅当a-1=2时，即a=1+2，b=2+2时等号成立，
即a(b-1)的最小值为3+22，
若命题q为真命题，必有m+22⩽3+22，可得m⩽3，
故m的取值范围为(-∞，3]；
又由命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论，
若p真q假，则有m⩾4或m⩽0m>3，解可得m⩾4，
若p假q真，则有0
(2)求∁UA
(3)有三个条件：①(∁UA)∩B=∅， ②A∪B=A，③若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(-∞,-4]
(2)CUA={x|-1≤x≤3}
(3)(-∞,-2]∪[4,+∞)
【分析】(1)由空集的定义求解；
(2)解不等式得集合A，然后由补集定义计算；
(3)三个条件都得出A⊆B，然后由包含关系求得a的范围．
【解析】(1)集合B={x|a-1
(2)全集U=R，集合A={x|4x+1<1}，由4x+1<1,可得1-4x+1>0,
化简得x-3x+1>0,即(x-3)(x+1)>0,解得x>3或x<-1，A={ x>3或x<-1 }，
所以∁UA={x|-1≤x≤3}
(3)有三个条件：①(∁UA)∩B=∅， ②A∪B=A，③若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
从这三个条件中任选一个作为已知条件，都可得B⊆A．又集合A={x|x<-1或x>3}
①若B=∅，由(1)可知a≤-4，此时满足B⊆A，符合题目要求
②若B≠∅，要满足B⊆A，则a-1<2a+32a+3≤-1或a-1<2a+3a-1≥3，
解得-4
所以实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[4,+∞)
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