北京市大兴区2022-2023学年高三数学上学期期末考试试题（Word版附答案）

大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测试卷

2022.12

高三数学

学校__________ 姓名__________ 班级__________ 考号__________

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（    ）

A. B. C. D.

3.在展开式中，的系数为

A.10 B.5 C. D.

4.设为等差数列的前项和.已知，，则（    ）

A.为递减数列 B. C.有最大值 D.

5.已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ）

A.3 B.4 C.5 D.

6.“”是“直线与圆相切”的（    ）

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

7.某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（    ）

A. B. C. D.

8.已知数列中，，，，则下列结论错误的是（    ）

A.  B.

C.是等比数列  D.

9.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（    ）

A. B. C.1 D.2

10.已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（    ）

A.①③1 B.②④ C.①②③ D.②③④

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知复数满足，则______.

12.一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.

13.在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______.

14.已知函数若，则函数的值域为______；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______.

15.在正方体中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，有下列四个结论：

①存在点，使得；

②三棱雉的体积保持不变；

③的面积越来越小；

④线段上存在点，使得，且.

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）

函数（，，）部分图象如图所示，已知.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求的单调减区间.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

17.（本小题14分）

如图，在四棱雉中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

18.（本小题14分）

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有，，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：

（Ⅰ）求甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

（Ⅱ）若，设甲按“，，”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为，求的分布列与数学期望；

（Ⅲ）写出的一个值，使得甲按“，，”的顺序猜歌名比按“，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）

19.（本小题14分）

已知椭圆：经过直线：与坐标轴的两个交点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，求证：为线段的中点.

20.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值；

（Ⅱ）判断函数单调性并说明理由；

（Ⅲ）证明：对，都有成立.

21.（本小题14分）

已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合，中元素的最大值记为，最小值记为.

（Ⅰ）若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值；

（Ⅱ）若，求的最大值及最小值；

（Ⅲ）若，求的最小值.

大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测

高三数学参考答案与评分标准

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 12. 13.2；之间的任意一个角都可以

14.；  15.①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）

三、解答题（共6小题，共85分）

16.（本小题14分）

解：由图可知，

所以.

又知.

所以.

（Ⅰ）若选择条件①②，即，.

因为.

由图可知，，即

因为，

所以当时，.

所以.

又因为.

所以.

所以.

若选择条件①③，即，.

因为.

由图可知，，即.

因为，

所以当时，.

所以.

又因为，

所以.

所以.

若选择条件②③，即，.

因为，

由图可知，当时取得最大值，

即，

由

得，，

因为，

所以.

又，

所以.

所以.

（Ⅱ）因为函数的单调递减区间为，，

由，，

2分

得，.

所以单调递减区间为，.

17.（本小题14分）

解：（Ⅰ）连结，，与交于点，

因为底面是直角梯形，，为的中点.

所以且，即为平行四边形，

所以点是中点，连结，所以.

又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为为等边三角形，为的中点，所以.

又面面，面面，所以面，

又因为，，所以.

如图建立空间直角坐标，

可知，，，，

易知，设面的法向量为，

且，，

即所以，

设与平面所成角为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为.

18.（本小题14分）

解：（Ⅰ）设“甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件，

则.

所以，甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1000，3000，6000，

，

，

，

.

所以随机变量的分布列为

所以.

（Ⅲ）均可.

19.（本小题14分）

解：（Ⅰ）直线：与坐标轴的两个交点为，，

由于，所以，，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，

设方程为，即.

由，消元得，

整理得

由，可得.

设，，则

，.

由题意，将，代入：得，

直线的方程为，

令得，

所以

所以，点是线段的中点.

20.（本小题15分）

解：（Ⅰ），

所以，

由，得，

所以.

（Ⅱ）函数在单调递增.

因为，所以函数定义域为.

，

因为，所以.

因为，所以.

因此函数在区间上单调递增.

（Ⅲ）证明：当时，显然有，不等式成立；

当时，不妨设，

由于函数在区间上单调递增，

所以，

则

.

因为，所以，

所以，

所以.

综上，对任意的，成立.

21.（本小题14分）

解：（Ⅰ），.

（Ⅱ）最小值为6，的最大值6063.

证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列，

若，则中的每一个元素为，，

由题意，，

那么，对于任意的，总有.

同理，由题意，

那么，对于任意的，总有，

当时，满足：，.

（Ⅱ）的最小值为6069.

由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列，

中的每一个元素为，，

由题意，，

对于任意的，都有

，

即，.

构造数列：，，，

对于数列，设任意相邻6项的和为，则

，或

若，则

，

若，则

，

所以，即对这样的数列，，

又，所以的最小值为6069.