考点21 双曲线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练

考点21双曲线（核心考点讲与练）

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a<c时，则集合P为双曲线；

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．

2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略

在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．

3.圆锥曲线的弦长

（1）圆锥曲线的弦长

直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．

（2）圆锥曲线的弦长的计算

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．

双曲线的定义

一、单选题

1．（2022·广东潮州·二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（       ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段交双曲线C的右支于点B，，，则双曲线C的离心率为（       ）．

A． B． C． D．

3．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（       ）

A．双曲线C的方程为

B．点A到双曲线C的渐近线的距离为

C．若，则

D．若，则的外接圆半径为

6．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（       ）

A．若，则

B．当n过时，光由所经过的路程为13

C．射线n所在直线的斜率为k，则

D．若，直线PT与C相切，则

7．（2022·重庆八中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

8．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．

四、解答题

9．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，焦距等于8，点M在双曲线C上，且，的面积为12.

(1)求双曲线C的方程；

(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过的斜率不为的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.

10．（2022·福建漳州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是右支上一点，若I为的内心，且.

(1)求的方程；

(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，在点P处的切线l与直线相交于点M，与直线相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有.

双曲线的几何性质

1．（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（    ）

A．    B．    C．    D．

2.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（    ）

A.  B.  C. 6 D. 8

直线与双曲线的位置关系

1.．（江西省南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C：（a> 0，b> 0）的离心率为，实轴长为2．

（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；

（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为，求m的值．

2.（2021河北省部分名校高二上学期期中）在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，______，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．

注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

1.（2021年全国高考甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.（2021年全国高考乙卷）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 2

4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

一、单选题

1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（       ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)

A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m

C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m

2．（2022·山东淄博·模拟预测）双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是（       ）

A．2 B． C．4 D．

4．（2022·山东济宁·二模）过双曲线C：的左焦点F作圆的切线，设切点为A，直线FA交直线于点B，若，则双曲线C的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·天津南开·一模）已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（       ）

A． B．2 C． D．

6．（2022·天津河东·一模）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知､分别为双曲线的左､右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，则下列说法正确的是(       )

A．线段长度的最小值为

B．线段长度的最小值为

C．若当时，(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为

D．当时，若直线与圆相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为

8．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则(       )

A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为

C．PM平分 D．

9．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知直线y=kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则以下正确的结论有（     ）

A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的离心率为

C．双曲线的渐近线方程为y=±2x D．

10．（2022·重庆·二模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．双曲线的离心率为

C． D．

三、填空题

11．（2022·广东韶关·二模）过双曲线的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，Q两点，则|PQ|=_________．

12．（2022·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________.

13．（2022·海南海口·模拟预测）在直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为F，双曲线E：的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离心率为______．

14．（2022·江西·二模（理））已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分，则C的离心率为___________.

15．（2022·内蒙古通辽·二模（理））双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E的离心率为______．

四、解答题

16．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．

(1)若．

（ⅰ）求的渐近线方程；

（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：；

(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

17．（2022·江苏·南京市第一中学三模）双曲线：经过点，且渐近线方程为．

(1)求的值；

(2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点．

18．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，，虚轴长为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知，若的外心的横坐标为0，求直线的方程.

19．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．

(1)求C的方程；

(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．