+山东省青岛市崂山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+山东省青岛市崂山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．球体B．长方体C．圆锥体D．圆柱体
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝5，csA＝，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
4．反比例函数y＝（k≠0）的图象在直角坐标系中的位置如图，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）的在函数y＝（k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
5．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
7．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝与y＝bx+c在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．计算：cs60°+tan60°＝ ．
10．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
11．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 ．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2（a≠0）的解为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE＝2，则平行四边形ABCD的面积为 ．
14．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S四边形BEGF＝S△GDF；④BE＝2OG；⑤四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）如图，有一块三角形的铁片．
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上．
四、解答题（本大题共10小题，共74分）
16．（8分）解方程
（1）x2﹣5x+3＝0；
（2）2x2+6＝7x（配方法）．
17．（4分）已知关于x的方程2x2+（k﹣2）x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值．
18．（6分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
19．（6分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1＝在第一象限内的图象与直线y2＝x交于点D，且反比例函数y1＝交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）连接DE，若矩形的面积是27，求出△CDE的面积．
20．（6分）峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ平行于MN，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸MN的A处测得∠DAN＝21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN＝45°，求这条河的宽度（参考数据：sin21°≈，tan21°≈）．
21．（6分）2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元．
（1）求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？
22．（8分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线与F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足 时，四边形ADCF是菱形，并说明理由．
23．（10分）某公司在新年期间进行直播销售猕猴桃．已知猕猴桃的成本价格为8元/kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据．销售单价不低于成本价且不高于24元/kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）．
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利1不低于7200元？
24．（8分）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝ ；当m＝3，n＝3时，l＝ ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 ．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
25．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB，交线段AD于点E，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．
（1）当BE平分∠ABC时，求t的值；
（2）连接PQ，CE，设四边形PECQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得CE∥QP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．球体B．长方体C．圆锥体D．圆柱体
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选：D．
2．在下列命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：B．
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，且AB＝5，csA＝，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，可以求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，然后根据等积法即可求得CD的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，csA＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵，
∴，
解得，CD＝，
故选：C．
4．反比例函数y＝（k≠0）的图象在直角坐标系中的位置如图，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）的在函数y＝（k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵3＞2＞0，
∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限，
∴y2＜0，y3＜0，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y2＜y3＜y1．
故选：D．
5．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案．
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故选：D．
7．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP＝1，点D为AC边上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ABP∽△PCD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD的长．
【解答】解：∵∠APC＝∠ABP+∠BAP＝60°+∠BAP＝∠APD+∠CPD＝60°+∠CPD，
∴∠BAP＝∠CPD．
又∵∠ABP＝∠PCD＝60°，
∴△ABP∽△PCD．
∴＝，即＝．
∴CD＝．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝与y＝bx+c在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴经过x的负半轴，
∴a，b同号，
图象经过y轴的正半轴，则c＞0，
∵函数y＝，a＜0，
∴图象位于二、四象限，
∵y＝bx+c，b＜0，c＞0，
∴图象经过一、二、四象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．计算：cs60°+tan60°＝ 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：cs60°+tan60°＝+×＝2．
故答案为：2．
10．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故答案为k＞﹣1且k≠0．
11．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为 8 ．
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【解答】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.4，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．
故答案为8．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2（a≠0）的解为 x1＝0，x2＝﹣2 ．
【分析】由抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标得出当y＝2时，ax2+bx+c＝2（a≠0），x＝0或x＝﹣2，即可得出结果．
【解答】解：抛物线的对称轴为x＝﹣1，与y轴交于点（0，2），
当y＝2时，ax2+bx+c＝2（a≠0），
即纵坐标为2的点是（0，2）或（﹣2，2），
∴x＝0或x＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2的解为x1＝0，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝0，x2＝﹣2．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE＝2，则平行四边形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
【解答】解：过点O作OM⊥AB，与BA的延长线交于点M，与CD交于点N，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE＝DC＝AB，
∴△DOE∽△BOA，MN⊥CD，
∴＝＝2，
∴MN＝3ON，
∵S△DOE＝2，
∴，
∴DE•ON＝4，
∴S平行四边形ABCD＝CD•MN＝2DE•3ON＝6DE•ON＝6×4＝24．
故答案为：24．
14．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S四边形BEGF＝S△GDF；④BE＝2OG；⑤四边形AEFG是菱形．其中正确的结论有 ①③④⑤ ．
【分析】根据折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，则∠ADG＝∠GDF＝22.5°，故①正确；设AE＝x，则EF＝x，BE＝，则AD＝AB＝（1+）x，可判断②错误；用x表示出BE和OG的长，即可判断④正确；因为S△GDF＝，S△BED＝，可得出S△BED＝2S△GDF，即可判断③正确；因为AE＝AG，且AG＝FG，AE＝FE，则有AE＝AG＝FE＝FG，则可判断⑤正确．
【解答】解：∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，
∴∠ADG＝∠GDF＝22.5°，故①正确；
设AE＝x，则EF＝x，BE＝，
∴AD＝AB＝（1+）x，
∴tan∠AED＝，故②错误；
∵∠DAG＝45°，
∴∠AGE＝∠AEG＝67.5°，
∴AE＝AG＝x，
∴OG＝，
∴BE＝2OG，故④正确；
∵S△GDF＝，
S△BED＝，
且AD＝DF，BE＝2OG，
∴S△BED＝2S△GDF，
∴S四边形BEGF＝S△GDF，故③正确；
∵AE＝AG，
且AG＝FG，AE＝FE，
∴AE＝AG＝FE＝FG，
∴四边形AEFG是菱形，故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）如图，有一块三角形的铁片．
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上．
【分析】作CF平分∠ACB交AB于点F，作线段CF的垂直平分线交AC于点E，交BC于点G，连接EF，FG，四边形CEFG即为所求．
【解答】解：如图，四边形CEFG即为所求．
四、解答题（本大题共10小题，共74分）
16．（8分）解方程
（1）x2﹣5x+3＝0；
（2）2x2+6＝7x（配方法）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+3＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）2x2+6＝7x，
x2﹣x＝﹣3，
x2﹣x+＝﹣3+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝2，x2＝．
17．（4分）已知关于x的方程2x2+（k﹣2）x+1＝0有两个相等的实数根，求k的值．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元二次方程，解之即可求出k值．
【解答】解：∵方程2x2+（k﹣2）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（k﹣2）2﹣4×2×1＝k2﹣4k﹣4＝0，
解得：k1＝2+2，k2＝2﹣2．
18．（6分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为＝．
19．（6分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1＝在第一象限内的图象与直线y2＝x交于点D，且反比例函数y1＝交BC于点E，AD＝3．
（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；
（2）连接DE，若矩形的面积是27，求出△CDE的面积．
【分析】（1）根据AD＝3，得到点D的纵坐标为3，代入y＝x，解之，求得点D的坐标，再代入y＝，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式，
（2）根据“矩形的面积是24”，结合AD＝3，求得线段AB，线段CD的长度，得到点B，点C的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的坐标，根据“S△CDE＝CE×CD”，代入求值即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
点D的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝x得：
x＝3，
解得：x＝4，
即点D的坐标为：（4，3），
把点D（4，3）代入y＝得：
3＝，
解得：k＝12，
即反比例函数的关系式为：y＝；
（2）设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m＝27，
解得：m＝9，
即点B，点C的横坐标为：4+9＝13，
把x＝13代入y＝得：
y＝，
即点E的坐标为：（13，），
线段CE的长度为，
S△CDE＝CE×CD
＝
＝．
20．（6分）峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ平行于MN，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，小华在河岸MN的A处测得∠DAN＝21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN＝45°，求这条河的宽度（参考数据：sin21°≈，tan21°≈）．
【分析】设河的宽度为d米，过D作DF⊥MN于F，过C作CH⊥MN于G，构建直角三角形：Rt△ADF、Rt△BCG．通过解这两个直角三角形分别求得AF的值，依次列出关于d的方程，通过解方程来求d的值即可．
【解答】解：设河的宽度为d米，
过D作DF⊥MN于F，过C作CH⊥MN于G，
在Rt△ADF中，，
∴，
在Rt△BCG中，，即BG＝d，
又∵AB＝175，，两树的间隔为50米，
∴AF＝AG﹣50＝AB+BG﹣50，
∴d＝175+d﹣50，
解得：d＝75．
答：峨眉河的宽度约为75米．
21．（6分）2020年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2022年，家庭年人均纯收入达到了4900元．
（1）求该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2023年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到6800元？
【分析】（1）设该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2022年家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该贫困户2023年家庭年人均纯收入＝该贫困户2022年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2023年家庭年人均纯收入，再将其与6800比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意得：2500（1+x）2＝4900，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）．
答：该贫困户2020年到2022年家庭年人均纯收入的年平均增长率为40%；
（2）4900×（1+40%）＝6860（元），
∵6860＞6800，
∴2023年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6800元．
22．（8分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线与F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足 ∠BAC＝90° 时，四边形ADCF是菱形，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝DC，由（1）知四边形BDAF为平行四边形，则▱BDAF是菱形．
【解答】（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC满足：∠BAC＝90°时，四边形BDAF为菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
由（1）知四边形BDAF为平行四边形，
∴▱BDAF为菱形．
故答案为：∠BAC＝90°．
23．（10分）某公司在新年期间进行直播销售猕猴桃．已知猕猴桃的成本价格为8元/kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据．销售单价不低于成本价且不高于24元/kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）．
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利1不低于7200元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（9，2100）和（10，2000）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣100x+3000（8≤x≤24）；
（2）由题意得：w＝（x﹣8）（﹣100x+3000）
＝﹣100x2+3800x﹣24000
＝﹣100（x﹣19）2+12100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为12100，
∴当销售单价定为19元时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元；
（3）当w＝7200时，即﹣100x2+3800x﹣24000＝7200，
解得：x1＝12，x2＝26，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴当12≤x≤26时，w≥7200，
又∵8≤x≤24，
∴当销售单价x在12≤x≤24 时，日获利w不低于7200元．
24．（8分）【阅读】
通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE ＞ CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．
①当m＝1，n＝2时，l＝ ；当m＝3，n＝3时，l＝ 1 ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 1 ．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）①根据m，n的值代入计算即可．
②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），根据反比例函数k的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC＝AB＝（a+b），
②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，
∴a+b＞2，
故答案为：＞．
（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，
故答案为：，1．
②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），
∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴•≥1，
即l≥1，
∴l的最小值为1．
25．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB，交线段AD于点E，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒（0＜t≤3）．
（1）当BE平分∠ABC时，求t的值；
（2）连接PQ，CE，设四边形PECQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得CE∥QP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，根据相似三角形的性质求出AE，再证明AE＝AB，构建方程求解即可．
（2）如图，过点C作CF⊥AD于F，过点Q作QG⊥AB交AB的延长线于G，S＝S▱ABCD﹣S△APE﹣S△PBQ﹣S△DEC，求解即可．
（3）如图，连接EC，PQ．利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H，
∴DH＝8，
∴AH＝6，
∵PE⊥AB，DH⊥AB，
∴PE∥DH，
∴△AEP∽△ADH，
∴，
由运动知，AP＝2t，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∴，
∴．
（2）如图2中，过点C作CF⊥AD于F，过点Q作QG⊥AB交AB的延长线于G，
∵△AEP∽△ADH，
∴，
∴，
∴，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠A，
∵∠AHD＝90°，
∴△CDF∽△DAH，
∴，
∴，
∴CF＝，DF＝，
同法可证△BQG∽△ADH，
∴，
∴，
∴S＝S▱ABCD﹣S△APE﹣S△PBQ﹣S△DEC
＝64﹣×2t×t﹣（8﹣2t）×t﹣××
＝﹣t2﹣t+．
（3）存在，
如图3中，连接EC，PQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE∥QP，
∴∠PQB＝∠ECB，
∴∠CEQ＝∠PQB，
∴△EDC∽△PBQ，
∴，
∴，
化简得5t2﹣41t+60＝0，
解得：（舍去），．
∴t＝．
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
x（元/kg）
9
10
11
y（kg）
2100
2000
1900
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
x（元/kg）
9
10
11
y（kg）
2100
2000
1900