（9）锐角三角函数——2022年中考数学真题专项汇编

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（9）锐角三角函数——2022年中考数学真题专项汇编1.【2022年天津】的值等于(   )A.2 B.1 C. D.2.【2022年陕西A】如图，AD是的高.若，，则边AB的长为(   )A. B. C. D.3.【2022年四川乐山】如图，在中，，，点D是AC上一点，连结BD.若，，则CD的长为(   )A. B.3 C. D.24.【2022年浙江杭州】某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图），同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是m，m.已知B，C，E，F在同一直线上，，，m，则_______m.5.【2022年陕西A】如图，在菱形ABCD中，，.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且，作，，垂足分别为E，F，则的值为__________.6.【2022年浙江绍兴】圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为37°，夏至正午太阳高度角（即）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米.（1）求的度数.（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）.（参考数据：，，，）7.【2022年江西】图（1）是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图（2）所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，m，m.（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）.（结果保留小数点后一位.参考数据：，，）8.【2022年陕西A】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且，.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.9.【2022年河南】开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1 m.参考数据：，，）.10.【2022年山东青岛】如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动.小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离.（参考数据：，，，，，）11.【2022年天津】如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度（结果取整数）.（参考数据：，）12.【2022年重庆A】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，米.点E在点A的正北方向.点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°方向.（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近.（参考数据：，）13.【2022年山西】随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1 m.参考数据：，，，）.14.【2022年山东济宁】如图1，在中，，，，的对边分别为a，b，c.
，，
，.
.
拓展探究如图2，在锐角中，，，的对边分别为a，b，c.
请探究，，之间的关系，并写出探究过程.解决问题如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得m，，.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离.15.【2022年江西】综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（，）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.操作发现（1）如图（1），若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为______；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为_________.类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.①如图（2），当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；②如图（3），当时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）.拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示）.（参考数据：，，）
答案以及解析1.答案：B2.答案：D解析：，.，.在中，，，由勾股定理可知.3.答案：C解析：过D点作于E，，，，，，在中，，，，解得，，，，，，故选：C.4.答案：9.88解析：，，，，即，.5.答案：解析：连接AC交BD于点O，则，.在中，，，.在菱形ABCD中，，.，，，.6.答案：（1）47°（2）3.3米解析：（1），，，.答：的度数是47°.（2）在中，，.同理，在中，有.，.，（米）.答：表AC的长是3.3米.7.答案：（1）证明见解析（2）雕像的高约为7.5 m解析：（1），A，D，H，G四点共线，
.
，
，
.
又，
四边形DEFG为平行四边形.
（2）四边形DEFG为平行四边形，m，
m，
（m）.
如图，过点G作于点M.
 在中，m，，
（m）.
答：雕塑的高约为7.5 m.8.答案：旗杆的高AB为3米解析：，.
又，，
，.同理，，
，，
（米），
旗杆的高AB为3米.9.答案：32 m解析：如图，延长EF交DC于点H，由题意知，.
 设.
在中，，
.
在中，，
.
，，即，
，
.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.10.答案：观光船从C处航行到D处的距离为462.5米.解析：解：过点C作于点F，
 由题意得，，，在中，，四边形FEBC为矩形.在中，答：观光船从C处航行到D处的距离为462.5米.11.答案：112 m解析：如图，根据题意，，，.在中，，.在中，，.，.（m）.答：这座山AB的高度约为112 m.12.答案：（1）步道DE的长度约为283米（2）小红经过点B到达点D的路线较近解析：（1）如图，过点E作于点H.
 由题意，得.
在中，，
.
答：步道DE的长度约为283米.（2）在中，，
.
又，
.
在中，，
，，
.
从点A经过点B到达点D的路线长为；
从点A经过点E到达点D的路线长为.
答：小红经过点B到达点D的路线较近.13.答案：58 m解析：分别延长AB，CD与直线OF交于点G，点H，如图，
则.
又，四边形ACHG是矩形，
.
由题意，得，，，，.
在中，，，
.
是的外角，
，
，.
在中，，，
，
（m）.答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m.14.答案：拓展探究：见解析解答问题：点A到点B的距离为m.解析：（拓展探究）证明：作于点D，于点E.
 在中，.
同理：，
，.
，，
，.
，.
，.
.
（解答问题）解：在中，.
，.
解得：.答：点A到点B的距离为m.15.答案：（1）1，1，（2）①是等边三角形②（3）的最小值为，的最大值为解析：（2）①是等边三角形.
理由：方法一：如图（1），连接OB，OC.

四边形ABCD是正方形，
，.
在与中，

，
.
又，
为等边三角形.
方法二：如图（2），连接OB，OC，过点O作于点Q.
 四边形ABCD是正方形，
.
，
.
，
，即.
，
.
，
为等边三角形.
②连接OC.四边形ABCD是正方形，
.
在与中，

，
.
，
，
，
.
方法一：如图（3），过点O分别作于点K，作于点R.

在中，，，
，
.
同理可得，
.
方法二：如图（4），过点O分别作于点U，交BC于点T.
 在中，，，
，
，
.
又，
.
在中，，，
，
，
.
由（1）的结论可知：，
.
（3）的最小值为，的最大值为
设OG，OH分别与正方形的边交于点，.
如图（5），为的外接圆，连接OJ，，过点O，J分别作BC的垂线，垂足分别为V，I.
 易知，OV的长为定值1，
最小时，最小.
，最小时，最小.
，
当点J在OV上时，最小，
当时，的面积最小，如图（6），此时，
，
如图（7），过点O作于点L，将绕点O顺时针旋转90°得，，
同理可证当时，最大，如图（8）.

连接OC，易证，
，
，
，
，
，
.