第17讲 《函数基本概念及其图形的简单应用》考点分类复习（原卷版+解析）

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第17讲  《函数基本概念及其图形的简单应用》考点分类复习考点一  常量与变量【知识点睛】        常量：在一过程中，固定不变的量叫常量。常见的常量：①常常是表达式中的数字部分（包含前面的正负号、π也是数字）；②说明了是常数的字母；        变量：在一过程中，可以去不同数值的量叫变量。在一关系式中，常量和变量的个数没有要求，可以是1个，也可以是2个。常量和变量在某一过程中是相对存在的【类题训练】1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（　　）A．π B．r C．C D．r，C【分析】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应来解答．【解答】解：自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C，故选：D．2．球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（　　）A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π【分析】根据常量和变量的概念解答即可．【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量是V，R；常量是，π故选：A．3．把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（　　）A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．【解答】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．考点二  函数定义【知识点睛】        函数：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。☆：函数中只要求一个x的值，对应一个y的值，但是并没有说一个y的值也只能对应一个x的值，【类题训练】：4．变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y＝；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是（　　）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①【分析】根据函数的定义判断即可．【解答】解：①y＝﹣x+10，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合题意；③y＝x﹣3，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；④y＝±，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；故选：B．5．下列式子中，y不是x的函数的是（　　）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝±【分析】利用函数定义可得答案．【解答】解：A、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；B、y＝，y是x的函数，故此选项不合题意；C、y＝，y是x的函数，故此选项不合题意；D、y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意；故选：D．6．下列各图象中，y不是x的函数有（　　）A．    B． C．    D．【分析】根据函数的定义解决此题．【解答】解：A．选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故A不符合题意．B．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故B不符合题意．C．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故C不符合题意．D．该选项中的图象，在定义域内，存在x值，存在两个y值与之对应，那么y不是x的函数，故D符合题意．故选：D． 考点三  函数表示方法【知识点睛】函数的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法        解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式解析式法可以准确表示出两个变量之间的确定关系        列表法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式列表法能直接确定某些自变量所对应的函数值        图象法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式图象法可直观感受函数的变化过程        画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线；        从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面：（1）横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量；（2）找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标；（3）确定函数值随自变量变化而变化的实际意义；【类题训练】7．已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　）A．t＝40v B． C． D．【分析】根据时间＝路程÷速度即可得到答案．【解答】解：40米＝0.04千米，t＝，故选：B．8．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量m/g0＜m≤2020＜m≤4040＜m≤6060＜m≤80邮资y/元1.202.403.604.80某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（　　）A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20【分析】当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，据此可得结论．【解答】解：由题可得，当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，故选：D．9．某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系：销售数量x（个）1234…收入y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　）A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x＝8.3x；故选：A．10．已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是           【分析】表示出小明x小时所行路程为4xkm后，就可以表示出所剩路程为（3﹣4x）km，再根据实际求出自变量x的取值范围是0≤x≤．【解答】解：∵小明x小时行驶4xkm，∴剩余路程为（3﹣4x）km，又∵0≤4x≤3，∴0≤x≤，即y与x之间的函数表达式是y＝3﹣4x（0≤x≤）．故答案为：y＝3﹣4x（0≤x≤）．11.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，点A从点N出发，以2cm/s的速度向左运动，运动到点M时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积y（cm2）与时间x（s）之间的函数关系式为 　      　．【分析】用整式10﹣2x表示出边AM和HM的长，就可表示出此题结果．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴在运动过程中，始终∠MAH＝45°，即在运动过程中，始终HM＝AM＝（10﹣2x）cm，∴y＝（10﹣2x）2，整理得，y＝2x2﹣20x+50，故答案为：y＝2x2﹣20x+50．12．“漏壶”是一种古代计时器，如图所示．在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（　　）A．   B．   C．.   D．【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随x的增大而减小，符合一次函数图象，故选：C．13．为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费，如图是公司为居民绘制的水费y（元）随当月用水量x（吨）变化而变化的图象，则下列结论错误的是（　　）A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水18.5吨 D．若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元【分析】利用（10，15），（20，35）两点求出a，b的值即可．【解答】解：由图象可知，a＝15÷10＝1.5；b＝＝2；缴水费30元，则该用户当月用水为：10+（30﹣15）÷2＝17.5（吨）；用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）．故结论错误的是选项C．故选：C．14．星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程y与时间x的关系的大致图象是（　　）A．   B． C．   D．【分析】根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断．【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离公园的距离为0．故选项A、C、D不合题意；第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．15.某同学早上8点坐车从图书馆出发去山东大学，汽车离开图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述正确的个数是（　　）①汽车在途中加油用了10分钟②若OA∥BC，则加油前后的速度相同③若汽车加油后的速度是1.5千米/分，则a＝30④该同学8：55到达山东大学A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．【解答】解：图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故①结论正确；若OA∥BC，则加油前后的速度相同，故②结论正确．由题意：，解得a＝30，故③结论正确．该同学8：55到达山东大学，故④结论正确．所以正确的个数是4个．故选：A．16．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确的结论为              【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，所以甲的运动速度为：720÷9＝80（米/分），当第15分钟时，乙运动15﹣9＝6（分钟），运动距离为：15×80＝1200（米），∴乙的运动速度为：1200÷6＝200（米/分），∴200÷80＝2.5，故②正确；当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，故①正确；此时乙运动19﹣9＝10（分钟），运动总距离为：10×200＝2000（米），∴甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟），故a的值为25，故④错误；∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（米），∴b＝2000﹣1520＝480，故③正确．故正确的有：①②③．17．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．②食堂与图书馆相距0.2km．③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．其中正确的是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解；由图象可得，小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min，故①正确；食堂与图书馆相距0.8﹣0.6＝0.2（km），故②正确；小明从图书馆回家的速度为0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min），故③正确，故选：D．18．观察下列图形及表格：梯形个数n123456……周长l5811141720……则周长l与梯形个数n之间的关系式为 　    　．【分析】观察可得当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；即可得出当梯形个数为10个时，图形周长为5+（10﹣1）×3，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3．【解答】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；…，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3＝3n+2．故答案为：l＝3n+2． 考点四  函数中自变量的取值范围【知识点睛】        函数常见形式及其自变量的取值范围分式型：分母≠0;根式型：被开方数≠0零指数幂型：底数≠0实际问题型：满足实际意义【类题训练】18．在函数中，自变量的取值范围是（　　）A． B． C． D．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：要使函数意义，则6x﹣2≥0，解得x，故选：C．19．函数自变量x的取值范围是（　　）A．全体实数 B．x≠0 C．x＜2 D．x≠2【分析】根据分式的分母不为0解答即可．【解答】解：由题意得：2﹣x≠0，解得：x≠2，故选：D．20．函数y＝中自变量x的取值范围是 　    　．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0且x﹣1≠0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．21．函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（　　）A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x＞﹣1且x≠2，故选：C．考点五  函数中自变量的值与函数值【知识点睛】函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值；【类题训练】22．变量x，y的一些对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…420﹣2﹣4﹣6…根据表格中的数据规律，当x＝7时，y的值是（　　）A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．14【分析】根据表格中变量x、y的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可．【解答】解：由表格中变量x、y的变化关系可得y＝﹣2x，当x＝7时，y＝﹣2×7＝﹣14，故选：A．23．按如图所示的运算程序，能使输出k的值为3的是（　　）A．x＝1，y＝0 B．x＝2，y＝1 C．x＝1，y＝3 D．x＝2，y＝3【分析】根据题意一一计算即可判断．【解答】解：当x＝1，y＝0时，x＞y，则：k﹣1＝0，∴k＝1，不符合题意；当x＝2，y＝1时，x＞y，则：2k﹣1＝1，∴k＝1，不符合题意；当x＝1，y＝3时，x＜y，则：k＝3，符合题意；当x＝2，y＝3时，x＜y，则：2k＝3，∴k＝1.5，不符合题意．故选：C．24．当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是     【分析】将x＝2代入函数y＝﹣2x+1，即可求得相应的函数值，本题得以解决．【解答】解：当x＝2时，y＝﹣2×2+1＝﹣4+1＝﹣3，即当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是﹣3，故答案为：-325．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是       【分析】当m＜n时用左边的解析式算；当m≥n时用右边的解析式算．【解答】解：∵m＝4，n＝3，∴m＞n，∴y＝3n﹣2，当n＝3时，y＝3×3﹣2＝7．故答案为：726．变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（　　）A．13 B．5 C．2 D．3.5【分析】直接把y＝5代入y＝2x+1，解方程即可．【解答】解：当y＝5时，5＝2x+1，解得：x＝2，故选：C．27．变量x与y之间的关系是y＝﹣x2+1，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】把自变量x的值代入函数解析式进行计算即可得解．【解答】解：当x＝2时，y＝﹣×22+1＝﹣2+1＝﹣1，故选：B．【练习】28．如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，表示小明离他家的距离．小明家、菜地、玉米地在同一条直线上．（1）小明从家到菜地用了 　  　分钟，菜地离小明家有 　  　千米．（2）小明给菜地浇水用了 　  　分钟．（3）从菜地到玉米地用了 　  　分钟，菜地离玉米地有 　  　千米．（4）小明给玉米地锄草用了 　  　分钟．（5）玉米地离小明家有 　  　千米，小明从玉米地回家的平均速度是 　   　千米/分．【分析】观察函数图象得到小明用15分钟从家去菜地，浇水用了10分钟，又去离家2千米的玉米地，锄草用了18分钟，然后用了25分钟回家．【解答】解：由图象得：（1）小明从家到菜地用了15分钟，菜地离小明家有1.1千米．故答案为：15；1.1；（2）小明给菜地浇水用了25﹣15＝10（分钟）．故答案为：10；（3）从菜地到玉米地用了37﹣25＝12（分钟），菜地离玉米地有2﹣1.1＝0.9（千米）．故答案为：12；0.9；（4）小明给玉米地锄草用了55﹣37＝18（分钟）．故答案为：18；（5）玉米地离小明家有2千米，小明从玉米地回家的平均速度是2÷（80﹣55）＝千米/分．故答案为：2；．