2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（面积问题）及答案

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2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（面积问题） 1．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点．(1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________．(2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式；(3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N：①求满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围．    2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其对称轴直线与x轴交于点 D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．  3．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点，的坐标分别是，，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．(1)若抛物线经过点，，，求此抛物线的解析式．(2)在（1）的情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标．(3)在（1）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当，，，构成平行四边形时，求点的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．  5．已知二次函数的图象经过、两点，且对称轴为直线．设顶点为点，与轴的另一交点为点．(1)求二次函数的解析式及顶点的坐标；(2)如图1，在直线上是否存在点，使?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点是线段上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点向点运动，过点作直线轴，交于点．将沿直线对折，得到．在动点的运动过程中，设与梯形的重叠部分的面积为，运动时间为秒．求关于的函数关系式．  6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数经过点，，点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)当点位于直线上方且面积最大时，求线段的长；(3)是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．  7．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为．(1)请直接写出该抛物线的函数解析式；(2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为．①如图2，连接，，，求面积的最大值；②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标．  8．如图，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴相交于点，顶点为(1)直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？②设的面积为S，求S与的函数关系式  9．综合与探究如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标为______；(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标；(4)若为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．  10．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．(3)连接交于点Q，当的值为最小时，直接写出此时点D的坐标．  11．如图，已知二次函数的顶点是，且图象过点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)求直线的解析式；(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，如果存在，请求出C点的坐标，如果不存在，请说明理由．  12．如图，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．(1)求A、B、C三点坐标；(2)如图1，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动，同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒，问P、Q两点运动多久后的面积S最大，最大面积是多少？(3)如图2，点D为抛物线上一动点，直线交y轴于点E，直线交y轴于点F，求的值．  13．如图，抛物线．与x轴交于A，B两点，与y轴交于，直线经过点A且与抛物线交于另一点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值；(3)在第（2）问的条件下，求点P到直线的最大值．  14．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC，当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．  15．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？(3)已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，的周长最小？最小值是多少？  16．如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点，在第一象限内与直线交于． (1)求点的坐标．(2)求这条抛物线的表达式．(3)在第四象限内的抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形的面积为，求点的坐标（写出解题过程）．  17．如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点．(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；(2)连接，求的面积；(3)在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标．18．如图在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A、B两点、交y轴于点C、交直线OD于点D，直线OD的解析式为，D点的横坐标是4．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PD、CD，设P点的横坐标是t，△PCD的面积是S，求S与t的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，点E在y轴正半轴，点F在射线OD上，若，，，求点P的坐标．
参考答案：1．(1)，(2)(3)①；② 2．(1)(2)的最大值为17，此时点P的坐标为(3)点M的坐标为或或或，  3．(1)(2)当的坐标为时，的面积最大，最大面积为(3)的坐标为或或或；的坐标为或5．(1)，顶点P坐标为；(2)存在点D使，此时或；(3)当时，；当时， 6．(1)，；(2)2；(3)存在，或或． 7．(1)(2)①4② 8．(1)，，对称轴是x=1(2)①，当时，四边形为平行四边形；② 9．(1)(2)(3)(4)或 10．(1)(2)能，点D的坐标为或(3)M点的坐标为 11．(1)；(2)；(3)存在，或． 12．(1)、，(2)运动秒时，有最大值，最大值为(3) 13．(1)；(2)；(3)． 14．(1)；(2)存在，，；(3)；9． 15．(1)(2)(3)，周长最小值为 16．(1)（2，2）(2)(3)（1，-1） 17．(1)，二次函数对称轴为直线(2)3(3) 18．(1)(2)(3)