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第3章 函数的概念与性质(知识清单)高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)
展开第3章 函数的概念与性质知识清单
一、函数的概念
1.函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
| 函数 | 映射 |
两个集合A、B | 设A、B是两个非空数集 | 设A、B是两个非空集合 |
对应关系 | 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 | 按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 |
名称 | 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 | 称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 |
记法 | y=f(x),x∈A | f:A→B |
注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法.
解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;
列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;
图象法:注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1.函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.
2.函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是y=f(x)的形式,可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不注明定义域往往导致错误.
3.函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合,熟练掌握以下四种常见初等函数的值域:
(1)一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞).
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0),
当a>0时,二次函数的值域为;
当a<0时,二次函数的值域为.
求二次函数的值域时,应掌握配方法:.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,则这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
1.(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.
①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.
②函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x−1,g(t)=2t−1,h(m)=2m−1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从集合A到集合B的映射共有个.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.
四、函数的单调性
(1)单调函数的定义
| 增函数 | 减函数 |
定义 | 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 | |
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 | 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 | |
图象描述 | 自左向右看图象是上升的 | 自左向右看图象是下降的 |
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
五、函数的最值
前提 | 设函数的定义域为,如果存在实数满足 | |
条件 | (1)对于任意的,都有; (2)存在,使得 | (3)对于任意的,都有; (4)存在,使得 |
结论 | 为最大值 | 为最小值 |
注意:(1)函数的值域一定存在,而函数的最值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素;若函数的值域是开区间,则函数无最值,若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
六、函数单调性的常用结论
(1)若均为区间A上的增(减)函数,则也是区间A上的增(减)函数;
(2)若,则与的单调性相同;若,则与的单调性相反;
(3)函数在公共定义域内与,的单调性相反;
(4)函数在公共定义域内与的单调性相同;
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反;
(6)一些重要函数的单调性:
①的单调性:在和上单调递增,在和上单调递减;
②(,)的单调性:在和上单调递增,在和上单调递减.
七、函数的奇偶性
(1).函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
偶函数 | 如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是偶函数 | 图象关于轴对称 |
奇函数 | 如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是奇函数 | 图象关于原点对称 |
判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个x,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
(2).函数奇偶性的几个重要结论
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2),在它们的公共定义域上有下面的结论:
偶函数 | 偶函数 | 偶函数 | 偶函数 | 偶函数 | 偶函数 |
偶函数 | 奇函数 | 不能确定 | 不能确定 | 奇函数 | 偶函数 |
奇函数 | 偶函数 | 不能确定 | 不能确定 | 奇函数 | 偶函数 |
奇函数 | 奇函数 | 奇函数 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
(3)若奇函数的定义域包括,则.
(4)若函数是偶函数,则.
(5)定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
(6)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数,为奇函数,为偶函数.
(7)掌握一些重要类型的奇偶函数:
①函数为偶函数,函数为奇函数.
②函数(且)为奇函数.
③函数(且)为奇函数.
④函数(且)为奇函数.
八、函数的周期性
1.周期函数
对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做的最小正周期(若不特别说明,一般都是指最小正周期).
注意:并不是所有周期函数都有最小正周期.
3.函数周期性的常用结论
设函数,.
①若,则函数的周期为;
②若,则函数的周期为;
③若,则函数的周期为;
④若,则函数的周期为;
⑤函数关于直线与对称,那么函数的周期为 ;
⑥若函数关于点对称,又关于点对称,则函数的周期是;
⑦若函数关于直线对称,又关于点对称,则函数的周期是;
⑧若函数是偶函数,其图象关于直线对称,则其周期为;
⑨若函数是奇函数,其图象关于直线对称,则其周期为
6.奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数,则的图象关于直线对称;
②若是偶函数,则
的图象关于点中心对称;
九、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
十、幂函数的图像及其性质的应用
1.幂函数y=xα的图象与性质,由于α值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
①α的正负:当α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升;当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下:
α | α>1 | 0<α<1 | α<0 |
图象 | |||
特殊点 | 过(0,0),(1,1) | 过(0,0),(1,1) | 过(1,1) |
凹凸性 | 下凸 | 上凸 | 下凸 |
单调性 | 递增 | 递增 | 递减 |
举例 | y=x2 | 、 |
2.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.