四川省达州市2023届高考第一次诊断测试模拟考试文科数学试题（有答案）

达州市2023届毕业年级第一次诊断测试模拟考试

文科数学

总分: 150分

一 单选题（5分*12）

1. 设集合 ​, 则​等于（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

2. 如图, 若向量 ​对应的复数为​, 则​表示的复数为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

3. 已知函数 ​, 则​（    ）

A.​ B.1 C.​ D.5

4. 设条件甲: “事件 ​与​是对立事件”, 结论乙: “概率满足​” , 则甲是乙的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 执行程序框图, 则输出的 ​的值为（    ）

A.31 B.32 C.63 D.64

6. 已知平面向量 ​是非零向量,​夹角​, 则向量​在向量​方向上的投影为（    ）

A.​ B.1 C.​ D.2

7. 已知直线 ​与圆​相切, 则​的最大值为（    ）

A.3 B.2 C.​ D.​

8. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

9. 已知定义在 ​上的函数​满足​, 当​时,​​, 则​等于（    ）

A.1 B.​ C.​ D.2

10. 已知函数 ​在区间​上单调递增, 则​的取值范围为（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

11. 某顾客在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式购买一辆价值 2 万元的家电, 在购买一个 月后 2 月 1 日第一次还款, 且以后每个月 1 日等额还款一次, 如果一年内还清全部贷款 ​月 1 日最后一次还款), 月利率为​.按复利计算, 则该顾客每个月应还款多少元? (精确到 1 元, 参考值​（    ）

A.1767 B.1818 C.1923 D.1946

12. 如图所示, 设正方体 ​的棱长为​, 点​是棱​上一点, 且​, 过​的平面交平面​于​在直线​上, 则​（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

二 填空题（5分*4）

13. 设变量 ​满足约束条件:​则目标函数​的最大值为__________.

14. 已知数列 ​满足​, 则​等于__________.

15. 已知点 ​是坐标平面内一定点, 若抛物线​的焦点为​, 点​是抛物线上的一动点, 则​的最小值是__________.

16. 已知当 ​时, 不等式​恒成立, 则正实数​的最小值为__________.

三 解答题

17. （12分）

​中, 内角​的对边分别为​, 已知​.

(1)求 ​;

(2) 设 ​是线段​的中点, 若​, 求​.

18. （12分）

第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所大学各随机抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.

（1）计算A，B两所大学学生的考核成绩的平均值；

（2）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.

19. （12分）

如图, 在四棱锥 ​中, 底面​是边长为 2 的菱形,​​, 侧面​为等边三角形.

(1)求证: ​;

(2) 若平面 ​平面​, 点​为​的中点, 求三棱锥​的体积.

20. （12分）

平面直角坐标系 ​中, 已知椭圆​, 椭圆​。设点​为椭圆​上任意一点, 过点​的直线​交椭圆​于​两点, 射线​交椭圆​于点​.

(1) 求证: ​;

(2)求 ​面积的最大值.

21. （12分）

已知函数 ​, 其中​为常数.

(1) 当 ​时, 判断​在区间​内的单调性;

(2) 若对任意 ​, 都有​, 求​的取值范围.

22. （10分）

在平面直角坐标系 ​中, 曲线​的方程为​以​为极点,​轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线​的极坐标方程分别为​.

(1) 若曲线 ​相交于异于极点的点​, 求点​的极坐标;

(2) 若直线 ​与​相交于异于极点的​两点, 求​的最大值.

23. （10分）

设 ​的最大值为​.

(1) 求 ​;

(2) 若 ​, 求​的最大值.

答案

1.  A

 【解析】

​得​或 1 ，所以​，

解 ​得​，

所以 ​

则 ​.

故选: A.

2.  D

 【解析】

由题图可得 ​，即​，

所以 ​.

故选: D.

3.  B

 【解析】

​

则 ​,

​,

解得 ​.

故选: B.

4.  A

 【解析】

①若事件 ​与事件​是对立事件，则​为必然事件，再由概率的加法公式得​；

②投掷一枚硬币 3 次，满足 ​，但​不一定是对立事件，如：事件​: “至少出现一次正面”，事件​: “出现3次正面”，则​，满足​，但​，​不是对立事件.

所以甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

5.  C

 【解析】

模拟程序的运行，

​

​， 满足条件​，

​，满足条件​，

​， 满足条件​，

​，满足条件​，

​，满足条件​，

​，此时，不满足条件​，退出循环，输出​的值为 63 .

故选：C.

6.  A

 【解析】

略

7.  D

 【解析】

因为直线 ​与圆​相切，

所以 ​，即​，

因为 ​，所以​，

所以 ​，

所以 ​的最大值为​，

故选：D.

8.  B

9.  D

10. B

 【解析】

由函数解析式知: ​在​上单调递增，

​单调递增，

又 ​在区间​上单调递增，

​，解得​，

所以当 ​时，有​，

故选: B.

11. A

 【解析】

设每月还款 ​元，共还款 11 个月，

所以 ​，

​.

故选: A.

12. A

 【解析】

因为平面 ​平面​，而平面​平面​，平面​平面​，

所以 ​.

又因为 ​，所以​，

设 ​，因为​，

所以 ​.

所以 ​，即​.

又知 ​，

所以 ​，

所以 ​，又​，

所以 ​.

故选A.

13.

​

 【解析】

根据不等式组作出可行域，如图所示

当目标函数 ​经过点​时，​取最大值为​.

14.

7

 【解析】

​

​是等差数列，

由等差数列性质可得 ​，

​,

​.

15.

​

 【解析】

抛物线的准线方程为 ​，

当 ​轴时，​取得最小值，此时点​的纵坐标​，

代入抛物线方程 ​得​的横坐标​，

则 ​.

故答案为 ​.

16.

​

 【解析】

由题意得，原不等式可变形为 ​，即​，

设 ​，则当​时，​恒成立，

由 ​，得​，

当 ​时，​，当​时，​，

所以 ​在​上单调递减，在​上单调递增，

因为 ​，所以​，

因为 ​在​上单调递增， 所以要使​，

只要 ​， 两边取对数得，​，

因为 ​，所以​，

令 ​，则​，

所以 ​在​上单调递增，

所以 ​elne​，

所以 ​，

所以 ​，

所以正实数 ​的最小值为​，

故答案为: ​.

17.

(1)​.

(2)​.

 【解析】

(1)根据正弦定理, 由 ​, 即​,

由余弦定理可得, ​,

因为 ​为三角形内角, 所以​.

(2)因为 ​是线段​的中点,​,

所以 ​,

则 ​,​,

 解得 ​或​(舍),

因此 ​,

所以 ​.

18.

(1) ​,​.

(2)​.

 【解析】

(1) ​,

​.

(2)记事件 ​为 “从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人, 2 人来自同一所大学” .

样本中, ​校考核等级为优秀的学生共有 3 人, 分别记为​

​校考核等级为优秀的学生共有 3 人, 分别记为​,

从这 6 人中任取 2 人,所有的基本事件为 ​,​共 15 个,

而事件 ​包含的基本事件是​共 6个,

因此 ​.

19.

(1)证明见解析.

(2)​.

 【解析】

(1)证明：如图, 取 ​的中点​, 连接​,

因为 ​为等边三角形,​是​的中点, 所以​,

因为底面 ​是菱形,​,

所以 ​是等边三角形,​,

因为 ​平面​,

所以 ​平面​, 因为​平面​, 所以​.

(2)因为底面 ​是边长为 2 的菱形,​为等边三角形,

所以 ​,

底面 ​的面积为​,

因为平面 ​平面​, 平面​平面​,

所以 ​平面​,

因为 ​为​的中点,

所以 ​.

20.

(1)证明见解析.

(2)​.

 【解析】

证明(1)设 ​, 由题意知​.

因为 ​, 又​, 即​, 所以​,

即 ​.

(2)由(1)知, ​面积为​，

设 ​.

将 ​代入椭圆​的方程, 可得​,

由 ​, 可得​,①

则有 ​. 所以​.

因为直线 ​与​轴交点的坐标为​,

所以 ​的面积​

​.

设 ​, 将​代入椭圆​的方程,

可得 ​,

由 ​, 可得​，②

由 (1)(2)可知 ​, 因此​, 故​, 当

且仅当 ​, 即​时取得最大值​.

所以 ​面积的最大值为​.

21.

(1) ​在区间​上单调递增.

(2) ​.

 【解析】

(1) 当 ​时, 得​,

故 ​,

当 ​时,​恒成立,

故 ​在区间​上单调递增.

(2) 当 ​时,​,

故 ​, 即​, 即​.

令 ​,

① 当 ​时,​, 又​,

故 ​在​上恒成立, 故​;

② 当 ​时,​,

令 ​,

故 ​在​上恒成立,​在​上单调递增,

故 ​,

即 ​在​上单调递增,

故 ​, 故​;

③ 当 ​时, 由②可知​在​上单调递增,

设 ​时的根为​, 则​在​上单调递减;

在 ​上单调递增.

又 ​, 故​, 舍去.

综上, ​.

22.

(1) ​.

(2) ​.

 【解析】

(1) 由 ​, 由​.

所以点 ​的极坐标为​.

(2) 可得 ​的极坐标方程为​,

则 ​.

设 ​,

则 ​,

所以 ​,

因为 ​,

所以 ​.

故 ​的最大值为​.

23.

(1)​.

(2)2 .

 【解析】

(1)​

所以 ​,

即 ​.

(2)由(1)知 ​.

因为 ​, 所以​,

所以 ​.

所以 ​的最大值为 2 .