福建省宁德博雅培文学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（10月）(解析版)

这是一份福建省宁德博雅培文学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（10月）(解析版)，共28页。试卷主要包含了必须保持答题卷的整洁，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
宁德培文学校初中部十月学习能力测评
九年级数学试卷
说明：
1．答卷前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、座位号，填写在试卷相应位置上。
2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液（不按以上要求作答的答案无效）。
3．必须保持答题卷的整洁。
一、选择题（）
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．
2．方程的解是（       ）．
A． B． C．， D．，
3．在△ABC中，∠A=90°，若AB=8，AC=6，则cosC的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若AB=4，AC=3，BC=2，则BE的长为（     ）

A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（       ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形 B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC=BD时，它是正方形
6．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是(     )
A． B． C．或 D．
7．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
8．下列说法正确的是（       ）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
9．抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示
x
…


0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

从上表可知，下列说法错误的是（       ）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为 B．抛物线与y轴的交点坐标为
C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（       ）个

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（）
11．如图，在坡度为1︰2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________．

12．将配方成的形式，则n＝__．
13．若点、、在反比例函数图象上，则a、b、c的大小______（用连接）
14．如图，在直角坐标系中，点 E (-4, 2), F (-2, -2 )，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把DEFO 缩小为DE¢F ¢O ，则点 E 的对应点 E¢ 的坐标为______________.

15．若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．

16．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为______．


三、解答题（共86）
17．解方程：
(1)计算：
(2)解方程：．
18．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．

19．如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．

(1)以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
20．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求OE的长．
21．某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．
频数分布表
组别
销售数量（件）
频数
频率
A
20≤x＜40
3
0.06
B
40≤x＜60
7
0.14
C
60≤x＜80
13
a
D
80≤x＜100
m
0.46
E
100≤x＜120
4
0.08
合计
b
1

请根据以上信息，解决下列问题：
(1)频数分布表中，a＝ 、b＝ ；
(2)补全频数分布直方图；

(3)如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”的人数．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求∠EOD的度数．
23．自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：＞0．
解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想        ②分类讨论思想       ③数形结合思想
（2）一元二次不等式＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0．

24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
25．综合与探究
四边形ABCD是正方形．连接BD，点E，P分别在BD，BC上．连接PE，将线段PE绕点P按逆时针方向旋转得到PF，连接BF，EF

(1)如图1，若点P与点C重合，则BF与BD的位置关系是____________．
(2)如图2，若点P不与点C重合，（1）中的结论还正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由．
(3)连接DF，G是DF的中点，O是BD的中点，连接OG，若正方形ABCD的边长为8，．
①如图3，当点E与点O重合时，求OG的长．
②如图4，当点E与点O不重合，且时，直接写出OG的长．




1．A
【详解】
解：A．是二次函数，故A符合题意；
B．是一次函数，故B错误；
C．a=0时，不是二次函数，故C错误；
D．a≠0时是分式方程，故D错误；
故选A．
2．C
【分析】
先提取公因式x，再因式分解可得x（x-1）=0，据此解之可得．
【详解】
解：，
x(x-1)=0,
则x=0或x-1=0,
解得x1=0，x2=1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．
3．D
【分析】
直接利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：如图所示：∵∠A=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
故cosC= == ．
故选D．

【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
4．B
【分析】
根据将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED可得△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，得出△ABE是等边三角形是解题的关键．
5．D
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
6．C
【分析】
构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．
【详解】
解：由，消去得到：，
一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，
△，
即，
或，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
7．A
【详解】
解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4）．
故选：A．
8．C
【分析】
根据题意抽样调查、必然事件、方差及概率的定义即可依次判断．
【详解】
A.为了解三名学生的视力情况，采用全面调查，故错误；
B.在平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故错误；
C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定，正确；
D.一个抽奖活动中，中奖概率为，不能表示抽奖20次就有1次中奖，故错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知抽样调查、必然事件、方差及概率的定义．
9．C
【分析】
根据当时，即可判断A；根据当时，即可判断B；根据当和当的函数值相同，即可判断C；根据即可判断D．
【详解】
解：∵当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为，故A不符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，故B不符合题意；
∵当和当的函数值相同，
∴抛物线对称轴为直线，故C符合题意；
∵，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10．A
【分析】
①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确.
【详解】
过D作DM∥BE交AC于N，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵，
∴，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵
∴，
∵
设，则，S四边形CDEF=
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键.
11．米．
【分析】
先画出符合题意的几何图形，利用坡度为1︰2，建立方程求解垂直高度，再利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：



即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
故答案为：米．

【点睛】
本题考查的解直角三角形的应用，掌握坡度的定义是解题的关键．
12．3
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】
解：，
移项：，
配方：，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
13．
【分析】
根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，进而得到、在第二象限，在第四象限，据此求解即可．
【详解】
解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∵点、、在反比例函数图象上，
∴、在第二象限，在第四象限，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
14．（2，-1）或（-2，1）．
【分析】
由在直角坐标系中，点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
【详解】
解：∵点E（-4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，-1）或（-2，1）．
故答案为（2，-1）或（-2，1）．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解此题的关键．
15．
【分析】
画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：依题意，画树状图如图：

共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．画出树状图是解题的关键．
16．4
【分析】
本题可从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．
【详解】
∵、、位于反比例函数图象上，
∴，，
过点作轴于点，作轴于点，
∴四边形ONMG是矩形，
∴，
∵为矩形对角线的交点，
∴，
∵函数图象在第一象限，
∴，
∴++S四边形ODBE=，
解得：．

故答案为4
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
17．(1)
(2)

【分析】
（1）先计算负整数指数幂，零指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）解：原式

；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．m．
【分析】
如图，过A作AD⊥BC于D，设AD=xm，通过锐角三角函数可知：BD＝xm，DC＝xm；根据BC的长为40m即可建立方程，解之即可求出河宽.
【详解】
解：作AD⊥BC,垂足为D.

设AD= xm，
∵∠ABC=45°，
∴BD＝AD= xm，
∵∠ACB=30°，
∴DC＝＝xm，
∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，
∴，
解得，，
答：则河的宽度为m.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用. 通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)

【分析】
（1）根据题意在三角形ABC内作∠ADE＝∠B；
（2）根据（1）的结论可得∠ADE＝∠B，根据∠DAE＝∠BAC，证明△ADE∽△ABC，列出比例式，代入数值进行计算求解即可．
【详解】
（1）
如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴DE＝．
【点睛】
本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)2

【分析】
（1）由平行线的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，从而可求出，即，进而得出，即证明四边形ABCD是平行四边形，再由进而可证明是菱形；
（2）由菱形的性质可知 ，，，即可利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出OE的长．
【详解】
（1）∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．
∴，，，
∴．
∵，
∴．
在中，，O为AC中点．
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识．掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
21．(1)0.26，50
(2)见解析图
(3)216人

【分析】
（1）由频数除以相应的频率可求出抽取的总人数b的值，从而确定频数为13相对于的频率a的值；
（2）先由频率0.46求出相应的频数m，再补全频数分布直方图即可；
（3）先求出不低于80件销售人员的百分比，再乘以总人数400即可．
【详解】
（1）3÷0.06=50人，13÷50=0.26
所∴a=0.26，b=50
故答案为：0.26，50．
（2）m=50×0.46=23
补全频数分布直方图，如图所示：

（3）400×(0.46+0.08)=216人
∴估计该季度被评为“优秀员工”的人数为216人．
【点睛】
本题主要考查了频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，理清题中数据是解题关键．
22．(1)y
(2)15°

【分析】
（1）根据题意易证△AOD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出，即得出A点坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可；
（2）根据题意易证OA＝AE，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可推出CE＝AE＝BE，即可根据等腰三角形的性质得出∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，最后根据平行线的性质可得出∠EOD＝∠ECB，即得出∠AOE＝2∠EOD，即可求出∠EOD的大小．
【详解】
（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴A(2，2)，
∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴，
解得：k＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∴∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOD＝45°，
∴∠EOD＝15°．
【点睛】
本题为反比例函数与三角形的综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，三角形外角的性质以及平行线的性质．综合性强，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23．（1）①，③；（2）0＜x＜5；（3）x＜﹣1或x＞3．
【详解】
试题分析：（1）根据题意容易得出结论；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即＜0，即可得出结果；
（3）设=0，解方程得出抛物线y=与x轴的交点坐标，画出二次函数y=的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，即可得出结果．
试题解析：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为①③；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即＜0，∴一元二次不等式＜0的解集为：0＜x＜5；
故答案为0＜x＜5．
（3）设=0，解得：=3，=﹣1，∴抛物线y=与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，∴一元二次不等式＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3．

考点：二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点；阅读型．
24．（1）y=﹣30x+2100；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【分析】
(1)每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量，代入即可求解函数关系式；
(2)根据利润=销售量(销售单价﹣成本)，建立二次函数，用配方法求得最大值．
(3)根据题意可列不等式，再取等将其转化为一元二次方程并求解，根据每星期的销售利润所在抛物线开口向下求出满足条件的x的取值范围，再根据(1)中一元一次方程求得满足条件的x的取值范围内y的最小值即可．
【详解】
（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．
（2）设每星期利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．
∴x＝55时，W最大值＝6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x＝52时，销售300+30×8＝540，
当x＝58时，销售300+30×2＝360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用，注意综合运用所学知识解题．
25．(1)垂直
(2)正确；证明见解析
(3)①；②或

【分析】
（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过点P作，交BD于点H，根据正方形的性质和旋转的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）①如图2，过点P作，交BD于点K，根据正方形的性质和三角形中位线的性质求解即可；②分两种情况讨论，当点E在点O的上方时，过点P作，交BD于点M，设，当点E在点O的下方时，过点P作，交BD于点N，设，分别列出方程进行求解即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，且BD为该正方形的对角线，
∴，，
∵将线段PE绕点P按逆时针方向旋转得到PF，
∴，，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）确．
如图1，过点P作，交BD于点H，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在和中
，
∴，

∴，
∴，
∴．
（3）①如图2，过点P作，交BD于点K，

由（2）知，．
∵正方形ABCD的边长为8，，
∴，
∴，
∴．
由（2）知，．
∵O是BD的中点，G是DF的中点，
∴OG是的中位线，
∴；
②或．
如图3，当点E在点O的上方时，过点P作，交BD于点M，
设，
由①知，，
∴．
∵，
∴，
解得，即．
如图4，当点E在点O的下方时，过点P作，交BD于点N，
设，
由①知，，
∴．
∵，
∴，
解得，即．
综上所述，OG的长为或．

【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质和三角形中位线的判定和性质，解决本题的关键是掌握数形结合的思想和分类讨论的思想．