重庆市长寿中学2022-2023学年高三数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

重庆市长寿中学校高三上期·12月月考

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2．复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为(   )

A. 或 B.
C. 或 D.

4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则(   )

A.                      B.

C.    D.

5．某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是(     )

A.  B.  C.  D.

6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取最大值时，外接圆的面积(    )

A.  B.  C.  D.

7．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且如图将四边形沿折起，连结、、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是(    )
平面；
、、、四点不可能共面；
若，则平面平面；
平面与平面可能垂直．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9．已知函数，下列叙述正确的有(    )

A. 函数是偶函数
B. 函数的周期为
C. 函数在区间上单调递减
D. ，，

10．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则(    )

A. 的最小值为 B. 面积的最大值为
C. 直线的斜率为 D. 直线与直线的斜率之积为定值

11．已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 展开式中二项式系数和为
C. 展开式中项的系数为 D.展开式中有项有理项

12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是(    )

A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B. 该单位每月最低可获利元
C. 该单位每月不获利也不亏损
D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是           ．

14．已知函数为奇函数，设，则    ．

15．若，，，且，，共面，则        ．

16．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．本小题10分已知等差数列和等比数列满足，，，．
求数列，的通项公式；
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．

18．本小题12分如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长单位为百米；

若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图，使得为正三角形，求的面积最小值．

19．本小题12分月日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩满分为分作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．

求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；

在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率．

20．本小题12分如图，已知平行六面体中，底面是边长为的菱形，，．
 

求线段的长

求异面直线与所成角的大小．

21．本小题12分已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的周长为．

求的方程；

设为上异于，的动点，直线与轴交于点，过作，交轴于点试探究在轴上是否存在一定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

22．本小题12分若函数和的定义域均为，关于和的“线函数”定义如下：存在实数，使得．
函数，线函数，求实数的值；
若关于和的线函数同时满足以下条件：是偶函数；的最小值为求的解析式．

重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学答案

1．C

解：因为集合，所以，
在集合中，因为，得，即，
又，所以，，，
即．
故选C．

2．   A

解：根据题意，，


的虚部为．
故答案选：A．

3．D

解：两个正实数，满足，，

，
当且仅当，即，时等号成立，
，
又不等式恒成立，则应，
解得，
故选：D．

4．B

解：由题意可得，，

，
故选B．

5．B

解：根据甲的位置不同分三种情况讨论：
甲坐在四个角的位置，有种坐法，而乙有种坐法，则有种坐法
甲坐在四条边上但不是四个角上，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法
甲坐在中间的位置，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法
共有种
甲、乙共有种，
两人前后左右均不相邻的概率是．
故选B．

6．B

解：令，则，
所以，则，
当且仅当时取得等号．
又，故．
又，所以当时，取得最大值，
故此时由正弦定理可得的外接圆的直径为，
所以此时外接圆的面积为．
故选：B．

7．A

解：对于，在图中记与的交点中点为，取的中点为，连结，
易证得四边形为平行四边形，
即，面，面，平面，故正确；
对于，如果四点共面，由平面，，
与已知矛盾，故正确；
对于，在梯形中，易得，
又，，
平面，
即有，
又，与相交，
平面，则平面平面，故正确；
对于，延长至使得，连结、，
易得平面平面，过作于，
则平面．
若平面平面，
则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故错误．
故选：A．

8．D

解：作出函数的大致图象，如图所示：
设，则当或时，方程只有个解，
当时，方程有个解，
当时，方程有个解，
当时，方程无解，
关于的函数有个不同的零点，
关于的方程在上有两个不相等的根，
，解得：，
即实数的取值范围是，
故选D．

9．AC

解：函数定义域为，且，即A正确
易知，，所以，即B错误

当时，，则，所以在该区间上单调递减，即C正确
由B所举例可知，D错误．
故选AC．

10．BCD

解：如图所示，

对于，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，
，
，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于，由，得，，
的面积，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于，设，则，，故直线的斜率，故C正确

对于，设，则，
又因为点和点在椭圆上，所以，，
得：，
因为，则，得，所以，
直线与直线的斜率之积为定值，故D正确．
故本题选BCD．

11．BD

解：令，得，所以，A错误；
展开式中二项式系数和为，B正确；
展开式的通项公式为，令，解得，展开式中项的系数为，C错误．

展开式的通项公式为，当，，时，为有理项，D正确；
故选BD．

12．AD

解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则
，
因为，所以当时，有最大值元．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
故选AD．

13． 

解：函数的对称轴为，
则或，
解得或．
则的取值范围为．
故答案为．

14．

解：函数为奇函数，
，
所以，
即，
则，
，
，
则，
则，
所以，
故答案为．

15．

解：，，共面，且易知，不共线，
存在实数使得，

解得．
故答案为：．

16．

解：由已知当时，，令，
则当时，，
所以在上单调递减．
由是定义在的奇函数，，
故是定义在的偶函数．
令，则关于对称，且在上单调递减，
当时，，则，
即，
即，所以，得；
当时，，则，
即，
由上可得在上单调递增，
即，所以，得，
故不等式解集为．

17．解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
则，，，，；
由题意可得的前几项为，，，，，，，，，，，，
即在与之间有项，可得的第项在与之间，
所以

．

18．解：点是等腰三角形的顶点，且，，

且由余弦定理可得：，
解得：，又，

在中，，，，在中，由余弦定理得

，解得，，，

连廊的长为百米．

解：设图中的正三角形的边长为，，
则，，

设，可得，，，

在中，由正弦定理得：，即，

即，化简得：，
，

其中，为锐角，且．

19．解：由频率分布直方图可得，，

则，

前组的频率和为，

第组频率为，
所以第百分位数位于第组内，

记第百分位数为，则，解得，

即第百分位数为；

由频率分布直方图可知，
成绩在，，内的频率分别为，，，

采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有人，记为，
成绩在内的有人，记为、，
成绩在内的有人，记为、、，

则从成绩在内的人随机抽取人，共有：
、、、、、、、、、、、、、、，共有种，

人中至少有人成绩在内，共有：
、、、、、、、、、、、，有种，

记事件“人中至少有人成绩在内”，则．

20．解：设，则，
又，
所以，
又，
所以

，
所以线段的长为．
，，
所以
，
所以，
即异面直线与所成角的角为．

21．解：依题意，．

由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为．

所以，所以的方程为．

设，则，

直线的方程为，故，

由知的方程为，故，

假设存在，使得，
则
，解得．
所以当的坐标为时，．

22．解：函数，，线函数，
可得，
即有，，，
解得；
关于和的线函数，
可得，由为偶函数，
可得，
即有，
即为，化为，
则，
又，
由的最小值为，
可得，由，
当且仅当时函数取得最小值，即，
故F