浙江省杭州第四中学吴山校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

浙江省杭州第四中学吴山校区2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

4．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

5．下列命题中，正确的是

A．若，则 B．若，，则

C．若 ，，则 D．若，则

6．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

7．设x，y都是正数，且，则的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．2

8．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列四个关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

11．已知函数在R上单调递减，则a不可能等于（    ）

A． B．1 C． D．2

12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ）

A．对任意，都有

B．对任意，都存在，

C．若，，则有

D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形

三、填空题

13．若幂函数是奇函数．则____________．

14．函数的单调增区间是___________.

15．函数的值域为__________．

16．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.

四、解答题

17．（1）化简：；

（2）已知，求x的值．

18．函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.

(1)求集合A，B；

(2)若集合A，B满足，求实数a的取值范围.

19．已知不等式的解集为或．

(1)求的值;

(2)解不等式．

20．某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

21．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求在上的解析式；

(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围．

22．若非零函数对任意实数均有，且当时，．

（1）求证：

（2）求证：为减函数；

（3）当时，解不等式

参考答案：

1．B

【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

2．C

【分析】全称命题的否定为特称命题，变化规则为改量词，否结论.

【详解】改量词：由改成；

否结论：对进行否定得；

所以原命题的否定为：.

故选：C.

3．A

【分析】根据不等式所表示的范围的关系即可得到答案.

【详解】根据“”能推出“”，而后者“”推不出“”，

则前者为后者的充分不必要条件，

故选：A.

4．C

【分析】将分式不等式移项通分，转化为一元二次不等式进行求解即可.

【详解】解：由得

即

等价于

解得：

故选：C.

5．D

【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.

【详解】对于A，取，则，但，故A错；

对于B，取，则，

但，，故B错；

对于C，取，则，

但，，故C错；

对于D，因为，故即，故D正确；

综上，选D.

【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.

6．A

【分析】由，即函数为奇函数，排除B，D，再由排除C，得到结论.

【详解】因为，此函数定义域为R，

又因为，

即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，D，

当时，且，故排除C，

故选：A

7．A

【分析】变换，展开利用均值不等式计算即可.

【详解】，

当，即，时等号成立.

故选：A

8．D

【分析】由可得对称中心为，再结合条件画出大致图象，数形结合即可求解的取值范围.

【详解】因为，即，对称中心为，又在上单调递减且，故大致图象为：

由图可知，若，则满足或，即或，解得.

故选：D

9．CD

【分析】根据元素和集合，集合与集合的关系，依次判断即可.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，正确；

故选：CD

10．CD

【分析】依次计算每个函数的定义域和化简解析式，对比得到答案.

【详解】的定义域为，的定义域为，故不是同一个函数，A错误；

的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数，B错误；

，定义域为，，定义域为，故为同一个函数，C正确；

定义域为R，，定义域为R，故为同一个函数，D正确.

故选：CD.

11．ACD

【分析】分段函数R上单调递减，不仅每一段递减，并且左边一段的最小值不小于右边一段的最大值，列不等式求解即可.

【详解】函数在R上单调递减

解得.

则a不可能等于,，2.

故选：ACD.

12．BC

【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．

【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；

对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；

对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；

对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：

①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．

故选：BC.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解.

13．1

【分析】根据函数为幂函数，则，解出，代入函数，分别检验即可.

【详解】若函数为幂函数，则，解得或1，

又因为当时，，

此时，，

且定义域为，关于原点对称，故此时为偶函数，舍去

当，，

此时，定义域为，关于原点对称，

且，故此时为奇函数，

故答案为：1.

14．

【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性即可求出结果.

【详解】函数的定义域满足，解得，

故函数的定义域为

令，则，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

且函数在上单调递增，

结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减，

故答案为：.

15．

【详解】函数

令，则.

得.

当时，函数有最大值.

所以值域为.

故答案为.

点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择

16．

【分析】二次函数配方得到的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出的最大值.

【详解】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；

当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即

当时，，

当时，，所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】对于含有参数的二次函数综合性质问题，通常要进行分类讨论，数形结合来进行求解.

17．（1）；   （2）.

【分析】（1）根据指数幂的运算即可到答案；

（2）根据对数的含义得到，化简即可.

【详解】（1）原式.

（2），

18．(1)或，

(2)

【分析】（1）根据函数的定义域和值域的求法求出集合.

（2）根据集合的交并运算以及包含关系求参数范围.

【详解】（1）解：由题意得：

∵函数的定义域为集合A，

函数的值域为集合B，

∴，

.

（2）∵集合A，B满足，

∴，

∴或，

解得或.

∴实数a的取值范围.

19．(1)

(2)答案见解析.

【分析】(1)不等式的解集即是一元二次方程的根,用韦达定理可求出的值.

(2)由(1)知代入不等式中,根据的情况进行分类讨论求出不等式的解集.

【详解】（1）解:由题意可知,为方程的两个根,

所以,由韦达定理可得,

,即,

故;

（2）由(1)可知,,则不等式为

当时,,不等式的解集为;

时,,

当时,不等式的解集为或;

当时,,不等式的解集为;

当时,原不等式为,故无解;

当时,,不等式的解集为．

综上: 时,解集为或;

时,解集为;

时,解集为;

时,解集为空集;

时,解集为.

20．(1)

(2)行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．

【分析】（1）根据题意，计算出电动车行驶的时间和路程，然后列出相应的方程即可.

（2）利用基本不等式的性质即可求出最值，注意等号成立的条件即可.

【详解】（1）．

（2）因为，．

所以，所以行车费最低为（）元．

当，即，时取得．

答：行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．

21．(1)；

(2).

【分析】（1）利用为奇函数得到，设，利用奇函数的运算即可得到答案；

（2）题意可整理得在上有解，令，求其最小值即可求解

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，

所以时，，

当时，，所以，

又，所以，

所以在上的解析式为；

（2）由（1）知，时，，

所以可整理得，

令，根据指数函数单调性可得，为减函数，

因为存在，使得不等式成立，等价于在上有解，

所以，只需，

所以实数的取值范围是

22．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）不等式的解集为

【分析】（1）根据抽象函数的关系进行证明即可；

（2）根据抽象函数的关系，集合函数单调性的定义可得证明；

（3）利用函数的单调性，将不等式进行转化可得答案.

【详解】解：（1）证明：

（2）证明：设则，,

故为减函数

（3）由

原不等式转化为，结合（2）得：

故不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查抽象函数的性质及其应用及函数单调性的判断与证明，属于中档题型.