【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第01讲《一元二次方程》期末专题复习

这是一份【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-第01讲《一元二次方程》期末专题复习，共18页。试卷主要包含了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根等内容，欢迎下载使用。

第01讲：一元二次方程专题-九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习
考点一、一元二次方程的定义：
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
考点二、一元二次方程的一般形式：
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
考点三、一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
考点四:降次——解一元二次方程

一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.
(4) 配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
先

根的判别式

(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．



考点五：根与系数的关系
（1）韦达定理：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.
例如：，注意△=b2-4ac≥0.
考点六：列一元二次方程解应用题
（1） 解题步骤：
①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
（2） 应用模型：
一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
（期末必考一道大题）
③传播、比赛问题：

一元二次方程专题《考点·题型·难点》强化训练
一、单选题
1．（2021·北京市三帆中学九年级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A．1 B． C．±1 D．不存在
2．（2021·广东南海·九年级期中）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x+4）2＝23 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣4）2＝23 D．（x﹣4）2＝9
3．（2021·全国·九年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
4．（2021·湖南绥宁·九年级期末）若、是方程的两个解，则代数式的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（2021·全国·九年级期末）若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028

6．（2021·广东蓬江·九年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540
7．（2021·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．

8．（2020·天津河东·九年级期末）若关于的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·广东增城·九年级期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式．每两队之间都赛一场，计划安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·湖南新化·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（2021·重庆·九年级期末）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
12．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二、填空题
13．（2021·广东紫金·九年级期末）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=______．
14．（2021·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________．
15．（2021·广东澄海·九年级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为_________．
16．（2021·全国·九年级期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则__________．
17．（2020·山东北区·九年级期末）在一条直线上，按如图所示的规律放置若干●与〇，组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇…，当图案恰好以〇收尾，且图案中●的个数是2278时，则该图案中●与〇的个数之和是_______．

三、解答题
18．（2020·全国·九年级期末）用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
19．（2020·湖北阳新·九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
20．（2021·河南南召·九年级期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21．（2020·江苏盐城·九年级期末）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
22．（2021·江苏医药高新技术产业开发区·九年级期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
23．（2020·江西南昌·九年级期末）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】
解：依题意可得m-1≠0，
解得m=-1
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．B
【分析】
先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
【详解】
解：x2+8x+7=0，
x2+8x=-7，
x2+8x+16=-7+16，
（x+4）2=9．
故选B．
【点睛】
本题考查运用配方法解一元二次方程的运用，解答时熟练配方法的步骤是关键．
3．C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式列式求解即可．
【详解】
解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，即且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与根的关系是解题的关键．
4．C
【分析】
根据因式分解法解，然后代入方程的解、，即可求得．
【详解】


解得，
∴
==12
故选C
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，掌握因式分解法是解题的关键．
5．D
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，再将代入原式变形为，代入计算可得．
【详解】
解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则




．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
6．D
【分析】
先将图形利用平移进行转化，可得剩余图形的长等于原来的长减去小路的宽，剩余图形的宽等于原来的宽减去路宽，然后再根据矩形面积公式计算．
【详解】
解：利用图形平移可将原图转化为下图，设道路的宽为x米

根据题意可得：
故选D
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
7．B
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】
解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，
2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
8．B
【分析】
把代入方程即可得到正确答案．
【详解】
解：把代入方程得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．D
【分析】
根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题属于“握手模型”，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．
10．B
【分析】
利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式和已知条件得到，即可求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴ ， ，
∴，
∴，
∵，
∴ ，解得： ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系解题的关键是熟练掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（）的两根时： ， ．
11．C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得．
【详解】
解：由根与系数的关系得： ，
,
即,
解得：或,
而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴ 
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键．
12．C
【分析】
设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时．
【详解】
解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=，
∴A(0，3)，B(，0)，
设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，
当p在第一象限时，
，
∴，解得t=（负值舍去），
∴2t+3=，
∴P(，)；
当p在第二象限时，

∴=，解得t= -，
∴2t+3=，
∴P(-，)；
当p在第三象限时，
，
∴=，解得t=（正值舍去），
∴2t+3=，
∴P(，)；
综上所述，P点的坐标共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用．
13．2021
【分析】
将代入原方程即可得出答案．
【详解】
解：将代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0中，
得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
14．且
【分析】
根据一元二次方程的定义可知，，再根据一元二次方程的根的判别式大于0，解不等式即可求得实数k的取值范围．
【详解】
关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
，
，且
解得且
故答案为：且
【点睛】
此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系: 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根．
15．
【分析】
结合勾股定理，运用换元法解方程即可．
【详解】
设此直角三角形的斜边长为c．
根据题意得：
∴


∵ ∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考察勾股定理的知识和一元二次方程的解法，结合勾股定理、换元法用因式分解解方程是解题的关键．
16．2021
【分析】
利用一元二次方程的根与系数的关系求得，的值，并将其代入所求的代数式求值即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：2021．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
17．2345
【分析】
该图案中有x个〇，则有个●，根据题意列出方程即可求出x，即可得出答案．
【详解】
解：设该图案中有x个〇，
则有1+2+3+⋯+x=个●，
依题意得，=2278，
整理得，x2+x-4556=0，
解得，x1=-68（舍去），x2=67，
∴该图案中●与〇的个数之和是：67+2278=2345，
故答案为：2345．
【点睛】
此题考查了图形变化的规律，根据题意列出关于图案中●的个数的方程式解题的关键．
18．(1)x1=−3,x2=(2)
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.
【详解】
(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)
3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0
(x＋3) (3x-2) ＝0
3x-2＝0或 x＋3＝0
∴x1＝，x2＝－3；
(2)2x2－4x－3＝0
a=2，b=-4，c=-3，
△=16+24=40＞0，
，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．(1) ；(2)
【分析】
(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
【详解】
解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
20．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【详解】
分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
21．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22．（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．
【详解】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
（2）256×（1+15）＝4096（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.
【详解】
试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0
∴＝3或＝4 .
则AB＝3，BC＝4
(2)由题意得
∴，(舍去)
则t＝4时，AP＝.
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形.
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒).
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4.
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5
∴t＝ ＝9.5(秒)
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ，
∴PC＝2PQ＝
∴(秒)
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.