专题1.23 《探索三角形全等》几何模型-“一线三直角”（专项练习）（基础篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题1.23 《探索三角形全等》几何模型-“一线三直角”（专项练习）（基础篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共30页。试卷主要包含了模型一，拓展，知识点补充等内容，欢迎下载使用。
专题1.23 《探索三角形全等》几何模型-“一线三直角”
（专项练习）（基础篇）
知识储备：
1、模型一： 三垂直全等模型






图一
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA


2、拓展：模型二： 三等角全等模型


图二

如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA

3、知识点补充：勾股定理




图三

一、单选题
1．已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A与∠D互为余角
2．如图，，，，，垂足分别为、，，，则的长（ ）．

A． B． C． D．
3．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．① C．② D．①②


二、填空题
4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．

5．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则______．

6．如图，点A在线段DE上，AB⊥AC，垂足为A，且AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分别为D、E，若ED＝12，BD＝8，则CE长为_____．

7．如图，，，于点，于点，，，则的长是_____．

8．如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______．

9．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则 的面积为_____cm2．


三、解答题
10．如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE， 垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
11．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）说明△ADC≌△CEB；
（2）说明AD+BE=DE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．
12．如图，已知A、B、D在同一条直线上，∠A=∠D=90°，AC=BD，∠1=∠2．求证：△CBE是等腰直角三角形．

13．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：

（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．

16．如图，已知在中，，直线经过点，，，垂足分别为、，，求证：．

17．如图1．△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q．

（1）求证：△EPA≌△AGB：
（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2．若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由：
（4）在（3）的条件下，若BC＝10，AG＝12．请直接写出S△AEF＝　 　．
18．如图所示，，且，延长交于点，且．求证：．


参考答案
1．A
【分析】
由题意易得∠ACD=90°，则有∠1+∠2=90°，进而可证三角形全等，然后可排除选项．
【详解】
解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠D，
∵AC=CD，
∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确，
∴∠A=∠2，故B正确，
∴∠A+∠D=90°，故D正确，
∴A选项错误；
故选A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．A
【分析】
证△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到结论；
【详解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC
∴BE=DC，CE=AD
∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，
∴CE=1.7cm，
∴DC=CE-DE=0.8cm，
∴BE=0.8cm；
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键．
3．A
【分析】
连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到G使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③．
【详解】
解：如图，连接．
∵，F为的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．①正确．
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
∵，
∴四边形的面积为16，为定值．②正确．
延长到G使，连接．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴．③正确．
①②③均正确，
故选A．

【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．
4．5
【分析】
如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．

【点睛】
本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
5．1.2
【分析】
先根据等角的余角相等得出∠EBC=∠DCA，再根据AAS证明△CEB≌△ADC，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果.
【详解】
解∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE=DC，CE=AD=3cm
∵DC=CE−DE，DE=1.8cm ，
∴DC=3－1.8=1.2cm，
∴BE=1.2cm
故答案为：1.2cm
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，难度不大，熟练掌握三角形全等的判定和方法是关键.
6．4
【分析】
根据已知条件及互余关系可证△ABD≌△CAE，得出BD＝AE＝8，AD＝CE，求出AD＝4，即可得出答案．
【详解】
解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE＝8，AD＝CE，
∴AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，
∴CE＝4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等角的余角相等．找到证明三角形全等的条件，证明三角形全等是解题的关键．
7．6
【分析】
根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD−CE＝10−4＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
8．11
【分析】
根据题意易得△AEB≌△DFA，则有BE=AF，DF=AE，进而问题可得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵，，
∴∠DFA=∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
又∵∠FAD+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
∴△AEB≌△DFA，
∵，，
∴BE=AF=3，DF=AE=8，
∴EF=AF+AE=3+8=11；
故答案为11．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及正方形的性质是解题的关键．
9．8．
【分析】
作DH⊥BC，证明，根据全等三角形的性质得到DH＝BC＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠HCD+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠HCD，
在△ABC和△CHD中，
，
∴（AAS），
∴DH＝BC＝4，
∴的面积＝（cm2），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，证明△DBC≌△ECA，即可得证；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，可得CE=BD，根据BC=AC=12cm AE是BC的中线，即可得出，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA
∴CE=BD，
∵BC=AC=12cm AE是BC的中线，
∴，
∴BD=6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC≌△ECA解题关键．
11．（1）见详解；（2）见详解；（3）DE+BE=AD，理由见详解
【分析】
（1）由题意易得∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE=∠CAD，进而问题可得证；
（2）由（1）可得AD=CE，BE=CD，进而根据线段的数量关系可求证；
（3）由题意易证△ADC≌△CEB，则有AD=CE，BE=CD，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=CB，
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）由（1）得：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（3）AD=DE+BE，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠DCA+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵AC=CB，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∵CE=CD+DE，
∴AD=DE+BE．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，数量掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
12．见解析
【分析】
由题意易证△ABC≌△DEB，则有BC=BE，∠EBD=∠BCA，进而问题可证．
【详解】
证明： 在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（AAS），
∴BC=EB，
∵∠1=∠2，∠2+∠DBE=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，
∴∠CBE=180°﹣（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE﹣AD
【分析】
（1）由题意易得∠DAC+∠ACD＝90°，则∠DAC＝∠BCE，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由题意易得∠CEB=∠ADC=90°，则可求∠CAD=∠BCE，进而可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解；
（3）根据题意可证△CAD≌△BCE，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝BE﹣AD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
14．（1）见详解；（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．
【分析】
（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．
【详解】
（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
15．见解析
【分析】
根据题意易得Rt△ACE≌Rt△CBF，则有∠EAC＝∠BCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．
【详解】
证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
【点睛】
本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．
16．见解析
【分析】
根据HL证明Rt△DAE≌Rt△EBC即可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵ DA⊥AB，CB⊥AB，

∴ ∠A＝∠B＝90°
又∵∠1＝∠2
∴DE＝CE
在Rt△DAE和Rt△EBC中，

∴Rt△DAE≌Rt△EBC（HL）
∴AE＝BC．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
17．（1）证明见解析；（2）结论：EP＝FQ，证明见解析；（3）结论：EH＝FH，理由见解析；（4）60．
【分析】
（1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB．
（2）根据全等三角形的性质推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代换即可得出答案．
（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系．
（4）根据全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，
∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，
∴∠PEA＝∠BAG，
在△EPA和△AGB中，

∴△EPA≌△AGB（AAS），
（2）结论：EP＝FQ，
证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，
∴EP＝AG，
如图1，∵∠FAC＝90°，FQ⊥AG，AG⊥BC，
∴∠FQA＝∠FAC＝∠CGA＝90°，
∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，∠FAQ+∠GAC＝90°，
∴∠AFQ＝∠GAC，
在△QFA和△GAC中，

∴△QFA≌△GAC（AAS），
∴AG＝FQ，
∴EP＝FQ；
（3）结论：EH＝FH，
理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，
∴∠EPH＝∠FQH＝90°，
在△EPH和△FQH中，

∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH＝FH．
（4））∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，
∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，
∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA
＝S△AGB+S△AGC
＝S△ABC
＝×BC×AG
＝×10×12
＝60
故答案为：60．

【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
18．详见解析
【解析】
【分析】
延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得.
【详解】
证明：延长BF至G，使，连结EG，

在△BDF和△GEF中，
，
∴ ，
∴，BF=GF，
∴BG=2BF，
∵BE⊥BA，
∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG，
在△ABC和△BEG中，
，
∴，
∴AC=BG=2BF.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．