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2022-2023学年重庆市第八中学校九年级上学期期中数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年重庆市第八中学校九年级上学期期中数学试题(解析版)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆八中2022-2023学年度（上）定时练习初三年级
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据零次幂可进行求解．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，结合图形的特点求解．
【详解】A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，判定轴对称图像关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴对折后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，图形旋转180度后与原形重合．
3. 下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角的定义：两直线被第三条直线所截形成的两个角中，在被截两直线的同侧，在截线的同侧，像这样的两个角叫做同位角，即可判断得出结论．
【详解】选项D：∵不是两直线被第三条直线所截形成的角，即截线不同，∴与不是同位角的位置关系，故该选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了同位角的定义，解本题的关键在熟练掌握同位角的定义．
4. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】D
【解析】
【分析】先利用二次根式的乘法计算，再估算出，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值应在4和5之间．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，
∴的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
6. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. 当时，
B. 过山车距水平地面的最高高度为98米
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意；
B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
7. 食堂的存煤计划用若干天，若每天用130kg，则缺少60kg；若每天用120kg，则还剩余60kg．设食堂的存煤共有xkg，计划用y天，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. {x+60=130yx-60=120y B. {x-60=130yx+60=120y
C. {y+60=130xy-60=120x D. {y-60=130xy+60=120x
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意，（1）由“若每天用130kg，则缺少60kg”可得：；（2）由“若每天用120kg，则还剩余60kg”可得：；
综上可得，正确的方程组是： .
故选A.
8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．
9. 已知二次函数，当自变量x分别取0，，3时，对应的函数值分别为，，，则，，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式求得对称轴，根据，得出开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，当自变量x分别取0，，3时，对应的函数值分别为，，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10. 如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据切线长定理得 ，根据切线的性质求出 ，再根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】如图，连接，
与相切于点E
的半径为1
为直径
在 中，
与相切于点E，与相切于点B
设，
在中，
．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理等，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
11. 若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A. -6 B. -9 C. -11 D. -14
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组至少有三个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到所有符合条件的整数a的和．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且
∴且，
∴，且，
则所有整数a有：，，，，0，1
∴所有符合条件的整数a的和为
故选：C.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题关键是由不等式组有三个整数解得出不等式解集.
12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（ ）
①3，1，-4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为；
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据极数定义分别求值即可判断①对错；根据极数定义分别求值，得到，即可判断②对错；根据极数定义分别求值，列出分式方程并求解即可判断对错．
【详解】解：，，，
3，1，-4的“极数”是36，①正确；
，，，
若x，y，0的“极数”为0，则，
和不能同时为正数，
和中至少有1个数是负数，②正确；
，，，
若m，-6，2的极数为，
或，
解得：或（不合题意舍），
存在2个数m，使得m，-6，2的极数为说法错误，③错误，
综上所述，说法正确的个数为2，
故选C．
【点睛】本题考查了实数的运算，分式方程，正确理解“极数”定义是解题关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据列表法列出所有可能，根据一元二次方程有解的情况数，根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中的结果有3中，
∴方程有解概率是
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径在矩形内画弧，交边于点，连接交于点，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用解直角三角形求得∠BAE＝30°，进而可求得扇形DAE的面积，再通过相似三角形求得，进而可得S△DAF＝S△DAB，最后根据阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF得解．
【详解】解：由题意可知：AE＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴sin∠BAE＝
∴BE＝2，
∵∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°，
∴S扇形DAE＝，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴
∴S△DAF＝S△DAB＝
∴阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及扇形的面积、解直角三角形的应用、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
16. 某书店开始销售A、B、C三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．则第二次补充后，A种书籍的库存数量是___________本．
【答案】360
【解析】
【分析】设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，根据第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，可得最初时三种书籍的数量为本，再由最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，可得，然后根据第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，可得，然后根据x，y均为正整数，即可求解．
【详解】解：设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，
∵第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，
∴最初时三种书籍的数量为本，
∵最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，
∴，
解得：，
∵第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，
∴，
∴，
∵x，y均为正整数，，
∴当时，，
此时第二次补充后，A种书籍的库存数量是本．
故答案为：360
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的乘法，分式的混合运算，掌握多项式乘以多项式以及分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论．
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
∵___________①___________
∴，，___________②___________
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴___________③___________
∴．
在和中，
∴（）
∴___________④___________．
∴．
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）是的垂直平分线； ；；
【解析】
【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到，证明，
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作的的垂直平分线；
【小问2详解】
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
∵是的垂直平分线，
∴，，．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
故答案为：是的垂直平分线； ；；．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 我校在七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级抽取10名学生的竞赛成绩：98，81，98，85，98，97，91，100，88，84．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是93，90，94，93．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
94
b
众数
c
93
八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
【答案】（1），93，98
（2）七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由见解析
（3）902
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数即可得到结论；
（2）根据七年级的中位数和众数均高于八年级于是得到七年级学生掌握疫情防控安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
八年级A组和B组的人数共有人，
∵八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是90，93，93， 94，
∴位于第5位和第6位均为93，
∴；
根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中98出现3次，出现次数最多，
∴；
故答案为：，93，98
【小问2详解】
解：七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由：
虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数和众数均高于七年级．
【小问3详解】
解：根据题意得：名，
答：成绩达到90分及以上的学生共有902名．
【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点．
（1）求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
（2）结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________；
（3）点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为，图象见解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）先将点代入反比例函数解析式求得，然后将 代入反比例函数解析式求得的值，即可求得点的值，待定系数法求得一次函数解析式，根据的坐标，画出一次函数的图象即可求解；
（2）根据直线在双曲线下方时的取值范围，即可求得不等式的解集；
（3）设，根据列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，
∴反比例函数解析式为，
将点代入，得，
∴，
将，,代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为，
画出一次函数图象如图，
【小问2详解】
解：∵，，
根据函数图象可得：当或时，，
∴关于x的不等式的解集为：或，
故答案为：或；
【小问3详解】
解：如图，
设直线交轴于点，
由，令，解得，
∴,
∴，
∵，
设，
∴，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21. 某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值．
【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天
（2）此项工程总施工费用的最小值为万元
【解析】
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）依题意，，得出，设此项工程总施工费用为，依题意可函数关系，根据一次函数的性质，求得最小值即可求解．
【小问1详解】
解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙工程队需要：（天），
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
【小问2详解】
解：依题意，，
∴，
即，
设此项工程总施工费用为，
则
，
∵，随的增大而减小，
又，当时，取得最小值，
(万元)，
∴此项工程总施工费用的最小值为万元．
【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键．
22. 如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向．（参考数据：，，）
（1）求的距离；（结果保留整数）
（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．
【答案】（1）164海里
（2）不能
【解析】
【分析】（1）由题意先得到，，利用和中的三角函数表示，进行求解即可得出结论；
（2）根据题意可得，利用和中的三角函数求得和的长度，由路程=时间×速度求得时间，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：过点作，由题意得(海里)，
在A处测得小岛C在北偏东方向，则，
在B处测得小岛C在北偏东方向，则，
设海里，
在中，，则，
，则，
在中，，则，
且，
，
解得，
答：的距离为164海里；
【小问2详解】
解：与小岛C最近的D处，即，
在B处沿北偏东方向继续航行，则,
在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行，则，
，
由（1）得的距离为164海里，
在中，，
，
在中，，
，
渔船所用时间为：，
答：渔船不能在下午5点之前到达E处
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
23. 一个三位数A各个数位上的数字均不相等，若将A的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”．
（1）分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由．
（2）若“友谊数”A百位上的数字是a，十位上的数字是1，个位上的数字是c，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的A．
【答案】（1）是4的“友谊数”， 不是4的“友谊数”，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行计算即可判断；
（2）依题意，根据新定义求得，，根据整除，确定的值即可求解，进而求得符合题意的数．
【小问1详解】
解：，则，且，，且，
∴是4的“友谊数”．
∵，则，且，
∴不是4的“友谊数”．
【小问2详解】
依题意，
∵是“友谊数”，
∴，整数，
即能被4整除，
∴
，是整数，
∴能被4整除，
∵，
当时，不能被4整除，舍去
当时，被4整除，则或
当时，被4整除，则
当时，被4整除，则
综上所述，这些数为
∵，，，
∴或
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整除，二元一次方程，确定的值是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移，当它对称轴左侧的图象经过点B时停止平移，记平移后的抛物线为，设与x轴交于B、D两点，作直线CD，点M是直线BC上一点，点N为直线CD上的一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的M点的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）矩形的周长最大值为：，
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得直线的解析式为，设，则，，表示出矩形的周长，根据二次函数的性质求得最值，以及此时的点的坐标；
（3）根据题意求得平移后的抛物线解析式，进而求得点的坐标，分，，联立直线解析式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得：，
∴解析式为；
【小问2详解】
由与y轴交于点C，令，解得，
∴，
设直线的解析式为：，将，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的周长为：，
∴当时，矩形的周长最大，为，
此时，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
设顶点为，则，
设平行与的直线为，
∴，
解得，
∴，
平移后的抛物线顶点为，设，
则平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∵对称轴左侧的图象经过点B，
∴，
∴，
即顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
令，即解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵在:上，在上，
∵，，
当时，如上图，
设的解析式为，代入，
得，
∴直线解析式为，
联立，
，
解得：，
即,
同理，当时，
设直线的解析式为，将点代入得，
∴直线的解析式为
联立，
，
解得，
；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，线段周长问题，特殊四边形问题，二次函数的平移，一次函数交点问题，综合运用所学内容是解题的关键．
25. 已知三角形绕点A旋转得到．
（1）如图，，，，若，，求的长．
（2）如图，连接，，若且，若点是线段的中点，连接，，求证．
（3）如图，三角形绕点A旋转得到，若，，，和所在的直线交于点，直接写出的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在上取，连接，如图所示，可得，则证明，，则在中由勾股定理即可求得，从而求得；
（2）延长到，使，连接，，，，如图，易证，则，；从而由已知可得，再由，，则可得，从而证得，则可得；再由，，，可得垂直平分，有，则，由等腰三角形的性质即可证得结论；
（3）连接，点在以为圆心的圆上运动，点在以为直径的圆弧上运动，当、与相切时，圆弧的端点分别为、；显然当与相切时，取得最大值，此时与重合，可得四边形为正方形；在中，由勾股定理可求得的长，则可求得的最大值．
【小问1详解】
解：在上取，连接，如图所示，
∴，
由旋转性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
【小问2详解】
证明：延长到，使，连接，，，，如图，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
由旋转性质得，，，，
∴，
∴，
∵，，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
由旋转知：，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，连接，由旋转性质得：，
∵
∴点在以为圆心的圆上运动，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆弧上运动，当、与相切时，圆弧的端点分别为、；
当与相切时，取得最大值，此时与重合，
∵，，
∴四边形为正方形；
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
即的最大值为．
【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，正方形的判定与性质，切线的性质等知识，综合性强，难度大，构造全等三角形是本题的关键与难点．
重庆八中2022-2023学年度（上）定时练习初三年级
数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据零次幂可进行求解．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，结合图形的特点求解．
【详解】A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，判定轴对称图像关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴对折后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，图形旋转180度后与原形重合．
3. 下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角的定义：两直线被第三条直线所截形成的两个角中，在被截两直线的同侧，在截线的同侧，像这样的两个角叫做同位角，即可判断得出结论．
【详解】选项D：∵不是两直线被第三条直线所截形成的角，即截线不同，∴与不是同位角的位置关系，故该选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了同位角的定义，解本题的关键在熟练掌握同位角的定义．
4. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】D
【解析】
【分析】先利用二次根式的乘法计算，再估算出，即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值应在4和5之间．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，
∴的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
6. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. 当时，
B. 过山车距水平地面的最高高度为98米
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意；
B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
7. 食堂的存煤计划用若干天，若每天用130kg，则缺少60kg；若每天用120kg，则还剩余60kg．设食堂的存煤共有xkg，计划用y天，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. {x+60=130yx-60=120y B. {x-60=130yx+60=120y
C. {y+60=130xy-60=120x D. {y-60=130xy+60=120x
【答案】A
【解析】
【详解】根据题意，（1）由“若每天用130kg，则缺少60kg”可得：；（2）由“若每天用120kg，则还剩余60kg”可得：；
综上可得，正确的方程组是： .
故选A.
8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．
9. 已知二次函数，当自变量x分别取0，，3时，对应的函数值分别为，，，则，，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式求得对称轴，根据，得出开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，当自变量x分别取0，，3时，对应的函数值分别为，，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
10. 如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据切线长定理得 ，根据切线的性质求出 ，再根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】如图，连接，
与相切于点E
的半径为1
为直径
在 中，
与相切于点E，与相切于点B
设，
在中，
．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理等，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
11. 若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A. -6 B. -9 C. -11 D. -14
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组至少有三个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到所有符合条件的整数a的和．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且
∴且，
∴，且，
则所有整数a有：，，，，0，1
∴所有符合条件的整数a的和为
故选：C.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题关键是由不等式组有三个整数解得出不等式解集.
12. 定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，-3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（ ）
①3，1，-4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，-6，2的极数为；
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据极数定义分别求值即可判断①对错；根据极数定义分别求值，得到，即可判断②对错；根据极数定义分别求值，列出分式方程并求解即可判断对错．
【详解】解：，，，
3，1，-4的“极数”是36，①正确；
，，，
若x，y，0的“极数”为0，则，
和不能同时为正数，
和中至少有1个数是负数，②正确；
，，，
若m，-6，2的极数为，
或，
解得：或（不合题意舍），
存在2个数m，使得m，-6，2的极数为说法错误，③错误，
综上所述，说法正确的个数为2，
故选C．
【点睛】本题考查了实数的运算，分式方程，正确理解“极数”定义是解题关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
14. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据列表法列出所有可能，根据一元二次方程有解的情况数，根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中的结果有3中，
∴方程有解概率是
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径在矩形内画弧，交边于点，连接交于点，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用解直角三角形求得∠BAE＝30°，进而可求得扇形DAE的面积，再通过相似三角形求得，进而可得S△DAF＝S△DAB，最后根据阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF得解．
【详解】解：由题意可知：AE＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，cos∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴sin∠BAE＝
∴BE＝2，
∵∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°，
∴S扇形DAE＝，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴
∴S△DAF＝S△DAB＝
∴阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及扇形的面积、解直角三角形的应用、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
16. 某书店开始销售A、B、C三种书籍，最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本．过了一段时间后，第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．又过了一段时间，第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，且此时A、B、C三种书籍的库存数量之比为．则第二次补充后，A种书籍的库存数量是___________本．
【答案】360
【解析】
【分析】设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，根据第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，可得最初时三种书籍的数量为本，再由最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，可得，然后根据第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，可得，然后根据x，y均为正整数，即可求解．
【详解】解：设第一次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，第二次补充后A书籍有本，B书籍有本，C书籍有本，
∵第一次补充了三种书籍，补充后库存总数量比最初时多了280本，
∴最初时三种书籍的数量为本，
∵最初这三种书籍的库存总数量大于700本且小于1100本，
∴，
解得：，
∵第二次补充了三种书籍，补充后库存总数量比第一次补充后多了230本，
∴，
∴，
∵x，y均为正整数，，
∴当时，，
此时第二次补充后，A种书籍的库存数量是本．
故答案为：360
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的乘法，分式的混合运算，掌握多项式乘以多项式以及分式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论．
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
∵___________①___________
∴，，___________②___________
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴___________③___________
∴．
在和中，
∴（）
∴___________④___________．
∴．
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）是的垂直平分线； ；；
【解析】
【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到，证明，
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作的的垂直平分线；
【小问2详解】
解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下：
∵是的垂直平分线，
∴，，．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
故答案为：是的垂直平分线； ；；．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 我校在七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级抽取10名学生的竞赛成绩：98，81，98，85，98，97，91，100，88，84．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是93，90，94，93．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
94
b
众数
c
93
八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
【答案】（1），93，98
（2）七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由见解析
（3）902
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数即可得到结论；
（2）根据七年级的中位数和众数均高于八年级于是得到七年级学生掌握疫情防控安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
八年级A组和B组的人数共有人，
∵八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是90，93，93， 94，
∴位于第5位和第6位均为93，
∴；
根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中98出现3次，出现次数最多，
∴；
故答案为：，93，98
【小问2详解】
解：七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由：
虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数和众数均高于七年级．
【小问3详解】
解：根据题意得：名，
答：成绩达到90分及以上的学生共有902名．
【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点．
（1）求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
（2）结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________；
（3）点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为，图象见解析
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）先将点代入反比例函数解析式求得，然后将 代入反比例函数解析式求得的值，即可求得点的值，待定系数法求得一次函数解析式，根据的坐标，画出一次函数的图象即可求解；
（2）根据直线在双曲线下方时的取值范围，即可求得不等式的解集；
（3）设，根据列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，
∴反比例函数解析式为，
将点代入，得，
∴，
将，,代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为，
画出一次函数图象如图，
【小问2详解】
解：∵，，
根据函数图象可得：当或时，，
∴关于x的不等式的解集为：或，
故答案为：或；
【小问3详解】
解：如图，
设直线交轴于点，
由，令，解得，
∴,
∴，
∵，
设，
∴，
解得，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21. 某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值．
【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天
（2）此项工程总施工费用的最小值为万元
【解析】
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）依题意，，得出，设此项工程总施工费用为，依题意可函数关系，根据一次函数的性质，求得最小值即可求解．
【小问1详解】
解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙工程队需要：（天），
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
【小问2详解】
解：依题意，，
∴，
即，
设此项工程总施工费用为，
则
，
∵，随的增大而减小，
又，当时，取得最小值，
(万元)，
∴此项工程总施工费用的最小值为万元．
【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键．
22. 如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向．（参考数据：，，）
（1）求的距离；（结果保留整数）
（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．
【答案】（1）164海里
（2）不能
【解析】
【分析】（1）由题意先得到，，利用和中的三角函数表示，进行求解即可得出结论；
（2）根据题意可得，利用和中的三角函数求得和的长度，由路程=时间×速度求得时间，再进行比较即可．
【小问1详解】
解：过点作，由题意得(海里)，
在A处测得小岛C在北偏东方向，则，
在B处测得小岛C在北偏东方向，则，
设海里，
在中，，则，
，则，
在中，，则，
且，
，
解得，
答：的距离为164海里；
【小问2详解】
解：与小岛C最近的D处，即，
在B处沿北偏东方向继续航行，则,
在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行，则，
，
由（1）得的距离为164海里，
在中，，
，
在中，，
，
渔船所用时间为：，
答：渔船不能在下午5点之前到达E处
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
23. 一个三位数A各个数位上的数字均不相等，若将A的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数，且被4除余1，再将的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数，且被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数，则，且，，且，所以256是4的“友谊数”．
（1）分别判断自然数和是否是“友谊数”，并请说明理由．
（2）若“友谊数”A百位上的数字是a，十位上的数字是1，个位上的数字是c，其中，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为，若为整数，求出所有符合条件的A．
【答案】（1）是4的“友谊数”， 不是4的“友谊数”，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行计算即可判断；
（2）依题意，根据新定义求得，，根据整除，确定的值即可求解，进而求得符合题意的数．
【小问1详解】
解：，则，且，，且，
∴是4的“友谊数”．
∵，则，且，
∴不是4的“友谊数”．
【小问2详解】
依题意，
∵是“友谊数”，
∴，整数，
即能被4整除，
∴
，是整数，
∴能被4整除，
∵，
当时，不能被4整除，舍去
当时，被4整除，则或
当时，被4整除，则
当时，被4整除，则
综上所述，这些数为
∵，，，
∴或
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整除，二元一次方程，确定的值是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CB方向平移，当它对称轴左侧的图象经过点B时停止平移，记平移后的抛物线为，设与x轴交于B、D两点，作直线CD，点M是直线BC上一点，点N为直线CD上的一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的M点的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）
（2）矩形的周长最大值为：，
（3）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得直线的解析式为，设，则，，表示出矩形的周长，根据二次函数的性质求得最值，以及此时的点的坐标；
（3）根据题意求得平移后的抛物线解析式，进而求得点的坐标，分，，联立直线解析式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得：，
∴解析式为；
【小问2详解】
由与y轴交于点C，令，解得，
∴，
设直线的解析式为：，将，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的周长为：，
∴当时，矩形的周长最大，为，
此时，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
设顶点为，则，
设平行与的直线为，
∴，
解得，
∴，
平移后的抛物线顶点为，设，
则平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∵对称轴左侧的图象经过点B，
∴，
∴，
即顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
令，即解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵在:上，在上，
∵，，
当时，如上图，
设的解析式为，代入，
得，
∴直线解析式为，
联立，
，
解得：，
即,
同理，当时，
设直线的解析式为，将点代入得，
∴直线的解析式为
联立，
，
解得，
；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，线段周长问题，特殊四边形问题，二次函数的平移，一次函数交点问题，综合运用所学内容是解题的关键．
25. 已知三角形绕点A旋转得到．
（1）如图，，，，若，，求的长．
（2）如图，连接，，若且，若点是线段的中点，连接，，求证．
（3）如图，三角形绕点A旋转得到，若，，，和所在的直线交于点，直接写出的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）在上取，连接，如图所示，可得，则证明，，则在中由勾股定理即可求得，从而求得；
（2）延长到，使，连接，，，，如图，易证，则，；从而由已知可得，再由，，则可得，从而证得，则可得；再由，，，可得垂直平分，有，则，由等腰三角形的性质即可证得结论；
（3）连接，点在以为圆心的圆上运动，点在以为直径的圆弧上运动，当、与相切时，圆弧的端点分别为、；显然当与相切时，取得最大值，此时与重合，可得四边形为正方形；在中，由勾股定理可求得的长，则可求得的最大值．
【小问1详解】
解：在上取，连接，如图所示，
∴，
由旋转性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
【小问2详解】
证明：延长到，使，连接，，，，如图，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
由旋转性质得，，，，
∴，
∴，
∵，，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
由旋转知：，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，连接，由旋转性质得：，
∵
∴点在以为圆心的圆上运动，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆弧上运动，当、与相切时，圆弧的端点分别为、；
当与相切时，取得最大值，此时与重合，
∵，，
∴四边形为正方形；
∴，
在中，由勾股定理得，
∴
即的最大值为．
【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，正方形的判定与性质，切线的性质等知识，综合性强，难度大，构造全等三角形是本题的关键与难点．
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