陕西省安康市2023届高三数学（文）上学期第一次质量联考试题（一模）（Word版附解析）

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安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷

数学（文科）

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A．2       B．      C．           D．

2．记集合，，则（    ）

A．      B．      C．         D．

3．若，则（    ）

A．         B．        C．        D．

4．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A．    B．      C．      D．

5．设，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．     B．       C．          D．

6．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ）

A．       B．      C．       D．

7．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（    ）

A．18      B．19        C．21         D．22

8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）

A．20       B．        C．27         D．

9．已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ）

A．        B．         C．           D．

10．定义在上的函数满足对任意的x恒有，，且，则的值为（    ）

A．2026       B．1015        C．1014          D．1013

11．若函数有三个零点，则k的取值范围为（    ）

A．      B．       C．        D．

12．设等比数列满足，，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和（    ）

A．109         B．111         C．114            D．116

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知命题，使得，则为________．

14．设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则________．

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________．

16．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项的和为，，．数列的前n项和为，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求证：．

19．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上存在最小值，求实数m的取值范围；

（2）当时，证明：对任意的，．

20．（本小题满分12分）

已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围以及的值．

22．（本小题满分12分）

设向量，，，（）．

（1）当时，求的极值；

（2）当a>0时，求函数零点的个数．

安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷·数学（文科）

参考答案、提示及评分细则

1．B  由，得，，所以．故选B．

2．A  集合或，，所以．故选A．

3．C  由，得，所以

．故选C．

4．C  ，则，而，故函数在处的切线方程为，则．故选C．

5．D  当时，选项A、B不符合题意，对于C选项，因为函数为上的单调递增函数，根据得到，反之亦成立，故为充要条件，故C错误；由可得，又，可得，反之不一定成立．故选D．

6．B  根据题意得，，即，，四个选项中仅B符合．故选B．

7．B  由题意设前两站的距离为千米，第二站与第三站之间的距离为千米，…，第n站与第站之间的距离为千米，是等差数列，首项是，公差，则，解得，则站点数一共有19个．故选B．

8．D  易知的外接圆半径．由，，可得，，所以，，结合正弦定理可得，所以的周长为，故选D．

9．D  由得：号，设，则，∴A，B，D三点共线，如图所示：

∵与反向共线，，∴，∴，∴．故选D．

10．B  根据得，又，所以，所以，，，…，，所以．故选B．

11．A  令，得，设，，令，解得，，当时，，当或时，，且，，其图象如图所示：

若使得函数有3个零点，则．故选A．

12．C  设等比数列的公比为q，则，，解得，，故，因为为中在区间中的项的个数，所以当，2时，；当时，；当时，；当时，；故．故选C．

13．，

14．2021   根据题意得到．

15．4   因为在中，若，则，所以，即，由正弦定理得，化简得，所以．

16．  因为经过点和，所以，，可得，故

．

因为，所以，所以，当时，，可得，所以，要使反恒成立，只要，即，又，从而；当时，；当时，，所以，所以，要使恒成立，只要，解得，又，从而．综上所述，a的取值范围为．

17．解：（1），∴，即，           1分

所以函数的定义域为．          2分

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

又∵在上为增函数，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……5分

（2）设存在实数a，使函数的最小值为0，，

∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以，①           7分

又，②                 9分

联立①②解得：，

∴存在实数，使函数的最小值为0．           10分

18．（1）解：设的公差为d，由题意得：解得          2分

所以．        3分

由，得，

又，所以是公比为的等比数列，           5分

所以．                   6分

（2）证明：              8分

．     10分

要证，即证，

因为在上为增函数，且，

所以得证．          12分

19．（1）解：因为，所以，         1分

令得，令得，则的单调递减区间为，单调递增区间为，            3分

因为在上存在最小值，所以，即，

故m的取值范围是．          5分

（2）证明：当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，当且仅当时等号成立，            7分

而，

当时，y有最大值，即，当且仅当，时等号成立，   10分

因为，且等号不能同时取得，

所以．        12分

20．解：（1）由题知：，

由正弦定理可化为，

即，                 2分

由余弦定理知，又，

故．                3分

设外接圆的半径为R，则，所以，         5分

所以外接圆的面积为．             6分

（2）因为为锐角三角形且，

则即所以．           8分

又由正弦定理，得，

所以

．   10分

又，，则，

故面积的取值范围是．                12分

21．解：（1）由图示得：，，               1分

又，所以，所以，

所以．           2分

又因为过点，所以，即，

所以，，解得，，        4分

又，所以，所以．            5分

（2）根据题意得，

当时，，         7分

令，则，

令，则

，，，，

所以．            9分

因为有三个不同的实数根，则，，

所以，          11分

即，所以．             12分

22．解：（1）根据已知得，则

当时，，，，

由得或（舍）．          2分

当时，；当时，，

所以，无极大值．           4分

（2）因为，

若，在，上单调递增，在上单调递减，

有极大值，

极小值，又，

所以函数有1个零点．      7分

若，恒成立，函数单调递增，

此时，，所以函数有1个零点……8分

若，在，上单调递增，在上单调递减，

有极大值，显然极小值，

又，所以函数有1个零点．         11分

综上所述，当时，函数的零点个数为1．           12分