辽宁省丹东市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

丹东市2021~2022学年度上学期期末教学质量监测

高一数学

命题：宋润生  葛冰  颜红        审核：宋润生

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用补集定义及交集的定义运算即得.

【详解】∵全集，，，

∴，.

故选：A.

2. 已知函数若，则（    ）

A. 或1 B.  C. 1 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.

【详解】根据题意得或，

解得

故选：B

3. 已知向量，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】时，不一定是相等或相反向量，

时，，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数函数的性质确定正确选项.

【详解】，

所以.

故选：D

5. 某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：

如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用百分位数的含义结合条件即得.

【详解】∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，

∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.

故选：C.

6. 2021年5月11日，国家统计局发布第七次全国人口普查公报（第二号），公报显示截止2021年5月11日，全国总人口数为人．如果到2049年5月11日全国总人口数超过16亿，那么从2021年5月11日到2049年5月11日的年平均增长率应不低于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合幂函数的单调性确定正确选项.

【详解】设增长率为，

则，

.

故选：D

7. 设，则函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得的定义域，然后求得的定义域.

详解】依题意，

所以的定义域为，

所以，

所以函数的定义域为.

故选：C

8. 已知，，，则最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

则，

因为，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如果a，b，c，，那么（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.

【详解】A：令，满足，但，故A错误；

B：因为，所以，故B正确；

C：令，，

满足，，但，故C错误；

D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.

故选：BD

10. 已知事件A，B相互独立，且，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合条件逐项分析即得.

【详解】∵事件A，B相互独立，且，，

∴，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD.

11. 已知，，，，，那么（    ）

A.

B. 若，则，

C. 若A是BD中点，则B，C两点重合

D. 若点B，C，D共线，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，

，A选项正确.

B选项，若，则，故可取，B选项错误.

C选项，若是的中点，则，即，

所以，所以两点重合，C选项正确.

D选项，由于三点共线，所以，

，

，

则或，所以D选项错误.

故选：AC

12. 函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ）

A.  B.

C. 为偶函数 D. 为奇函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意的图像关于对称，同时关于直线对称，切函数为周期函数，周期为，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解： 因为为奇函数，为偶函数，

所以图像关于对称，同时关于直线对称；

所以，，故A选项错误；

所以，，故B选项正确；

所以，即函数为周期函数，周期为.

所以，即函数为偶函数，故C选项正确；

所以，故函数为奇函数，D选项正确；

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的图像与函数的图像关于直线______对称．

【答案】

【解析】

【分析】利用反函数的性质即求.

【详解】因为与互为反函数，

所以函数的图像与函数的图像关于直线对称.

故答案为：.

14. 甲、乙两校共有5名教师报名支援边远贫困地区教育，其中甲校2男1女，乙校1男1女，现选出2名教师去支援边远贫困地区教育，则选出的2名教师来自同一学校的概率为______．

【答案】##0.4

【解析】

【分析】利用列举法求解古典概型的概率.

【详解】来自甲校的教师设为a，b，c，来自乙校的教师设为1,2，则全部情况为：，共有10种情况，其中4种符合要求，为，故选出的2名教师来自同一学校的概率为.

故答案为：

15. 写出一个具有性质①②③的函数______．

①定义域为；②在单调递增；③．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据函数的定义域、单调性、运算求得符合题意的函数.

【详解】的定义域为，在区间递增，

且，

所以符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

16. 若函数有最小值，则a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.

【详解】当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以；

当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知不平行，分别求满足下列各条件的实数m，n的值：

（1）；

（2）向量以为基底的分解式为，其中.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由平面向量基本定理得方程组，求解．

（2）把等式表示的等式，再由平面向量基本定理得方程组，求解．

【详解】（1）∵不平行，.

（2）依题意，

即，不共线，.

【点睛】本题考查平面向量基本定理，平面上任何向量用基底表示的方法是唯一的．

18. 已知，，．

（1）求的值；

（2）用a，b表示．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）结合指数、对数运算求得的值.

（2）结合对数运算表示出.

【小问1详解】

因为，所以．

而，，

于是．

【小问2详解】

．

19. 已知集合．

（1）若，求实数a的值；

（2）设，若“，”是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）可以先解出不等式，再结合解集求出的值，也可以利用韦达定理求解；

（2）分析可得是的子集，然后列出不等式组即可

【小问1详解】

解法1：

关于x的方程的根为，，于是．

因为，所以可得．

解法2：

由题设关于x的不等式解集为，因此关于x的方程的根为1，3．

根据韦达定理解得．

【小问2详解】

解法1：

可化为，所以．

因为“，”是真命题，所以，即．

所以可得实数a取值范围是．

解法2：

可化为，所以．

因为“，”是真命题，所以．

设，则

解得实数a的取值范围是．

20. 已知函数是奇函数．

（1）求实数a的值；

（2）求的值域．

【答案】（1）   

（2）答案详见解析

【解析】

【分析】（1）由来求得的值.

（2）对进行分类讨论，结合不等式的运算来求得的值域.

【小问1详解】

因为，，

由，可得，

，

，

整理得，于是，．

当时，定义域为，是奇函数．

当时，定义域为，是奇函数．

因此．

【小问2详解】

当时，，定义域为，所以，于是，

，因此，故的值域为．

当时，，定义域为，所以，且，

于是，且，所以，或．

因此或，故的值域为．

21. 某样本由个数组成，平均数为，方差为．这个样本可分为两层：第一层有m个数，分别为，，…，，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为，，…，，平均数为，方差为．

（1）证明：；

（2）证明：，；

（3）证明：．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用平均数的定义及计算公式即证；

（2）利用平均数的含义及计算公式即证；

（3）利用平均数、方差的定义及计算公式即证；

【小问1详解】

根据平均数定义，，

故，

因此．

小问2详解】

因为，，
所以．

因为，，

所以

．

【小问3详解】

方法一：由方差定义可得，由（2）可知，

所以

．

同理，于是

将代入化简得．

方法二：由题设，所以

．

同理，于是

将代入化简得．

22. 已知二次函数．

（1）若的两个零点的平方和为7，求实数a的值；

（2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值．

【答案】（1）2；    （2）.

【解析】

【分析】(1)根据函数零点的意义，结合韦达定理计算作答.

(2)换元借助二次函数在闭区间上的最值，分情况讨论作答.

【小问1详解】

依题意，，设的两个零点为，，则，，

因为，即，有，整理得，解得或，

而当时，，当时，，

所以实数a的值为2．

【小问2详解】

，设，则，

因在单调递增，由得，则在单调性与在单调性相同，

于是在上的最大值为1等价于在上的最大值为1，

因为，则在上的最大值只能在，，中取得，

若，则，在上的最大值为，

若，则，的对称轴，因此在上的最大值为，

若，此时函数图象开口必向下，即，由得，不满足，

综上，，

所以实数a的值是.

【点睛】结论点睛：二次函数在闭区间上的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取得.