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专题 18.11 平行四边形性质与判定综合训练专题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.11 平行四边形性质与判定综合训练专题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.11 平行四边形性质与判定综合训练专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
2．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
4．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
6．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且．有下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在中，、分别是和的平分线，、分别与相交于点、，，，则的长为（ ）
A．10 B．14 C．8或14 D．10或14
8．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（ ）
A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和14
10．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
11．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，在中，M是的中点，且，则的面积是_________．
13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____．
14．用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：
用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置. 如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE=OF；②AE=CF；③BE=DF；④△AOE≌△COF，其中一定成立的是_________________________（填写序号即可）.
15．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且，在；；；四边形EBFD为平行四边形；；这些结论中正确的是______．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝__．
17．如图，AC⊥ CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=0.5，BD= 1，CD=2，则AB= _____．
18．如图，在四边形ABCD中，，，点E为CD上一点且DE＝3EC，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4cm，则DE的长度为 ______．
19．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝3，则EF的长为___．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于_____．
21．如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．
22．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有_____．
23．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
三、解答题
24．某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在中的四条边上，请你设计两种方案：
方案（一）：如图①所示，两个出入口以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（二）：如图②所示，一个出入口已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法
25．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．
（1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式；
（2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
26．已知：在中，，平分．延长到，使，为中点，连接，过作的平行线与延长线交于点，连接，交于点．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段，与的数量关系并证明；
（3）若，用等式表示线段与的数量关系并证明．
27．学习完平行四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
， ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是边上的中线．
28．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；
（2）若∠ADE＝30°，DF＝4，求BF的长．
参考答案
1．C
【分析】
根据SAS得到△AOE≌△COF，进而可得∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，进一步证得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得四边形EFCD的周长．
【详解】
解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的性质，结合转化的数学思想，将未知线段长整合成已知线段长是解题关键．
2．B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
3．C
【分析】
连接EO，EG，OF，先证明四边形EOFG是平行四边形，得到S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，根据EO∥BG，得到S△EOG＝S△EOB，从而得到S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝26，BC＝20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴阴影部分的面积为120，
故选C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关的面积计算、不规则图形图形面积的计算等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键．
4．C
【分析】
根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF
∴△COF≌△AOE（ASA）
∵S△AOE＝4，AE＝ED
∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，
∴S△AOD＝8
∵AO＝CO
∴S△COD＝S△AOD＝8
∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；
故选C．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．
5．D
【分析】
根据平行四边形的周长求出BC+CD＝20，再根据平行四边形的两种面积计算方法求出BC＝CD，由此可以求出CD的值，进而具体求得平行四边形的面积．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，
∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，
整理得，BC＝CD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48．
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的面积计算，利用方程的思想方法求得平行四边形的底是解题关键．
6．C
【分析】
证△GBF≌△HDE（SAS），得GF=EH，∠BGF=∠DHE，则∠FGH=∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG=FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
7．D
【分析】
求出AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线性质求出，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF=6，进而得出AD的长．
【详解】
分两种情况进行讨论
如图1：
在中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF-EF=10
如图2：
在中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF+EF=14
综上所述：AD的值为10或14
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
8．D
【分析】
利用平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，从而可对④进行判断．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．
9．D
【分析】
作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有D中11+14=25＞24．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的思路在于通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，而利用三角形的三边关系解题是得到答案的关键．
10．D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE和△DFC中
∴△ABE≌△DFC（SAS）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.
④连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO和△DMO中
∴ ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
11．B
【分析】
根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
【详解】
解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
12．72
【分析】
求▱ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，则AM=DE；在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；可过D作DF⊥BC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积．
【详解】
解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=10
又∵AM∥DE，
∴四边形ADEM是平行四边形，
∴DE=AM=9，ME=AD=10，
∵M是BC的中点，
∴BM=BC=AD=5，
∴BE=BM+EM=15，
在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，
过D作DF⊥BE于F，
∴，
∴DF=，
∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．
故答案为：72．
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质与判定和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
13．①②④．
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故答案为①②④．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
14．①②③④．
【分析】
①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．
【详解】
解：如图，直细木条所在直线与AB,CE分别交于点E,F.
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，OA=OC，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
故①和④结论成立；
②由①知：△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
故②结论成立；
③∵四边形ABFE为平行四边形；
∴AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
故③结论成立．
则一定成立的是：①②③④；
故答案为①②③④．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．
15．
【分析】
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项．
【详解】
连接BD交AC于O，过D作于M，过B作于N，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
四边形BEDF是平行四边形，
，，∴①正确；②正确；④正确；
根据已知不能推出，∴③错误；
，，
，
在和中
≌，
，
，，
，∴⑤正确；
，
，
，∴⑥正确；
故答案为①②④⑤⑥．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
16．
【分析】
先证明四边形DBCF为平行四边形，由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°，再由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
【详解】
∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝3，
∴FG＝，CG＝．
∵DF＝BC＝2，
∴DG＝．
在Rt△DCG中，CD＝＝．
故答案为：．
【点拨】含30度角的直角三角形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理．
17．2.5
【分析】
过点C作CE∥AB，交DB延长线于点E，证明四边形ACEB是平行四边形，得到DE=1.5，再利用勾股定理求出答案
【详解】
解： 过点C作CE∥AB，交DB延长线于点E，
∵AC⊥ CD， BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴BE=AC=0.5，AB=CE，
∵BD=1，
∴DE=1.5，
∴
故答案为：2.5
【点拨】此题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，正确引出辅助线证明四边形ACEB是平行四边形是解题的关键．
18．
【分析】
根据中位线定理得到，再判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得，则可得．
【详解】
解：∵点F，G分别是AE，BE的中点，
∴
∵在四边形ABCD中，，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
故答案为．
【点拨】本体考查了中位线定理、平行四边的性质和判定，解题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
19．6
【分析】
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可；
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，，
又∵CF∥BE，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵DE＝3，
∴；
故答案是6．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，熟知三角形中位线定理并能正确识图是解题关键．
20．
【分析】
连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到AF=，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝a，BN＝BF＝a，FN＝a，CM＝a，
∴AF＝，
∵F是BC的中点，
∴S△DFA＝S平行四边形ABCD，
即AF×DP＝CD×CM，
∴PD＝，
∴DP：DC＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．8
【分析】
由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
【详解】
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴，
∵S△PBG＝2，
∴，
∵CG＝2BG，
∴，
∵,
∴.
故答案为：8.
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
22．①②③
【分析】
连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【详解】
连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，CH=，
∴EF=EC=BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF=BD•CH=，故③正确，
S△AEF=S△AEC=•S△ABD=故④错误，
故答案为①②③．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
23．①②③
【分析】
利用平行四边形的判定方法可判断①；证明△AEC△BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算可判断③；利用反证法可判断④．
【详解】
解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，
则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，
∴∠FED=∠EDC=30°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
△AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，
∴△AEC△BEC，
∴AC= BC，
又EB= AE，
∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG=AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，
∴AB=CD=，AG=BG=EG =AB=，
在Rt△ECD中，∠EDC=30°，CD=，
则ED=2EC，
由勾股定理得,即，
解得EC=，
在Rt△BCG中，,
即，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，
∵△AEC△BEC，
∴∠ACB=2∠ECA=60°，AC= BC，
∴△ACB是等边三角形，
而AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．方案（一）：见解析；方案（二）：见解析
【分析】
（1）画法1：过F作FH∥AB交AD于H，则得到平行四边形ABFH和平行四边形CDHF，则△EFH的面积等于平行四边形ABFH面积的一半，在CD上取一点G，得到△GFH的面积等于平行四边形CDHF面积的一半，四边形EFGH即为所求，同理，画法2、画法3也可得到满足条件的四边形；
（2）过点M作MP∥AB交AD于P，在AB上取一点Q，连接PQ，过M作MN∥PQ交CD于N，连接QM、PN，则△QPM和△NPM的面积分别为平行四边形ABMP、CDPM的面积的一半，即梯形PQMN即为所求．
【详解】
方案（1）
画法1：①过F作FH∥AB交 AD于点H，在DC上任取一点G，
②连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法2：①过F作FH∥AB交AD于点H，
②过E作EG∥AD交DC于点G，
③连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法3：①在AD上取一点H，使DH=CF，
②在CD上任取一点G，连接EF、FG、GH、 HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
方案（2）
画法：①过M点作MP∥AB交AD于点P，
②在AB上取一点Q，连接PQ，
③过M作MN∥PQ交DC于点N， 连接QM、PN，则梯形PQMN就是所要画的梯形．
【点拨】本题考查基本作图-应用与设计作图、平行四边形判定与性质、平行线之间的距离，利用平行线间的距离相等解决问题是解答的关键．
25．（1）当0≤t＜5时，s＝3t，当5≤t≤10时，s＝30﹣3t；（2）或或
【分析】
（1）分点Q没有到达点B时和点Q到达点B后返回时两种情况讨论，即可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】
（1）∵点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，
∴点P到达点D的时间t＝＝10（s），
∵点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，
∴点Q从点C出发到点B时，用时为15÷3=5（s），
点Q从点B再返回C时共用时为30÷3=10（s），
∴当0≤t＜5时，s＝3t，
当5≤t≤10时，s＝15+15﹣3t=30-3t；
（2）当0≤t＜5时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，
∴10﹣t＝3t，
∴t＝，
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t＝，
当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，
∴10﹣t＝30﹣3t，
∴t＝10（不合题意舍去），
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，
∴t＝3t﹣15，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26．
（1）见解析
（2）AF=CD+DE，见解析；
（3）CG=BD，见解析
【分析】
（1）根据题意不全图形即可；
（2）根据“AAS”证明△AOF≌△COE即可；
（3）连接CF，AE，先证明先证明AD=AE，再四边形AECF是平行四边形，然后证明，△ACD≌△FDC，可得∠CDG=∠DCG，然后可证结论成立．
（1）
解：如图所示，
（2）
AF=CD+DE，理由：
∵AF//BC，
∴∠CAF=∠ACE，
∵为中点，
∴AO=CO．
在△AOF和△COE中
，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．
∵CE=CD+DE，
∴AF=CD+DE；
（3）
CG=BD，理由：
连接CF，AE，
∵，DB=BE，
∴AB垂直平分DE，
∴AD=AE．
∵AF//CE，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE，
∴CF=AD，
作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵AF//CE，
∴FH=AB．
在△FHC和△ABD中
，
∴△FHC≌△ABD，
∴∠FCH=∠ADB，
∴∠FCD=∠ADC．
在△ACD和△FDC中
，
∴△ACD≌△FDC，
∴∠FDC=∠ACD=45°，
∴∠CGD=90°，CG=DG．
∵，平分，
∴DG=DB，
∴CG=DB．
【点拨】本题考查了复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
27．
（1）见解析
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
（1）
解：如图，图形如图所示：
（2）
解：连接，．
，，
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点拨】本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据三角形的性质得到BF=CF，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，由平行四边形的判定定理即可得到四边形DFCE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理得到∠B=∠ADE=30°，根据直角三角形的性质得到AB＝2DF=8，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE和DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
即DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DFCE是平行四边形；
（2）解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ADE=30°，DF=4，
∴∠B=∠ADE=30°，
在等腰△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，且D是斜边AB的中点，
∴AB＝2DF=8，
∴AF=AB=4，
∴BF=．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
专题 18.11 平行四边形性质与判定综合训练专题（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
2．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．60 B．20 C．120 D．130
4．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
6．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且．有下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在中，、分别是和的平分线，、分别与相交于点、，，，则的长为（ ）
A．10 B．14 C．8或14 D．10或14
8．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（ ）
A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和14
10．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
11．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，在中，M是的中点，且，则的面积是_________．
13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____．
14．用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，作出它的对角线的交点O，我们可以做如下操作：
用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置. 如果设细木条与一组对边AB，CD的交点分别为点E，F，则下列结论：①OE=OF；②AE=CF；③BE=DF；④△AOE≌△COF，其中一定成立的是_________________________（填写序号即可）.
15．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且，在；；；四边形EBFD为平行四边形；；这些结论中正确的是______．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．若∠A＝30°，BC＝2，CF＝3，则CD＝__．
17．如图，AC⊥ CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=0.5，BD= 1，CD=2，则AB= _____．
18．如图，在四边形ABCD中，，，点E为CD上一点且DE＝3EC，点F，G分别是AE，BE的中点，若FG＝4cm，则DE的长度为 ______．
19．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝3，则EF的长为___．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于_____．
21．如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．
22．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有_____．
23．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
三、解答题
24．某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在中的四条边上，请你设计两种方案：
方案（一）：如图①所示，两个出入口以确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（二）：如图②所示，一个出入口已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法
25．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．
（1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式；
（2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
26．已知：在中，，平分．延长到，使，为中点，连接，过作的平行线与延长线交于点，连接，交于点．
（1）补全图形；
（2）用等式表示线段，与的数量关系并证明；
（3）若，用等式表示线段与的数量关系并证明．
27．学习完平行四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
， ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
（ ）（填推理的依据）．
是边上的中线．
28．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；
（2）若∠ADE＝30°，DF＝4，求BF的长．
参考答案
1．C
【分析】
根据SAS得到△AOE≌△COF，进而可得∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，进一步证得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得四边形EFCD的周长．
【详解】
解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的性质，结合转化的数学思想，将未知线段长整合成已知线段长是解题关键．
2．B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
3．C
【分析】
连接EO，EG，OF，先证明四边形EOFG是平行四边形，得到S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，根据EO∥BG，得到S△EOG＝S△EOB，从而得到S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝26，BC＝20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴阴影部分的面积为120，
故选C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关的面积计算、不规则图形图形面积的计算等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键．
4．C
【分析】
根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COF
∴△COF≌△AOE（ASA）
∵S△AOE＝4，AE＝ED
∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，
∴S△AOD＝8
∵AO＝CO
∴S△COD＝S△AOD＝8
∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；
故选C．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．
5．D
【分析】
根据平行四边形的周长求出BC+CD＝20，再根据平行四边形的两种面积计算方法求出BC＝CD，由此可以求出CD的值，进而具体求得平行四边形的面积．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，
∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，
整理得，BC＝CD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48．
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的面积计算，利用方程的思想方法求得平行四边形的底是解题关键．
6．C
【分析】
证△GBF≌△HDE（SAS），得GF=EH，∠BGF=∠DHE，则∠FGH=∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG=FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF=∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF=EH，∠BGF=∠DHE，
∴∠FGH=∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG=FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
7．D
【分析】
求出AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线性质求出，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF=6，进而得出AD的长．
【详解】
分两种情况进行讨论
如图1：
在中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF-EF=10
如图2：
在中，AB=CD，AD//BC
∴
又∵BE平分
∴
∴
∴AB=AE=6
同理可得：DF=DC=6
∵EF=2
∴AD=AE+DF+EF=14
综上所述：AD的值为10或14
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
8．D
【分析】
利用平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，从而可对④进行判断．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．
9．D
【分析】
作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有D中11+14=25＞24．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的思路在于通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，而利用三角形的三边关系解题是得到答案的关键．
10．D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE和△DFC中
∴△ABE≌△DFC（SAS）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.
④连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO和△DMO中
∴ ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
11．B
【分析】
根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
【详解】
解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
12．72
【分析】
求▱ABCD的面积，就需求出BC边上的高，可过D作DE∥AM，交BC的延长线于E，那么四边形ADEM也是平行四边形，则AM=DE；在△BDE中，三角形的三边长正好符合勾股定理的逆定理，因此△BDE是直角三角形；可过D作DF⊥BC于F，根据三角形面积的不同表示方法，可求出DF的长，也就求出了BC边上的高，由此可求出四边形ABCD的面积．
【详解】
解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=10
又∵AM∥DE，
∴四边形ADEM是平行四边形，
∴DE=AM=9，ME=AD=10，
∵M是BC的中点，
∴BM=BC=AD=5，
∴BE=BM+EM=15，
在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，
∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，
过D作DF⊥BE于F，
∴，
∴DF=，
∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．
故答案为：72．
【点拨】此题主要考查平行四边形的性质与判定和勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
13．①②④．
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故答案为①②④．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
14．①②③④．
【分析】
①④由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF（ASA），则可证①、④结论成立；②由△AOE≌△COF可得结论成立；③根据平行四边形的性质和②可得结论成立．
【详解】
解：如图，直细木条所在直线与AB,CE分别交于点E,F.
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，OA=OC，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF；
故①和④结论成立；
②由①知：△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
故②结论成立；
③∵四边形ABFE为平行四边形；
∴AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
故③结论成立．
则一定成立的是：①②③④；
故答案为①②③④．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AOE≌△COF是解此题的关键．
15．
【分析】
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF，求出BN=DM，即可求出各个选项．
【详解】
连接BD交AC于O，过D作于M，过B作于N，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
四边形BEDF是平行四边形，
，，∴①正确；②正确；④正确；
根据已知不能推出，∴③错误；
，，
，
在和中
≌，
，
，，
，∴⑤正确；
，
，
，∴⑥正确；
故答案为①②④⑤⑥．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
16．
【分析】
先证明四边形DBCF为平行四边形，由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°，再由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
【详解】
∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝3，
∴FG＝，CG＝．
∵DF＝BC＝2，
∴DG＝．
在Rt△DCG中，CD＝＝．
故答案为：．
【点拨】含30度角的直角三角形性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理．
17．2.5
【分析】
过点C作CE∥AB，交DB延长线于点E，证明四边形ACEB是平行四边形，得到DE=1.5，再利用勾股定理求出答案
【详解】
解： 过点C作CE∥AB，交DB延长线于点E，
∵AC⊥ CD， BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴BE=AC=0.5，AB=CE，
∵BD=1，
∴DE=1.5，
∴
故答案为：2.5
【点拨】此题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，正确引出辅助线证明四边形ACEB是平行四边形是解题的关键．
18．
【分析】
根据中位线定理得到，再判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得，则可得．
【详解】
解：∵点F，G分别是AE，BE的中点，
∴
∵在四边形ABCD中，，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
故答案为．
【点拨】本体考查了中位线定理、平行四边的性质和判定，解题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
19．6
【分析】
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可；
【详解】
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，，
又∵CF∥BE，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵DE＝3，
∴；
故答案是6．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，熟知三角形中位线定理并能正确识图是解题关键．
20．
【分析】
连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到AF=，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝a，BN＝BF＝a，FN＝a，CM＝a，
∴AF＝，
∵F是BC的中点，
∴S△DFA＝S平行四边形ABCD，
即AF×DP＝CD×CM，
∴PD＝，
∴DP：DC＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．8
【分析】
由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.
【详解】
解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，
∴，
∵S△PBG＝2，
∴，
∵CG＝2BG，
∴，
∵,
∴.
故答案为：8.
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
22．①②③
【分析】
连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【详解】
连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，CH=，
∴EF=EC=BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF=BD•CH=，故③正确，
S△AEF=S△AEC=•S△ABD=故④错误，
故答案为①②③．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
23．①②③
【分析】
利用平行四边形的判定方法可判断①；证明△AEC△BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算可判断③；利用反证法可判断④．
【详解】
解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，
则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，
∴∠FED=∠EDC=30°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
△AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，
∴△AEC△BEC，
∴AC= BC，
又EB= AE，
∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG=AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，
∴AB=CD=，AG=BG=EG =AB=，
在Rt△ECD中，∠EDC=30°，CD=，
则ED=2EC，
由勾股定理得,即，
解得EC=，
在Rt△BCG中，,
即，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，
∵△AEC△BEC，
∴∠ACB=2∠ECA=60°，AC= BC，
∴△ACB是等边三角形，
而AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．方案（一）：见解析；方案（二）：见解析
【分析】
（1）画法1：过F作FH∥AB交AD于H，则得到平行四边形ABFH和平行四边形CDHF，则△EFH的面积等于平行四边形ABFH面积的一半，在CD上取一点G，得到△GFH的面积等于平行四边形CDHF面积的一半，四边形EFGH即为所求，同理，画法2、画法3也可得到满足条件的四边形；
（2）过点M作MP∥AB交AD于P，在AB上取一点Q，连接PQ，过M作MN∥PQ交CD于N，连接QM、PN，则△QPM和△NPM的面积分别为平行四边形ABMP、CDPM的面积的一半，即梯形PQMN即为所求．
【详解】
方案（1）
画法1：①过F作FH∥AB交 AD于点H，在DC上任取一点G，
②连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法2：①过F作FH∥AB交AD于点H，
②过E作EG∥AD交DC于点G，
③连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法3：①在AD上取一点H，使DH=CF，
②在CD上任取一点G，连接EF、FG、GH、 HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
方案（2）
画法：①过M点作MP∥AB交AD于点P，
②在AB上取一点Q，连接PQ，
③过M作MN∥PQ交DC于点N， 连接QM、PN，则梯形PQMN就是所要画的梯形．
【点拨】本题考查基本作图-应用与设计作图、平行四边形判定与性质、平行线之间的距离，利用平行线间的距离相等解决问题是解答的关键．
25．（1）当0≤t＜5时，s＝3t，当5≤t≤10时，s＝30﹣3t；（2）或或
【分析】
（1）分点Q没有到达点B时和点Q到达点B后返回时两种情况讨论，即可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】
（1）∵点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，
∴点P到达点D的时间t＝＝10（s），
∵点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，
∴点Q从点C出发到点B时，用时为15÷3=5（s），
点Q从点B再返回C时共用时为30÷3=10（s），
∴当0≤t＜5时，s＝3t，
当5≤t≤10时，s＝15+15﹣3t=30-3t；
（2）当0≤t＜5时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，
∴10﹣t＝3t，
∴t＝，
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t＝，
当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，
∴10﹣t＝30﹣3t，
∴t＝10（不合题意舍去），
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，
∴t＝3t﹣15，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26．
（1）见解析
（2）AF=CD+DE，见解析；
（3）CG=BD，见解析
【分析】
（1）根据题意不全图形即可；
（2）根据“AAS”证明△AOF≌△COE即可；
（3）连接CF，AE，先证明先证明AD=AE，再四边形AECF是平行四边形，然后证明，△ACD≌△FDC，可得∠CDG=∠DCG，然后可证结论成立．
（1）
解：如图所示，
（2）
AF=CD+DE，理由：
∵AF//BC，
∴∠CAF=∠ACE，
∵为中点，
∴AO=CO．
在△AOF和△COE中
，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．
∵CE=CD+DE，
∴AF=CD+DE；
（3）
CG=BD，理由：
连接CF，AE，
∵，DB=BE，
∴AB垂直平分DE，
∴AD=AE．
∵AF//CE，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE，
∴CF=AD，
作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵AF//CE，
∴FH=AB．
在△FHC和△ABD中
，
∴△FHC≌△ABD，
∴∠FCH=∠ADB，
∴∠FCD=∠ADC．
在△ACD和△FDC中
，
∴△ACD≌△FDC，
∴∠FDC=∠ACD=45°，
∴∠CGD=90°，CG=DG．
∵，平分，
∴DG=DB，
∴CG=DB．
【点拨】本题考查了复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
27．
（1）见解析
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
（1）
解：如图，图形如图所示：
（2）
解：连接，．
，，
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点拨】本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据三角形的性质得到BF=CF，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，由平行四边形的判定定理即可得到四边形DFCE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理得到∠B=∠ADE=30°，根据直角三角形的性质得到AB＝2DF=8，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE和DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
即DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DFCE是平行四边形；
（2）解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∵∠ADE=30°，DF=4，
∴∠B=∠ADE=30°，
在等腰△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，且D是斜边AB的中点，
∴AB＝2DF=8，
∴AF=AB=4，
∴BF=．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
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