专题 16.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 16.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共28页。试卷主要包含了二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式乘除混合运算，最简二次根式的判断，化为最简二次根式，已知最简单二次根式求参数等内容，欢迎下载使用。

专题 16.6 二次根式的乘除（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
类型一、二次根式的乘法
1．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
2．如果，，那么下面各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
类型二、二次根式的除法
4．等式成立的条件是（ ）
A． B．且
C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．下列等式：①；②＝2＋；③＝4，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
类型三、二次根式乘除混合运算
7．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．下列整数中，与的值最接近的是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．下列说法中正确的是（ ）
A．使式子有意义的是x＞﹣3
B．使是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3cm，则面积为30cm2
D．计算3÷×的结果是3
类型四、最简二次根式的判断
10．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
类型五、化为最简二次根式
13．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）．

A． B． C．2 D．3
15．下列运算正确的是(　　)
A．=9 B．2 0190﹣=﹣2
C．﹣=3 D．(﹣a)2•(﹣a)5=a7
类型六、已知最简单二次根式求参数
16．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5


二、 填空题
类型一、二次根式的乘法
17．计算：____________．
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．

19．有如下判断：
（1） （2）=1 （3）
（4）（5）（6）成立的条件是同号．其中正确的有_____个．
类型二、二次根式的除法
20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则下列结论：①；②；③的面积为；④点到直线的距离是．其中正确的是________．（填序号）

21．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）．
22．计算：_________．
类型三、二次根式乘除混合运算
23．化简－÷＝___________． 当1＜x＜4时，|x－4|-＝____________．
24．把的根号外因式移到根号内得____________．
25．如图，在面积为正方形中，点在上，且的面积为，则的长为_______．（用含有的代数式表示）

类型四、最简二次根式的判断
26．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个．
27．下列二次根式，，，，，中，最为简二次根式的是______.
28．已知最简二次根式与的被开方数相同，则a=_________________．
类型五、化为最简二次根式
29．当时，化简为______．
30．已知m是的小数部分，求＝ ___________．
31．若，化简=_____________．
类型六、已知最简单二次根式求参数
32．最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
33．若和都是最简二次根式，则m+n＝_____．
34．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则_______．

三、解答题
35．计算题：
（1）
（2）
（3）
（4）



36． 已知x=3+2，y＝3﹣2，求的值．



37． ．



38．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，那么便有
例如：化简：
解：首先把化为，这里，
因为，
即，
所以
根据上述方法化简：（1）；
（2）







39．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．

40．用计算器计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
___________．

























参考答案
1．B
【分析】
先根据二次根式的乘法运算计算，再估算的大小，进而估算，即可求得答案．
【详解】





\
故选B
【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小估算，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【分析】
由ab>0，a+b<0，可得出a<0，b<0，再根据二次根式的性质及乘除法运算法则即可得到解答．
【详解】
解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0．
∴A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；

C、，正确，不符合题意；
D、因为二次根式的被开方数不能为0，所以无意义，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式与不等式的综合应用，解题的关键熟练掌握二次根式的性质、二次根式乘除法的运算法则及不等式的基本性质．
3．C
【分析】
根据二次根式的运算性质化简后，再对根式进行估算，即可得出答案．
【详解】
解：
＝
＝，
∵，

∴，
∴的值应在5和6之间．
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法和估算无理数的范围，能估算出的范围是解此题的关键．
4．D
【分析】
根据二次根式有意义，分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】
解：根据题意得，，
∴，
∴
故选D．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式成立的条件是解答此题的关键．
5．C
【分析】
先对二次根式进行计算，再对进行估值即可.
【详解】
解：
=
∵
∴
故选：C.
【点拨】本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确的进行计算是关键.
6．B
【分析】
利用负整数指数幂的含义及二次根式的除法运算可判断①，利用二次根式的除法运算可判断②，利用二次根式的化简可判断③，从而可得答案．
【详解】
解： 故①错误；
故②错误；
故③正确，
故选：
【点拨】本题考查的是负整数指数幂的含义，二次根式的化简，二次根式的除法运算，掌握利用分母有理化进行二次根式的除法运算是解题的关键．
7．C
【分析】
三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．
【详解】
直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．
8．B
【分析】
根据二次根式的混合运算法则化简原式，再估算出的值即可判断．
【详解】
解：
＝
＝8﹣，
∵2.22＜5＜2.32，
∴，
∴，
∴与的值最接近的是6．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
9．B
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】
A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷×的结果是1，故此选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；
10．C
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
【详解】
解：A、原式=8，故此选项不符合题意．
B、原式=2，故此选项不符合题意．
C、是最简二次根式，故此选项符合题意．
D、原式=，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
11．A
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
【详解】
解：A. 是最简二次根式，故此选项符合题意；
B. 被开方数可以化简，故此选项不合题意；
C. 被开方数含分母，故此选项不合题意；
D. 被开方数是完全平方数，故此选项不合题意．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
12．B
【分析】
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
【详解】
解：A、=3不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意,
故选：B．
【点拨】本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键．
13．C
【分析】
根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】
∵，
∴A式计算正确，不符合题意；
∵，
∴B式计算正确，不符合题意；
∵，
∴C式计算错误，符合题意；
∵，
∴D式计算正确，不符合题意；
故选C
【点拨】本题考查了整式的加减，幂的乘方，单项式除以单项式，二次根式的化简，熟练掌握运算的法则和化简的方法是解题的关键．
14．A
【分析】
根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解】
∵△ABC的三边分别是3，和，即，，
∴△ABC的面积S＝




故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解．
15．A
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：A、=9，故此选项正确；
B、2 0190﹣=1+3=4，故此选项错误；
C、﹣=，故此选项错误；
D、(﹣a)2•(﹣a)5=﹣a7，故此选项错误；
【点拨】此题考查同底数幂的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则、负整数指数幂的性质，解题的关键是掌握相应的运算法则．
16．B
【分析】
几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可．
【详解】
解：最简二次根式与是同类二次根式，


故选B．
【点拨】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题．
17．
【分析】
根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算．
【详解】
解：原式
．
故答案为．
【点拨】此题考查了实数的运算、负整数指数幂，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
18．
【分析】
根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
第n个等腰直角三角形的面积

则第2021个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
19．2
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行判定即可求解.
【详解】
解：（1）,因此（1）正确；
（2），因此（2）错误；
（3），因此（3）正确；
（4），因此（4）错误；
（5），因此（5）错误；
（6）成立的条件是因此（6）错误；
只有（1），（3）正确．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质和二次根式的运算法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质和运算法则.
20．①②④
【分析】
利用勾股定理求出AB的长，即可判断①；利用勾股定理分别求出AB、AC、BC的长，然后用勾股定理的逆定理即可判断② ；利用②的结论即可求解判断③ ；设A到BC的距离为h，利用面积法即可求出h，即可判断④ .
【详解】
解：如图所示：



∴①正确；
∵
∴三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°
∴②正确；
∴
∴③错误；
∵
∴h=2
∴A到BC的距离为2
∴④正确
故答案为：①②④.

【点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
21．②③④
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可．
【详解】
①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定；
②一定成立，因为成立时，一定满足；
③当时，，故一定成立；
④当成立时，，则，故一定成立；
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键．
22．
【分析】
根据负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除法计算法则依次计算，再计算加减法即可.
【详解】
解：原式==．
故答案为：.
【点拨】此题考查计算能力，正确掌握负整数指数幂定义，绝对值的性质，二次根式的除法计算法则是解题的关键.
23．； ．
【分析】
由二次根式的性质进行化简，然后计算除法运算即可；由绝对值的意义和二次根式的性质进行化简即可求出答案．
【详解】
解：－÷
=
=
=
=；
∵，
∴，，
∴；
∴；
故答案为：；．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
24．
【分析】
根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【详解】
解：，
；





故答案为：
【点拨】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
25．
【分析】
先求出AB的长度，利用的面积列出方程，求解即可．
【详解】
∵正方形的面积为
∴
∴的面积为：
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了二次根式的实际应用，读懂题意，利用的面积列出方程是解题的关键．
26．2
【分析】
将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】
解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点拨】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
27．，.
【分析】
根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】
，，含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
根号内含有分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
故答案为，．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
28．3
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的性质，列方程求解．
【详解】
由题意可知与是同类二次根式，
∴3b=ab，解得a=3.
故答案为：3.
【点拨】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.
29．
【分析】
根据二次根式的性质以及题目给出的x与y的关系进行化简即可．
【详解】
解：要使有意义，则，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
30．2
【分析】
根据题意知m=-1，将所求式子进行通分化简，再将m的值代入即可求解．
【详解】
解：由题意，知m=-1，

=
=
当m=-1时，原式=====2．
故答案为2．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的性质．
31．
【分析】
被开方数通分后，再根据二次根式的性质、已知条件和分式的约分解答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
原式=
=
=
=
=
=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，掌握化简的方法、细心计算是解题的关键．
32．2
【分析】
根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：
∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
33．﹣6．
【分析】
由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
【详解】
由题意可得：
解得：
∴m+n＝﹣6
故答案：﹣6．
【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
34．12
【分析】
由题意列出方程组求解即可得到答案.
【详解】
由题意得，解得，
∴7+5=12，
故答案为：12.
【点拨】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键.
35．（1）；（2）；（3）；（4）当时，；当时，．
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法，绝对值，有理数的乘方，和有理数的混合计算法则进行求解即可；
（2）直接根据二次根式的乘除计算法则进行求解即可；
（3）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可；
（4）分当时， 当时两种情况进行讨论求解即可．
【详解】
解：（1）



；
（2）


；
（3）






；
（4）设，
∴，
∴，
当时，，
当时，．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数的混合计算，二次根式的混合计算，同底数幂的乘法，乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
36．34
【分析】
先算分式的加法，再利用完全平方公式和平方差公式变形后，代入求值即可．
【详解】
解：∵x=3+2，y＝3﹣2，
∴=
=
=
=．
【点拨】本题主要考查分式的加法运算，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和通分，是解题的关键．
37．
【分析】
根据二次根式的乘法与除法法则进行计算即可．
【详解】




【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，掌握二次根式乘除运算的法则并正确化简二次根式是解题的关键．
38．（1）；（2）
【分析】
根据，，即，代入计算即可；
【详解】
（1）根据题意，可知，，因为，，
即，，
所以；
（2）根据题意，可知，，因为，
即，，
所以．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．
39．
【分析】
先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是


，
答：留下部分的面积为．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
40．（1）10；（2）100；（3）1000；（4）10000；
【分析】
利用计算器分别计算，根据计算所得结果即可得到规律：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1．
【详解】
解：用计算器计算得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），
根据上述几题的结果可得：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1．
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了利用计算器求算术平方根，规律探究，主要是计算器的使用方法，需熟记，关键是总结规律．