人教A版高二理科数学上学期期末达标测试卷（A卷）

这是一份人教A版高二理科数学上学期期末达标测试卷（A卷），共20页。
2022-2023学年人教A版高二理科数学上学期期末达标测试卷（A卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的(   )A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件2.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(   )A. B. C. D.3.下图是国家统计局发布的2020，2021年前三季度居民人均可支配收入的平均数与中位数的统计图，现有如下说法:①2020，2021年的前三季度，全国居民人均可支配收入的平均数都高于中位数;②2021年前三季度，全国居民人均可支配收人的中位数为22157元，比上年同期增长8%;③2021年前三季度，全国居民人均可支配收入的中位数约为平均数的84.4%.则上述说法正确的个数为(   )A.0 B.1 C.2 D.34.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c丢失.天数x/天34567繁殖个数y/千个c344.56则上表中丢失的实验数据c的值为(   )A.1 B.1.5 C.2 D.2.55.执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是(   )A. B. C. D.6.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(   )A. B. C. D.7.已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为(   )A. B. C. D.8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则(   )A.2 B. C.8 D.49.如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为(   )A. B. C. D.10.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是(   )A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.611.已知椭圆的左焦点为F，A，B分别为C的左右顶点，与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为M，且轴，则C的离心率为(   )A. B. C. D.12.在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为(   )

A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_________.14.已知空间向量，设与垂直，，则_______________.15.命题“”是真命题，则实数m的取值范围为_________.16.已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，，则l的方程为________.三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，次数（x）12345考试成绩（y）498499497501505设变量x，y满足回归直线方程.（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2021年的高考的成绩；（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，其中2次成绩都大于500分的概率.参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.18.（12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数.(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数.(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.19.（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20.（12分）如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.21.（12分）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，.(1)求抛物线C的方程；(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程.22.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积.(2)若(O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问:是否为定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由.
答案以及解析1.答案：B解析：由得，由得.所以“”是“”的必要不充分条件.2.答案：C解析：从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是，，，，，，，，，，，，，，，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是，，，，，，共6种取法，所以所求概率是.故选C.3.答案：D解析：本题考查统计图、数学的实际应用.观察统计图可知2020年前三季度居民人均可支配收入的平均数为23781元，中位数为20 512元，2021年前三季度居民人均可支配收入的平均数为26 265元，中位数为22 157元，所以①正确;2021年前三季度，全国居民人均可支配收入的中位数为22 157元，比上年同期增长8%，故②正确;因为，故③正确.故选D.4.答案：D解析：本题考查回归直线方程在实际中的应用.由表中数据可得，，将点代入中，得，解得，所以丢失的实验数据c的值为2.5.故选D.5.答案：C解析：模拟执行程序框图，；；；；；，退出循环.故空白判断框中可填入的条件是“”，选C.6.答案：B解析：设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.7.答案：B解析：依题意得，，，所以，，，故，又C的离心率，所以，，，即C的方程为，故选B.8.答案：A解析：双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，，.又的周长为，，.9.答案：B解析：解法一  取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.解法二  易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.10.答案：C解析：对于A，甲同学周课外体育运动时长的中位数为，故选项A正确；对于B，乙同学周课外体育运动时长大部分在8h以上，故平均数大于8，故选项B正确；对于C，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项C错误；对于D，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项D正确.故选C.11.答案：A解析：解法一：由题意可知，故直线AD的方程为，即，直线BG的方程为，即，联立直线AD，BG的方程，解得.又轴，所以，所以C的离心，故选A.解法二：设O为坐标原点，由题意知，故，所以，即，解得.又，所以，即，解得，则，得，所以C的离心率，故选A.12.答案：D解析：以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
因此，，.
设平面的法向量为，则，
令，得，
点G到平面的距离为，故选D.13.答案：解析：方法一：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.方法二：.14.答案：0°解析：，化简得.又，，，，.15.答案：解析：因为命题“”是真命题，所以分两种情况讨论：①当时，不等式化简为，对不等式恒成立，符合题意；②当时，即解得.综上，.16.答案：解析：通解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.设，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以，即.因为，所以.将，代入椭圆方程，得，相减得，由题意知，，所以，即，整理得①.又，所以由勾股定理，得②，由①②并结合，，得，所以直线l的方程为，即.优解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则，则，.由椭圆中点弦的性质知，即，以下同通解.17.答案：（1）预测2021年的高考成绩为511.2分（2）解析：（1）由表得，，.将点代入回归直线方程可得，解得，回归直线方程为.当时，，预测2021年的高考成绩为511.2分.（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，则事件A的情况有，，，，，，，，，，共10种情况，其中2次成绩都大于500分情况有，，，共3种情况，所求的概率.18.答案：(1)轻度拥堵的路段有6个；中度拥堵的路段有9个；严重拥堵的路段有3个(2)分别抽取的个数为2，3，1(3)概率为解析：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(个)，中度拥堵的路段有(个)，严重拥堵的路段有(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2，3，1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，抽取的3个中度拥堵路段为，抽取的1个严重拥堵路段为，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵的包含的样本点有：，共9个.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.19.答案：(1)标准方程为.(2)过定点.解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，，四边形OMPN的周长为，，，，椭圆C的标准方程为.(2)设，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入，整理得，则，.易知，，化简得，或(舍去)，直线l的方程为，即，直线l过定点.当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此时直线l过点.综上，直线l过定点.20.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.21.答案：(1)方程为.(2)方程为.解析：(1)设，因为抛物线C的焦点为，所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，由得.则，，整理得，所以，故抛物线C的方程为.(2)易知直线AB的斜率在在具不为零，设直线AB的方程为，由得，则，即或，.易知直线AQ的方程为，由得，设，则，设，同理可得，则，得，故直线AB的方程为.22.答案：(1)(2)是；解析：本题考查双曲线的定义及方程、直线与双曲线的位置关系.(1)依题意可知，，则，，又，所以，解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.(2)由(1)可解得.所以双曲线C的方程为.设，则，则，.设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，由，得.由一元二次方程根与系数的关系得，所以.则，故为定值.