北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（    ）

A.        B.  

C.        D.

  2. 命题“x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是（    ）

A. x∈（0，+∞），lnx≠x-1      B. x（0，+∞），lnx=x-1

C. x0∈（0，+∞），lnx0≠x0-1  D. x0（0，+∞），lnx0=x0-l

3. 抛物线y=4x2的焦点坐标是（    ）

A. （0，1）      B. （0，）    C. （1，0）      D. （，0）

4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x<-3，则x2+x-6>0”的否命题。则真命题的个数是（    ）

A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

5. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（    ）

A. 24种       B. 36种      C. 48种       D. 60种

6. 已知圆M：x2+y2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是2，则a的值为（    ）

A.        B. 2       C.       D. ±2

7. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ）

A. 24       B. 18      C. 12       D. 6

8. 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A. （，2]    B. [，2）   C. （，+）  D. [，+）

二、填空题共6小越。

  9. 双曲线3x2-y2=-3的渐近线方程为________。

  10. 设常数a∈R。若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为-10，则a=________。

  11. 设F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，若点P在椭圆上，且=0，则|+|=_________。

12. 若双曲线=1与直线y=kx-l有且仅有一个公共点，则这样的直线有________条。

13. 已知点P在抛物线y2=4x上，那么当点P到点Q（3，4）的距离与点P到抛物线准线的距离之和取得最小值时，点P的坐标为_______。

14. 下列三个命题中：

①“k=l”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”的充要条件；

②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；

③函数y=的最小值为2。

其中是假命题的有_______。（将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=logax（a>0且a≠1）在（0，+）上单调递增。若p∨q为真，而p∧q为假，求实数a的取值范围。

16. 已知P是椭圆上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点。

（1）当∠F1PF2=60°时，求△F1PF2的面积；

（2）当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围。

17. 如图所示，在Rt△ABC中，已知点A（-2，0），直角顶点B（0，-2），点C在x轴上。

（1）求Rt△ABC外接圆的方程；

（2）求过点（-4，0）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程。

18. 定长为2的线段AB的两个端点在以点（0，）为焦点的抛物线x2=2py上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标。

19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。

参考答案

1. A  2. A  3. B  4. C  5. D  6. D  7. B  8. A

9. x±y=0  10. -2  11. 6  12. 4  13. （，+1）   14. ①②③.

15. 若p为真，则△=（2a）2-42<0，即-2<a<2。

若q为真，则a>1。

因为p∨q为真，而p∧q为假，所以p，q一真一假。

当p真q假时，所以0<a<1。

当p假q真时，所以a≥2。

综上，a的取值范围为（0，1）[2，+）。

16. （1）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=4且F1（-，0），F2（，0）。①

在△F1PF2中，由余弦定理，

得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2| cos60°。 ②

由①②得|PF1|·|PF2|=。

所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=。

（2）设点P（x，y），由已知∠F1PF2为钝角，

得<0，即（x+，y）·（x-，y）<0。

又y2=1-，所以x2<2，解得-<x<。

所以点P横坐标的取值范围是（-，）。

17. （1）设点C（a，0），由AB⊥BC可得kAB·kBC=-1，即·=-1，解得a=4。

则所求的圆的圆心为AC的中点（1，0），半径为3，

所求圆的方程为（x-1）2+y2=9。

（2）由题意知直线的斜率存在，设所求直线的方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0。

当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以=3，解得k=，

所求直线的方程为y=（x+4）或y=-（x+4），

即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0。

18. 依题意可得抛物线的方程为x2=y。

设直线AB的方程为y=kx+b（kR），

联立方程组得2x2-kx-b=0。

设A（x1,y1），B（x2，y2），则x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=。

因为|AB|=2,所以（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=4，

所以b=，

所以yM=

=。

当且仅当=即k=±时取等号，

所以点M到x轴的最短距离为，此时点M的坐标为（，）。

19. （1）设椭圆的方程为=1（a>b>0），由题意可得：

椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1；0），F2（1，0）。

所以2a=

所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，

故椭圆的方程为。

（2）当直线l⊥x轴，计算得到：A（-l，-），B（-1，），

，不符合题意。

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），

由消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,

显然△>0成立，设A（x1,y1），B（x2,y2），

则x1+x2=，x1·x2=，

又|AB|=,

即|AB|=，

又圆F2的半径r=，

所以，

化简，得17k4+k2-18=0，

即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1，

所以，r=，故圆F2的方程为：（x-1）2+y2=2。