江苏省连云港市海州区2022年九年级上学期期末数学试卷及答案

 九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） 

A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）

2．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球共9个，这些球除颜色外完全相同，其中有3个黄球，2个蓝球.则随机摸出一个红球的概率为（　　） 

A． B． C． D．

3．九年级（1）班学生在引体向上测试中，第一小组6名同学的测试成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，这组数据的中位数与众数分别是（　　） 

A．7，7 B．6，7 C．6.5，7 D．5，6

4．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　） 

A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定

5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心。若∠C=50°，则∠B的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°

6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　） 

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）

7．如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（　　） 

A． B．

C． D．

8．如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（　　） 

A．10 B．25 C．50 D．75

二、填空题

9．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　     　.

10．已知 ，则 的值为 　     　. 

11．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝　     　cm.

12．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为　     　米.

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为　     　.

14．如图，M是AC的中点，AB＝8，AC＝10，当AN＝　     　时，△ABC∽△AMN.

15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行　     　m才能停下来.

16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　     　.

三、解答题

17．解方程：x2﹣6x+8＝0．  

18．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.

（1）求证：△ABE∽△DFA；

（2）若AB＝10，BC＝4，求DF的长.

19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3

（1）直接写出函数图象顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；

（2）当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；

（3）将该函数图象向右平移一个单位，再向上平移四个单位后，所得图象的函数表达式是　            　.

20．不透明的袋子里装有小丽刚买的红白两种色彩的手套各一双（除颜色外其余都相同）.

（1）小丽再看不见的情况下随机摸出一只手套，恰好是红色的概率是　     　；

（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽再看不见的情况下随机一次摸出两只手套，恰好是同色的概率.

21．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？

22．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P.

（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；  

（2）若AE＝2，试求AP·AF的值.  

23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）

24．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长.

25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N作AB的垂线，分别交两直角边AC，BC所在的直线于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）.

（1）写出图中与△ABC相似的三角形；

（2）如图，设DM的长为x，矩形DENM面积为S，求S与x之间的函数关系式；当x为何值时，矩形DENM面积最大？最大面积是多少？

（3）在运动过程中，若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度.求t为多少秒时，矩形DEMN为正方形？

26．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的函数关系式.

（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由.

（3）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】A

6．【答案】A

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】减小

10．【答案】

11．【答案】4

12．【答案】6

13．【答案】1：4

14．【答案】

15．【答案】480

16．【答案】

17．【答案】解：x2﹣6x+8＝0
 

（x﹣2）（x﹣4）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，

∴x1＝2
x2＝4．

18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∴∠BAE+∠DAE=90°，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠EBA=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠ADF=∠EAB，

∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵E是BC的中点，BC=4，四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4， ，∠ABE=90°，

∴ ，

∵△ABE∽△DFA，

∴ ，

∴ .

19．【答案】（1）解：y＝x2﹣2x﹣3=（x－1）2－4，

∴函数图象顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为直线x=1，

当x=0时，y=－3，∴当x=2时，y=－3，

当y=0时，由0= x2﹣2x﹣3得：x1=－1，x2=3，

画出该二次函数在图象如图所示：

（

（2）解：根据图象，当函数值为正数时，自变量x的取值范围为x＜－1或x＞3；

（3）y= x2﹣4x+4

20．【答案】（1）

（2）解：画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，摸出两只手套，恰好是同色的有4种情况，

∴摸出两只手套，恰好是同色的概率为 .

21．【答案】（1）解：由题意，该抛物线过O（0，0）、M（12，0），

∴该抛物线的对称轴为直线x=6，顶点坐标为P（6，6），

设该抛物线的解析式为y=a(x－6)2+6，

将点O(0，0)代入，得：36a+6=0，解得：a= ，

∴该抛物线的解析式为y=    (x－6)2+6=  x2+2x；

（2）解：∵AD﹣DC﹣CB组成的是矩形“支撑架”，

∴AD=CB=4，

令y=4，由4=  x2+2x得：x2－12x+24=0，

解得： ， ，

∴C( ，4)，D（ ，4），

∴CD= －( )= ，

∴AD+DC+CB=4+4+ =8+ ，

∴这个“支撑架”总长是（8+ ）米.

22．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF，又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP， 

∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝180°－∠APE＝120°

（2）解：∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， 

∴△APE∽△ACF，

∴ ，即 ，

∴AP·AF＝12

23．【答案】（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，

将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：

，

解得： ，

故函数的表达式为：y=-2x+220；

（2）解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得：

w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，

∵-2＜0，函数有最大值，

∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，

故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.

24．【答案】（1）证明：连接 ，如图所示： 

是 的直径，

，

，

，

，

，

，

即 ，

是 的切线；

（2）解： 的半径为 ， 

， ，

，

，

，

，

，

又 ，

，

  ，

即 ，

.

25．【答案】（1）图中与△ABC相似的三角形有△DEC，△EBN，△ADM；

（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴ ，

∵△ADM∽△ABC，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴

∴ ，

∴ ，

∵△ADM∽△ABC，△DEC∽△ABC，

∴△ADM∽△DEC，

∴ ，即 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴当 时，矩形DENM面积最大，最大面积是3；

（3）解：当M、N相遇前，
 

∵四边形DENM是矩形，

∴NE=MD，

∵△AMD∽△ABC，

∴ ，

由题意得 ，

∴ ，

∴ ；

∵△BEN∽△BAC，

∴ ，即

∴ ，

∴点N的速度为每秒 个单位长度；

∵当N、M相遇时，有AM+BM=AB，

∴ ，

解得 ，即M、N相遇的时间为 ，

当N、M相遇后继续运动，N点到达A点时，

∴ ，

解得 ，即N点到底A点的时间为 ；

∵矩形DENM是正方形，

∴DM=MN=EN，

当N、M相遇前，即当 时， ， ， ，

∴ ，

∴ ，

解得 ；

当N、M相遇后，即当 时， ， ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

解得 不符合题意，

∴综上所述，点N的速度为每秒 个单位长度，当 时，矩形DEMN为正方形.

26．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A(-1，0)、B(3，0)两点，

∴  ，解得：   ，

∴抛物线的函数关系式为

（2）解：存在，理由如下：

∵ ，

∴抛物线的对称轴为   ，

当   时，   ，

∴点   ，

设点   ，

∵B(3，0)，

当DG为对角线时，另一条对角线为BC，

∴  ，

解得：   ，

∴此时点   ；

当DB为对角线时，另一条对角线为GC，

∴  解得：   ，

∴此时点 ；

当DC为对角线时，另一条对角线为BG，

∴ ，解得： ，

∴此时点 ；

综上所述，点G的坐标为 或 或 ；

（3）解：如图，连接AC，OP，

∵ ，

∴点   ，

设直线CM的解析式为   ，

把点   ，   ，代入得：

  ，解得： ，

∴直线CM的解析式为   ，

当   时，   ，

∴点   ，

∴OE=OB=3，且OC⊥BE，

∴CE=CB，

∴∠CBE=∠E，

设   ，

又∵点P在线段EM上，

∴  ，

∴  ，   ，

当   时，   ，

即   ，解得：   ，

∴此时点   ；

当 时，   ，

即   ，解得：   ，

∴此时点   ，

综上所述，点P的坐标为 或 .