第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷(高清版) (2)Word版含答案

这是一份第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷(高清版) (2)Word版含答案，共60页。试卷主要包含了 如图， 一质量为M 等内容，欢迎下载使用。
y




O

l
M
x
m
v0
B
第 35 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2018 年 9 月 22 日
说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上的无效。

一、(40 分)假设地球是一个质量分布各向同性的球体。从地球上空离地面高度为 h 的空 间站发射一个小物体， 该物体相对于地球以某一初速度运动， 初速度方向与其到地心的连线 垂直。已知地球半径为R ，质量为M ，引力常量为 G 。地球自转及地球大气的影响可忽略。
(1)若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？
(2)若该物体的初速度大小为 v0 ，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向(即
速度与其水平分量之间的夹角)、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知： 对于c < 0 ，编 = b2 - 4ac > 0 ，有
j = - arcsin 2cx b + C
式中 C 为积分常数。



二、(40 分)如图，一劲度系数为 k 的轻弹簧左端固定， 右端连一质量为m 的小球； 弹簧水平， 它处于自然状态时 小球位于坐标原点 O ；小球可在水平地面上滑动， 它与地 面之间的动摩擦因数为 山 。初始时小球速度为零， 将此时


t=0
m

-A0 O x

弹簧相对于其原长的伸长记为-A0 (A0 > 0 ，但 A0 并不是已知量)。重力加速度大小为g ， 假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1) 如果小球至多只能向右运动， 求小球最终静止的位置， 和此种情形下 A0 应满足的条件；
(2)如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的 位置，和此种情形下 A0 应满足的条件；
(3) 如果小球只能完成n 次往返运动(向右经过原点， 然后向左经过原点， 算 1 次往返) ， 求小球最终静止的位置，和此种情形下 A0 应满足的条件；
(4)如果小球只能完成n 次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总 路程。

三、(40 分) 如图， 一质量为M 、长为l 的匀质细杆AB 自由悬挂于 通过坐标原点O 点的水平光滑转轴上(此时， 杆的上端A 未在图中标 出，可视为与O 点重合) ，杆可绕通过O 点的轴在竖直平面(即 x-y 平 面， x 轴正方向水平向右)内转动； O 点相对于地面足够高， 初始时 杆自然下垂； 一质量为m 的弹丸以大小为 v0 的水平速度撞击杆的打击 中心(打击过程中轴对杆的水平作用力为零) 并很快嵌入杆中。在杆 转半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小为g 。
(1)求杆的打击中心到O 点的距离；
(2)求撤除转轴前，杆被撞击后转过9 ( 0 共 9< π )角时转轴对杆的作用力；
(3) 以撤除转轴的瞬间为计时零点， 求撤除转轴后直至杆着地前， 杆端B 的位置随时间t 变 化的表达式xB (t ) 和 yB (t ) ；
(4)求在撤除转轴后，杆再转半圈时 O 、 B 两点的高度差。

六、(40 分)如图，太空中有一由同心的内球和球壳构成的实验装置， 内球和球壳内表面之间为真空。内球半径为 r = 0.200 m ，温度保持恒定， 比辐射率为e = 0.800 ；球壳的导热系数为K=1.00 人10一2 J . m一 1 . s一 1 . K一 1 ，内、 外半径分别为R1 = 0.900m 、R2 = 1.00 m ，外表面可视为黑体；该实验装 置已处于热稳定状态， 此时球壳内表面比辐射率为E = 0.800 。斯特藩常
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四、(40 分) Ioffe-Pritchard 磁阱可用来束缚原子的运动，其主要部 分如图所示。四根均通有恒定电流I 的长直导线 1 、2 、3 、4 都垂直 于x-y 平面， 它们与x-y 平面的交点是边长为2a 、中心在原点 O 的正 方形的顶点，导线 1 、2 所在平面与x 轴平行，各导线中电流方向已 在图中标出。整个装置置于匀强磁场B0 = B0k (k 为z 轴正方向单位 矢量)中。已知真空磁导率为 斤0 。
(1)求电流在通电导线外产生的总磁场的空间分布；
(2)电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保留至线性项；

y
1
×
2
⊙
a
x
O
a
×
3
⊙
4
a a

(3)将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受磁作用的束缚势能正比于其所在位置的总 磁感应强度Btot 的大小， 即磁作用束缚势能V = 斤 | Btot | ，斤 为正的常量。求该原子在原点 O 附近所受磁场的作用力；
(4)在磁阱中运动的原子最容易从x-y 平面上什么位置逸出？ 求刚好能够逸出磁阱的原子 的动能。

五、(40 分)塞曼发现了钠光 D 线在磁场中分裂成三条，洛仑兹根据经典电磁理论对此做 出了解释， 他们因此荣获 1902 年诺贝尔物理学奖。假定原子中的价电子(质量为 m ，电荷 量为一e ，e > 0 ) 受到一指向原子中心的等效线性回复力一mo0( 2)r ( r 为价电子相对于原子中 心的位矢) 作用， 做固有圆频率为o0 的简谐振动， 发出圆频率为o0 的光。现将该原子置于 沿z 轴正方向的匀强磁场中， 磁感应强度大小为B (为方便起见， 将B 参数化为B = oL )。
(1)选一绕磁场方向匀角速转动的参考系，使价电子在该参考系中做简谐振动， 导出该电 子运动的动力学方程在直角坐标系中的分量形式并求出其解；
(2)将(1)问中解在直角坐标系中的分量形式变换至实验室参考系的直角坐标系；
(3) 证明在实验室参考系中原子发出的圆频率为o0 的谱线在磁场中一分为三； 并对弱磁场 (即 oL