专题27.8 由平行线截得的比例线段（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.8 由平行线截得的比例线段（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题
3.体会转化、特殊到一般的数学思想
【要点梳理】
要点一：平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：

图一
拓展：
1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；

2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；


图二
3）、经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。

图三
要点二：平行线分线段成比例定理1.平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.


平行线分线段成比例定理2.平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例



【典型例题】
类型一、由平行线判断比例线段
1．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．

【答案】6，2.5
【分析】由平行线分线段成比例解答即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB=3，AD=2，DE=4，
∴，
解得：BC=6，
∵l1∥l2∥l3，
∵AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，
∴，
∴，
解得：BF=2.5．
【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系．
【变式1】如图所示，l1l2l3，且AB＝2BC，DF＝5 cm，AG＝4 cm．求GF，AF，EF的长．

【答案】2 cm、6cm、cm
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理计算即可．
解：∵l2∥l3，
∴＝．
而AG＝4 cm，AB＝2BC，
∴＝2．
∴GF＝2 cm．
∴AF＝AG＋GF＝4＋2＝6（cm）．
∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即，
∴EF＝cm．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例．
【变式2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1) 求证：AH⊥BC；
(2) 求AG的长．

【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．
(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD＝7，
∵DH+HC＝DC＝7，
∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．
∵AH＝HC，
∴AH＝CH＝4，
∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，
∴AH2+DH2＝AD2，
∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，
∴AH⊥BC；
(2)设AG＝x，
由勾股定理得AC＝＝4，
∴，
∵HG∥AD，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴AG的长为．
【点拨】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
类型二、平行线分线段成比例证明比例中项
2．如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB•AD．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后利用比例的基本性质变形即可．
证明：∵MN∥BC，
∴，
∵DN∥MC，
∴，
∴，
即AM2＝AD•AB．
【点拨】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式并根据比例的基本性质变形是解决此题的关键.
【变式1】如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．
求证：DE∥BC

【分析】由FE∥CD，可得，由AD是线段AF与AB的比例中项，可得，进而可得，可得结论．
解：∵FE∥CD，
∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，
∴，
∴，
∴DE∥BC．
【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，根据平行判断成比例线段是解题的关键．
【变式2】如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线与，求证：．

【分析】通过∥可得到，再根据∥可得到，从而得到答案；
证明：∵∥，
∴，
又∵∥，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键．
类型三、由平行线截线段长或比值
3．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且DC⊥BC，DE⊥DC交AC于点E，DE＝，CE＝2，求AB的长．

【答案】
【分析】利用勾股定理求出CD，利用中位线性质求出BC，继而求出BD，因为D为AB中点，所以AB=2BD，即求出AB的长．
解：∵DE⊥DC，
∴∠CDE＝90°，
∵DE＝，CE＝2，
∴CD＝＝＝，
∵DC⊥BC，DE⊥DC，
∴DE∥BC，∠DCB＝90°，
∵D为AB的中点且DE∥BC，
∴，
∴DE是的中位线，
∴BC＝2DE＝2，
∴BD＝＝＝，
∵D为AB的中点，
∴AB＝2BD＝2．
【点拨】此题主要考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练使用勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1) 求线段DE的长；
(2) 取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．

【答案】(1) 4 (2)
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
(1)解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
(2)解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．

【点拨】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
【变式2】如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．

【答案】2：1
【分析】 由E是AC的中点， ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中点，易得BO：OE=BF：FD=2：1．
解：∵E是AC的中点， ED∥AF
∴FD=DC
又∵F是BC的中点
∴BF=FC=2FD
∴BO：OE=BF：FD=2：1．
【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准图中相等的比例关系．
类型四、通过添加平行线求线段长或比值
4．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．

【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．
证明：作EH∥AC交BC于H，

∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，是的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．


【答案】（1）； （2）
【分析】
（1）过点D作BE的平行线，利用平行线分线段成比例可推理得到，从而得到答案；
（2）过点D作BE的平行线，利用平行线分线段成比例可推理得到EG=CG，EG=2AE，从而得到答案．
解：（1）如图1，过点作，交AC于点F

∵AD是中线
∴BD=CD
∵
∴，
又∵，
∴
∴
又∵
∴
即：
（2）如图2，过点作，交AC于点G

∵
∴
∵AD是中线，，
∴BD=CD,
∴EG=CG，EG=2AE
又∵
∴5AE=AC
∴
【点拨】本题考查平行线段分线成比例，利用数形结合思想解题是解此类题的关键．
【变式2】△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；
（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．

【答案】（1）证明见分析，（2）作图见分析，（3）
【分析】
（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；
（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；
（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．
（1）证明：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵，EG＝GC，
∴＝1，
∴＝1．
∴AF＝FD；

（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；

（3）作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴＝＝，
∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵F为AD的中点，
∴即．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题
类型五、通过平行线成比例解决坐标系中的几何问题
5．如图，已知点在的负半轴上，点在的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作射线轴于点．
（1）当时，线段的长为___________（直接填空）；
（2）当时，求的值；
（3）在射线上取点，且始终满足，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或或.
【分析】
（1）证明是的中位线，可得结论．
（2）由，可得，由此构建方程求出即可．
（3）分两种情形：①当时，，满足条件．②当时，四边形是菱形，可得，满足条件．
解：（1）在中，，，，
，
当时，，
，
轴，
，
，
，
故答案为：．
（2）由题意，．
，
，
，
．
（3）①当时，，满足条件，此时．
②当时，四边形是菱形，可得，满足条件，此时，
③如图，当PA=PC=OC时，四边形APCO是等腰梯形，过点P作PE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F．

则有



综上所述，满足条件的的值为或或.
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式1】如图①，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴分别交于点A、B，直线交x轴、y轴分别交于点D、C，交直线于点E，（点E不与点B重合），且，
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图②，连接，过点O做交直线与点F，
①求证：
②直接写出点F的坐标
（3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当和全等时，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）；（2）①证明见分析；②；（3）点P的坐标为、（-8，-3）、．
【分析】
（1）先求得A、B的坐标，再根据全等三角形的性质得出C、D的坐标，代入y=kx+b即可求得CD的解析式；
（2）①证明△COF≌△AOE（ASA）即可得出OF=OE；②过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，证明△FOG≌△EOH得出GF=HE，OG=OH，再联立两个一次函数即可求得，从而可得F点坐标；
（3）分三种情况利用全等三角形的性质和平行线分线段成比例即可确定出点P的坐标．
解：（1）∵直线交x轴，y轴分别于点A，点B，
∴A（，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵
∴CO=OA=3，OD=OB=4，
∴C（0，3），D（-4，0），
设直线CD 的解析式为y=kx+b，
∴解得，
∴直线CD 的解析式为：；
（2）①由坐标轴知OB⊥OA，
又∵，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠COF=∠AOE，
∵，
∴OA=OC，∠OAB=∠OCD，
∴△COF≌△AOE（ASA），
∴OF=OE；
②过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，
∴∠FGO=∠EHO，

由①可知△COF≌△AOE，
∴OF=OE, ∠COF=∠AOE，
∴∠FOD=∠EOB，
∴△FOG≌△EOH（AAS）
∴GF=HE，OG=OH,
联立 得，
∴，
∴；
（3）根据勾股定理，
如下图，

当△P'Q'D≌△OCD时，
∴DP'=OD=4，
作P'H⊥x轴，
∴P'H∥OC，
∴,即，所以，
∴,
将代入得，
∴点P'坐标；
当△PQD≌△COD时，
∴DQ=OD=4，PQ=OC=3，
∴点P坐标（-8，-3）；
当△P''Q''D≌△OCD时，
∴DP''=OD=4，P''Q''=OC=3，
作P''G⊥x轴，即P''G∥OC，
∴,即，所以，
∴,
将代入得，
∴点P坐标，
∴△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为、（-8，-3）、．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例、一次函数与二元一次方程组．（2）中能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）注意分情况讨论，正确作出图形．
【变式2】在平面直角坐标中，OA＝4，OB＝8，直线y＝﹣2x+b交x轴和y轴于点D、E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若＝，试求b的值；
（3）若＝，求b的值．

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）b＝7；（3）b＝．
【分析】
（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入即可解决问题．
（2）根据题意求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）想办法用b表示点C坐标，代入直线AB的解析式即可解决问题．
解：（1）∵OA＝4，OB＝8，
∴A（0，4），B（8，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则有解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）如图，作CM⊥OB于M，CN⊥OD于N．

∵CNOB，CMOA，，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴CN＝2，CM＝3，
∴点C坐标为（2，3），
把点C代入y＝﹣2x+b，得3＝﹣4+b，
∴b＝7．
（3）∵直线y＝﹣2x+b交x轴和y轴于点D、E，
∴D（0，b），E（，0），
∵CNOE，CMOD，，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴CN＝，CM＝，
∴C（，），把点C坐标代入y＝﹣x+4得到，＝﹣+4，
∴b＝．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、平行线分线段成比例等内容，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
类型六、平线分线段成比例作图题
6．阅读下列材料，完成相关任务
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分点呢？
如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使．
操作探究：
晓彤的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使AB＝2MA，连接BN；
③以A为顶点，MA为一边，如图，作∠MAP，使∠MAP＝∠MBN，射线AP交MN于点P．
所以点P为求作的点．

晓彤作法的理由是：
∵∠MAP＝∠MBN，
∴AP∥BN（同位角相等，两直线平行）．
∴（依据）．
∵AB＝2MA（已知），
∴（等量代换）．
∴（等量代换）．
数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是：　　；
拓展应用：如图，已知线段a，b，c，
求作：线段d，使a：b＝c：d．（要求：保留作图痕迹，不写作法）


【答案】数学思考：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；拓展应用：见分析．
【分析】
数学思考：由题意根据平行线分线段成比例，即可得到答案；
拓展应用：根据题意由顶点A做两条射线，在一条射线上截取AB＝a，BC＝b，在另一条射线上截取AD＝c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE＝d即为所求线段．
解：数学思考：由题意可得：晓彤作法理由中所缺的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
拓展应用：如图，线段DE即为所求作的线段d．

【点拨】本题考查的是作图-复杂作图，熟练掌握平行线分线段成比例的作法是解答此题的关键．
【变式1】如图，已知△ABC中，AB＝8，AC＝6．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：
①作∠CAB的角平分线交BC于点E；
②作线段AE的垂直平分线分别交AB、AC于点D、F．
（2）连接DE、EF，求四边形ADEF的周长．

【答案】（1）①见分析；②见分析；（2）
【分析】
（1）①②根据要求作出图形即可．
（2）先判定四边形ADEF是菱形，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
解：（1）①如图，射线即为所求作．
②如图，直线即为所求作．

（2）由作图可知：AF=EF， AD=ED，∠EAF=∠EAD，∠ AOF=∠AOD=90°，
∵AO=AO，
∴△AOF≌△AOD（ASA），
∴AF=AD，
∴四边形是菱形，设边长为．
，
，
，
，
四边形的周长为．
【点拨】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，菱形的判定和性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】如图，已知，平分，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形，使点，分别在边、上，并根据你的作法证明你的结论；
（2）若，，，求（1）中所作菱形的面积．

【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；
（2）由四边形AMPN是菱形、∠C=90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，由面积法求得PQ的长度，最后由AN•PC求得AMPN的面积．
解：（1）作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、得四边形即为所求菱形，

证明：是的垂直平分线，
，，，
平分，
，

，
，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，，
，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，即AM=PM=AN=PN=3，
，
过P作PQ⊥AB，垂足为Q，
则，
∴，
菱形的面积．

【点拨】本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，菱形面积的求法等知识，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键.