专题26.13 “设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题26.13 “设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题26.13 “设参求值”解决反比例函数问题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则的面积为（    ）

A．1.5 B．2 C．3 D．4
2．图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图象上，，，则正方形ADEF的边长为（    ）

A．1 B．2 C． D．3
3．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y轴，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．
下面三个结论，
①存在无数个点P使；
②存在无数个点P使；
③存在无数个点P使．
所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E，连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG，则△BDF的面积为（    ）

A． B． C．2 D．3
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图像经过点，则和的面积之差为（    ）

A． B． C． D．
7．如图是反比例函数y1＝和y2＝在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△PAB的面积为（　　）

A．3 B．6 C．8.25 D．16.5
8．如图，在平面直角坐标系中，已知▱ABCD的边AD平行于x轴，A（﹣，2），B（，1），若在第一象限内，反比例函数y＝的图象恰好经过C、D两点，则k的值为（   ）

A．5 B．10 C．6 D．8
9．如图△OAB，△BCD的顶点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，D在x轴正半轴上，AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，若S1+S2＝4，则k的值为（　　）

A．3 B． C． D．2
10．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段，与双曲线交于点N，点M在线段上，连接，若四边形是菱形，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题
11．如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 _____．

12．如图，直线轴于点P，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，
（1）若B为AP中点，则K1，K2满足关系__________；
（2）若ΔOAB的面积为4，则K1，K2满足关系_____________．

13．如图，点A、B为反比例函数图象上第一象限内两点，过点B作轴于点D，连接，交于点E，连接，当点E为中点时，则的面积为_______．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为______．

15．如图，矩形OABC的面积为4，反比例函数的图象与矩形的两边AB、BC分别交于点E、F，则四边形OAEF的面积最大值为_________．

16．如图，A、B是函数y＝图象上两点，P为一动点．作PB∥y轴．PA∥x轴，下列说法中：①；②；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若，则．正确的序号是___．

17．如图，等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB＝AC，且B（1，0），C（0，2），反比例函数经过A，则k=___．

18．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．

19．图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值____________．

20．如图，点M是线段AB的中点，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，若的面积为4，则________．


三、解答题
21．如图，等腰的锐角顶点，的坐标分别为，，直角顶点在反比例函数的图象上．
(1) 求的值；
(2) 求的面积．






22．如图，经过点作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点M，且△AOM的面积为3
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 设点B的坐标为，其中，若以AB为一边的正方形有一个顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．







23．如图，菱形的边长为5，轴，垂足为点E，点A在第二象限，点B在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数的图像上，连接，点．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点D的横坐标为1，反比例函数的图像上是否存在一点P，使得的面积是菱形面积的，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．






24．如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点D为反比例函数图像第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．







参考答案
1．A
【分析】先设出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点D，A的坐标，利用三角形面积公式，即可得．
【详解】设点B的坐标（a，），
∵D是OB的中点，
∴D
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为： ，
又∵点A在反比例函数y=，
∴点A的纵坐标
∴AD=，
∴的面积为
故答案为：A
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数图象上点的坐标特征解答．
2．B
【分析】先确定B点坐标（1，6），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝6，则反比例函数解析式为y，设AD＝t，则OD＝1+t，所以E点坐标为（1+t，t），再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得（1+t）•t＝6，利用因式分解法可求出t的值．
【详解】解：∵OA＝1，OC＝6，
∴B点坐标为（1，6），
∴k＝1×6＝6，
∴反比例函数解析式为y，
设AD＝t，则OD＝1+t，
∴E点坐标为（1+t，t），
∴（1+t）•t＝6，
整理为t2+t﹣6＝0，
解得t1＝﹣3（舍去），t2＝2，
∴正方形ADEF的边长为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了解一元二次方程．
3．D
【分析】设，，则，利用反比例函数k的几何意义得到，，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算和得到m与n的关系可对③进行判断．
【详解】解：如图，设，，则，

∴，，
∴，
∴①正确；
∵，，
∴，
∴②正确；
∵，，
∴当，即，
∴m=2n( (舍去)或m=−n，
此时P点为无数个，
∴③正确．
故正确的有①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
4．D
【分析】由，即可求解．
【详解】解：设点B(x,y)，则xy=8，
∵M为OB的中点，
∴点M(x,y)，
∴k===2，
连接OD，如图所示

∵BA⊥y轴，
∴BAOF，
∴=×8-×2=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据题意，可以设出点和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决．
【详解】解：设点A的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
菱形的面积为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】设和的直角边长分别为、，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数的几何意义以及点的坐标即可得出结论．
【详解】解：设和的直角边长分别为、，
则点的坐标为．
点在反比例函数的第一象限图象上，
．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
7．A
【分析】设点A的坐标为，则点B的坐标表示为，再以AB为底边列出三角形面积计算式，可以消去未知数，即可求解．
【详解】设点A的坐标为，
∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，
∴点B的纵坐标也为，代入y2中，
所以点B的坐标为，
∴在△PAB中，底边AB长为：，高为，
∴△PAB的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是懂得合理设未知数，利用条件列出计算式再消去未知数．
8．C
【分析】设，根据题意可以分别用含的式子表示点和点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程即可得到答案．
【详解】解：设，根据平行四边形的性质可知，，
又的边平行于轴，，，，，
，，，，
又反比例函数的图象恰好经过、两点，
，
解得：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，合理设未知数并根据图象上点的坐标特征建立方程是解决反比例函数问题常用的方法．
9．B
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，求出，，利用S1+S2＝4，即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

∵AO＝AB，CB＝CD，BD＝2OB，
∴OM＝BM，BN＝DN，
设OM＝a，AM＝b，则点A（a，b），点C（4a，CN），
∵点A、C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴ab＝4a•CN＝k，即，
∴，，
∵S1+S2＝4，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查根据图形面积求反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数比例系数k的几何意义及应用，求出，．
10．B
【分析】设点M的坐标为（m，-m+5），由MB2=m2+（-m+5-5）2=52，求出点M的坐标，进而求解．
【详解】解：对于y=-x+5，令x=0，则y=5，故点B的坐标为（0，5），
由题意得：MN=5，
∵四边形MNB'B是菱形，则MB=MN=5，
设点M（m，-m+5），
则MB2=m2+（-m+5-5）2=52，
解得m=±3（舍去-3），
故点M的坐标为（3，1），
则点N（8，1），
将点N的坐标代入反比例函数表达式得：k=8×1=8，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点和菱形的性质，平移的性质，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
11．﹣6
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k的值．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），
由图可知点A在第二象限，
∴a＜0，，
∴k＜0，
∵△AOB的面积是3，
∴，
解得k＝-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是找出k与三角形面积的关系．
12．         
【分析】（1）设OP = a(a> 0)，则P(a，0)所以得到A(a，)，B(a，) ，有AP=，BP= ，若B为AP中点，根据AP=2BP得 ，即可求解；
(2)根据ΔOAB的面积为4，所以得到AB=AP-BP= ，利用三角形的面积公式得到 整理后即可求解．
【详解】（1）设OP = a(a> 0)，则P(a，0)，
∵直线l⊥x轴于点P，
∴A、B的横坐标为a，
∵反比例函数（）及（）的图象分别交于A、B两点；
A在B的上方；
所以A(a，)，B(a，) ，
所以AP=，BP= ，
若B为AP中点，
所以AP=2BP，
得 ，
所以，
故答案为：；
(2)若ΔOAB的面积为4，
∵A在B的上方，
所以AB=AP-BP= ，
，
，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，三角形面积公式的应用，熟悉掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
13．
【分析】先设点B的坐标，得到点E的横坐标，然后由点E是OA的中点得到点A的坐标，进而得到点E的坐标，再得到BE的长，最后得到△ABE的面积．
【详解】解：设点B的坐标为（x，），则BD=，
∵BD⊥x轴，
∴点E的横坐标为x，
∵点E是OA的中点，
∴点A的横坐标为2x，
∴点A的坐标为（2x，），
∴点E的坐标为（x，），
∴ED=，
∴BE=BD-ED=-=，
∴S△ABE=BE•(xA−xB)＝••(2x−x)= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点B、A的坐标，从而得到线段BE的长．
14．
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积=BC×（yA-yB）=8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数经过A、B两点，
∴xB=，xA=，即A（，4），B（，2），
∴，
∴，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA-yB）=8，
即，
整理得，
解得，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
15．##2.25
【分析】设B（a，b），则ab=4，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得E点，F点的坐标，进而可得关于BE，BF长度的代数式，根据三角形的面积公式，以及反比例函数系数k的几何意义，得到关于四边形OAEF的面积的代数式，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：设B（a，b），则ab=4，E（，b），F（a，），
则四边形OAEF的面积为：，
，
，
故当k=1时，四边形OAEF的面积最大，最大面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，以及反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
16．②③##③②
【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出矩形OMPN的面积为4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴与不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∵BP∥y轴，
∴B（m， ），A(，n)
∴AP=|-m|
∴S△AOP=·|-m|n= |12-mn |
同理：S△BOP=·|-n|m= |12-mn |
∴S△AOP＝S△BOP；
故②正确；
如图1，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴=OB·PE，=OA·PF
∵，
∴OB·PE= OA·PF
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交轴于M，
∵AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=上，
∴，
∵，
∴，
∴S矩形OMPN=4，
∴mn=4，
∴m=
∴，
∴故④不正确；
故答案为②③．


【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
17．####2.25
【分析】过点A作轴于点，过点作于点，易证，设，根据全等三角形的性质即可求出点坐标，进一步求即可．
【详解】解：过点A作轴于点，过点作于点，如图所示：
则有，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，，
，，
，
解得，
，，
，，
将点坐标代入反比例函数解析式，可得，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的综合，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
18．##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，

∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
19．7
【分析】过点作轴垂线交轴于点，连接，设，根据解出的值，再将点坐标代入，即可求出的值．
【详解】：过点作轴垂线交轴于点，连接，如图所示

∵，
∴点纵坐标为3，
设，则，
∵
∴，解得：
∴
将代入，解得：
故答案为：7．
【点睛】本题考查了求反比例函数系数的值、反比例函数图象上点坐标的特征，正确作出辅助线，设点坐标是解答本题的关键．
20．-2
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积，再根据S△AOB＝S梯形BCDA−S△BOC−S△AOD，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，
∴S△AOD＝，S△BOC＝ ，
∵BC⊥x轴，MO⊥x轴，AD⊥x轴，
∴BC∥MO∥AD，
∵点M是线段AB的中点，
∴CO＝OD，
设点A坐标为（a，），则B（−a，），
∴S△AOB=S梯形BCDA−S△BOC−S△AOD

解得：，
∵函数经过第二象限，
∴
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积是解决问题的关键．
21．(1)9
(2)5

【分析】（1）过点 C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为E，D，易证 ， 可得四边形OECD是正方形，则OD=OE，设，则，可解得x的值，进而得到点C的坐标；
（2）由勾股定理可得AC，BC的长度，根据等腰直角三角形面积的求法可得答案．
【详解】（1）如图，过点 C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为E，D，
可得∠DCE=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DCA+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，

∴（AAS），
∴，
设
由，可得，
∴.
解得
∴点的坐标为
∴
（2）由点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（3，3），
可知AE=1，CE=3，在Rt△ACE中，由勾股定理可得，
由三角形ABC是等腰直角三角形可得，的面积为
【点睛】本题考查反比例函数的几何问题，正确作出辅助线，根据图形的性质，数形结合，是解题的关键．
22．(1)
(2)3或7

【分析】（1）根据点A（1，0）、△AOM的面积为3，可求出点M的坐标，即可求解．
（2）分当AB≠AM时，当AB＝AM时，进行分类讨论即可．
（1）
解：∵点A（1，0），AM⊥x轴，
∴设点M的坐标为（1，m），
∵△AOM的面积为3，
∴，，
∴将M（1，6）代入，得k＝6，
则反比例函数的表达式为．
（2）
解：如图，满足条件的正方形有两种情形．

①当AB≠AM时，正方形的边长为t－1，
则点（t，t－1）在的图象上，
∴t（t－1）＝6，解得：t＝3或t＝－2（舍去）；
②当AB＝AM时，正方形的边长为6，
∴t＝1＋6＝7；
综上所述：满足条件时，t的值为3或7．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．解题的关键在于结合图形找点的坐标．
23．(1)
(2)存在，点P的坐标为

【分析】(1)先确定点C的坐标，再根据反比例函数的性质求解析式即可．
(2)根据解析式确定点D的坐标，计算出菱形的面积，设点P的坐标为(m，)，三角形的高为，再根据三角形的面积计算即可．
(1)
∵ 菱形的边长为5，轴，
∴AD∥BC∥x轴，BC=5，
∵ 点，
∴点C的坐标，
∴，
解得，

∴反比例函数的解析式为．
(2)
过点D作DM⊥x轴，垂足为M，交BC于点N，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点G，
∵点D的横坐标为1，反比例函数的解析式为，
∴，
∴DN==3，

∵的面积是菱形面积的，
∴，
设点P的坐标为(m，)，
则三角形的高为，
∴，
解得m=，
∴=，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，坐标的特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)

【分析】（1）根据待定系数法确定一次函数关系式，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用待定系数法确定反比例函数关系式即可得到结论；
（2）设点C的坐标为，由于轴，得到点D的坐标，表示出，根据二次函数性质即可得出的面积的最大值．
（1）
解：把点代入，得，
∴一次函数的解析式为，
把点B（1，m）代人，得，
∴点B的坐标为（1，8），
把点B（1，8）代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）
解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
，
∴当时，，
答：的最大值为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键．