8.10圆锥曲线中最值、范围模型（精讲）

这是一份8.10圆锥曲线中最值、范围模型（精讲），文件包含810圆锥曲线中最值范围模型精讲解析版docx、810圆锥曲线中最值范围模型精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

【知识必备】
1．圆锥曲线中范围问题求解的基本思路
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
【题型精讲】
【题型一 斜率型最值、范围问题】
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝eq \f(\r(2),4)，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆,过点作椭圆的两条切线,且两切线垂直.
(1)求；
(2)已知点,若存在过点的直线与椭圆交于,且以为直径的圆过点（不与重合）,求直线斜率的取值范围.
【题型二 距离型最值、范围问题】
例2 （2022·青岛高三模拟）已知椭圆C：的离心率为,,分别为椭圆C的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且,求的最大值．
【跟踪精练】
1.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，且椭圆C过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．
【题型三 面积型最值、范围问题】
例3 （2022·全国高三专题练习）已知椭圆四个顶点的四边形为菱形,它的边长为,面积为,过椭圆左焦点与椭圆C相交于M,N两点（M,N两点不在x轴上）,直线l的方程为：,过点M作垂直于直线l交于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点,求面积的最大值．
【题型精练】
1.（2022·山西太原五中高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m>0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤k≤2))的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围．
【题型四 数量积型最值、范围问题】
例4 （2022·湖北模拟）已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点,直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
【题型精练】
1. （2022·德阳三模）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq \f(3,4)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(OQ,\s\up7(→))＋eq \(MP,\s\up7(→))·eq \(MQ,\s\up7(→))的取值范围．
【题型五 参数型最值、范围问题】
例5 （2022·湖北模拟）已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

【题型精练】
1. （2022·德阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PR,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．
【题型六 坐标型最值、范围问题】
例6 （2022·湖北模拟）如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1．
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围．
【题型精练】
1. （2022·德阳三模）已知曲线上一动点到两定点,的距离之和为,过点的直线与曲线相交于点,．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：,求点的轨迹方程；
(3)求的取值范围．