专题10 期末复习（三）一元一次方程 课堂学案及配套作业（解析版 ）

这是一份专题10 期末复习（三）一元一次方程 课堂学案及配套作业（解析版 ），共19页。试卷主要包含了一元一次方程的定义，等式的性质，已知一元一次方程的解去求参数，解一元一次方程，错解、同解方程，一元一次方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。
专题10 期末复习（三）一元一次方程 （解析版）
第一部分 教学案
知识点一 一元一次方程的定义
1．（2020秋•公安县期中）关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（　　）
A．b≠﹣3 B．b＝﹣3 C．b＝﹣2 D．b为任意数
思路引领：根据一元一次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程）解决此题．
解：由a﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝a﹣2．
∵关于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，
∴3+b≠0．
∴b≠﹣3．
故选：A．
总结升华：本题主要考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
2．（2022春•射洪市期中）已知（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．0
思路引领：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
解：∵（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，
∴m−2≠0|m|−1=1，
解得m＝﹣2．
故选：A．
总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
3．（2022春•射洪市期中）下列方程中，一元一次方程共有（　　）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1=1x；④3x−14+15=0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：根据一元一次方程的定义得出即可．
解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定义，不合题意；
③3x+1=1x，是分式方程，不合题意；
④3x−14+15=0，是一元一次方程，符合题意；
⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意；
⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
知识点二 等式的性质
4．（2021秋•天山区校级期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（　　）
A．若m+3＝n﹣3，则m＝n B．若xa=ya，则x＝y
C．若a2x＝a2y，则x＝y D．若−32k=8，则k＝﹣12
思路引领：直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
解：A、若m+3＝n﹣3，则m，n不一定相等，错误，不合题意；
B、若xa=ya，则x＝y，正确，符合题意；
C、若a2x＝a2y（a≠0），则x＝y，错误，不合题意；
D、若−32k=8，则k=−163，故此选项错误，不合题意．
故选：B．
总结升华：此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
5．（2022春•新野县期中）下列变形中：
①由方程x−125=2去分母，得x﹣12＝10；
②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；
③由方程2−x−56=x+32两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；
④由方程29x=92两边同除以29，得x＝1；
其中错误变形的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
思路引领：根据等式的性质，逐项判断即可．
解：①由方程x−125=2去分母，得x﹣12＝10，不符合题意；
②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝8，符合题意；
③由方程2−x−56=x+32两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，符合题意；
④由方程29x=92两边同除以29，得x=814；
其中错误变形的有3个：②、③、④．
故选：D．
总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握等式的性质．
6．（2021秋•海门市期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）
A．若 x＝y，则 x+5＝y+5 B．若 a＝b，则 ac＝bc
C．若 x＝y，则xa=ya D．若ac=bc（c≠0），则 a＝b
思路引领：根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，此选项正确；
B、若a＝b，则 ac＝bc，此选项正确；
C、若x＝y，当a≠0时xa=ya，此选项错误；
D、若ac=bc（c≠0），则 a＝b，此选项正确；
故选：C．
总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），等式仍成立．
7．（2022春•龙胜县期中）已知方程5y+x＝2，用含y的代数式表示x的形式为 　 　．
思路引领：将y看作已知数，求出x即可．
解：5y+x＝2，
解得x＝2﹣5y．
故答案为：x＝2﹣5y．
总结升华：此题考查了解一元二次方程，解题的关键是将y看作已知数，求出x．
知识点三 已知一元一次方程的解去求参数
8．（2021秋•玉州区期末）若x＝﹣1是关于x的方程2（x﹣a）+a＝0的解，则﹣2a+1的值为 　 　．
思路引领：把x＝﹣1代入方程即可得到一个关于a的式子，然后利用得到的式子把所求的式子表示出来，即可求解．
解：把x＝﹣1代入方程，得：2（﹣1﹣a）+a＝0，
即a＝﹣2，
则原式＝﹣2×（﹣2）+1＝4+1＝5．
故答案是：5．
总结升华：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
9．（2017春•龙海市期中）若方程2x﹣m＝1和方程3x＝2（x﹣2）的解相同，则m的值为　 　．
思路引领：根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
解：由3x＝2（x﹣2）解得x＝﹣4，
将x＝﹣4代入2x﹣m＝1，得
﹣8﹣m＝1，
解得m＝﹣9，
故答案为：﹣9．
总结升华：本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
10．（2022春•上海期中）如果关于x的方程（m2﹣1）x＝1无实数解，那么m满足的条件是 　 　．
思路引领：令未知数的系数为0，即可得出结论．
解：当m2﹣1＝0时，方程无实数解，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
总结升华：本题主要考查了一元一次方程的解，正确找出方程无实数解的式子是解题的关键．
知识点四 解一元一次方程
11．（2021秋•临泽县校级月考）解方程
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17；
（2）15x−12（3﹣2x）＝1
（3）4−x2−2x+13=1．
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17，
移项合并得：2x＝18，
解得：x＝9；
（2）去分母得：2x﹣15+10x＝10，
移项合并得：12x＝25，
解得：x=2512；
（3）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6，
移项合并得：﹣7x＝﹣4，
解得：x=47．
总结升华：此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
12．（2020秋•罗湖区校级期末）解方程：
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17
（2）4−x2−2x+13=1．
思路引领：根据一元一次方程的解法即可求出答案．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17
移项合并得：2x＝18
解得：x＝9
（2）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6
移项合并得：7x＝4
解得：x=47
总结升华：本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
知识点五 错解、同解方程
13．（2022春•长泰县期中）在数学课上，冰冰在解方程2x−15+1=x+a2时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝﹣6，试求a的值，并解出原方程正确的解．
思路引领：先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝﹣6代入上式，解得a＝1．
原方程可化为：2x−15+1=x+12，
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x+1），
去括号，得4x﹣2+10＝5x+5，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣3，
系数化为1，得x＝3，
故a＝1，x＝3．
总结升华：此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
14．（2021秋•伊通县期末）已知关于x的方程m+x3=4的解是关于x的方程x−m3−2x−44=x6−1的解的2倍，求m的值．
思路引领：分别解方程m+x3=4和方程x−m3−2x−44=x6−1，得到两个含有m的解，根据“关于x的方程m+x3=4的解是关于x的方程x−m3−2x−44=x6−1的解的2倍”，列出关于m的一元一次方程，解之即可．
解：解方程m+x3=4得：
x＝12﹣3m，
解方程x−m3−2x−44=x6−1得：
x＝6﹣m，
根据题意得：
2（6﹣m）＝12﹣3m，
解得：m＝0．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程是解题的关键．
15．（2021秋•开福区校级期中）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程；
（1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值；
（2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；
（3）若关于x的两个方程5x+343（m+1）＝mn与2x﹣mn=−193（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值．
思路引领：（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m，n的方程，然后解答．
解：（1）解方程2x＝4得：x＝2，
把x＝2代入mx＝m+1得：2m＝m+1，
解得：m＝1；

（2）解方程2x＝a+1得：x=a+12，
解方程3x﹣a＝﹣2得：x=a−23，
∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，
∴a+12=a−23，
解得：a＝﹣7；
（3）解方程5x+343（m+1）＝mn得：x=3mn−34m−3415，
解方程2x﹣mn=−193（m+1）得：x=3mn−19m−196，
∵关于x的两个方程5x+343（m+1）＝mn与2x﹣mn=−193（m+1）是同解方程，
∴3mn−34m−3415=3mn−19m−196，
∴mn﹣3m﹣3＝0，
mn＝3（m+1），
∵m，n是正整数，
∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．
总结升华：本题考查了同解方程，正确理解同解方程的定义是解题的关键．
知识点六 一元一次方程的实际应用
16．（2020秋•雨花区期末）绿叶水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：

甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）绿叶水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）绿叶水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
思路引领：（1）设水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝795，
解得：x＝40，
∴2x+15＝95（千克）．
答：绿叶水果店第一次购进甲种苹果95千克，乙种苹果40千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
依题意，得：（10﹣5）×95+（15×y10−8）×40×3＝595，
解得：y＝6．
答：第二次乙种苹果按原价打6折销售．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．甲乙两地相距240千米，从甲站开出一列慢车，速度为每小时80千米，从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米．
（1）若两车同时开出，背向而行，经过多长时间两车相距540千米．
（2）若两车背向而行，甲车开出1小时后，乙车开出，乙车开出多长时间两车相距540千米．
（3）若两车同时开出，同向而行（快车在后），经过多长时间快车可追上慢车．
（4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长时间两车相距300千米．
思路引领：（1）设若两车同时开出，背向而行，经过x小时两车相距540千米，由于是背向行驶，所以依甲的路程+乙的路程＝540﹣240为等量关系列出方程求出x的值；
（2）设若两车背向而行，甲车开出1小时后，乙车开出，乙车开出x小时两车相距540千米．由于是背向行驶，所以依甲的路程+乙的路程＝540﹣240为等量关系列出方程求出x的值；
（3）设两车同时开出，同向而行（快车在后），经过x小时快车可追上慢车，相遇时快车比慢车多行240千米，依相遇时乙的路程﹣甲的路程＝240为等量关系列出方程求解；
（4）若两车同时开出，同向而行（慢车在后），经过多长x小时两车相距300千米，依据乙所走的路程﹣甲所走的路程＝300﹣240为等量关系，列出方程求解即可．
解：（1）设经过x小时两车相距540千米，
由题意得：80x+120x＝540﹣240，
解得：x=32．
答：经过32小时两车相距540千米；
（2）设乙车开出x小时两车相距540千米．
80（x+1）+120x＝540﹣240，
解得：x=1110．
答：乙车开出1110小时两车相距540千米；
（3）设经过x小时快车可追上慢车：
由题意得：120x﹣80x＝240，
解得：x＝6．
答：经过6小时快车可追上慢车；
（4）设经过x小时，两车相距300千米．
由题意得；120x﹣80x＝300﹣240．
解得：x=32．
答：经过32小时两车相距300千米．
总结升华：本题主要考查的是一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．注意区分“背向”和“同向”的区别．
第二部分 配套作业
1．（2022春•方城县期中）下列变形正确的是（　　）
A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由7x＝﹣4，得x=−74
C．由3＝x﹣2，得x＝3+2 D．由12y=0，得y＝2
思路引领：根据等式的性质即可求解．
解：A根据等式的性质1可知，由3+x＝5，两边同时减3，得x＝5﹣3，则A选项不符合题意；
B根据等式的性质2可知，由7x＝﹣4两边同时除以7，得x=−47，则B选项不符合题意；
C根据等式的性质1可知，由3＝x﹣2两边同时加2，得x＝3+2，则C选项符合题意；
D根据等式的性质2可知，由12y=0两边同时乘2，得y＝0，则D选项不符合题意；
故选：C．
总结升华：本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2021秋•西工区校级月考）如果有理数m，n满足|m|﹣n＝0，那么m，n的关系是（　　）
A．互为相反数 B．m＝±n且n≥0
C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值
思路引领：已知等式变形得到|m|＝n，利用绝对值的代数意义化简即可得到m与n的关系．
解：根据题意得：|m|＝n，
则m＝±n且n≥0．
故选：B．
总结升华：此题考查了有理数的减法，以及绝对值的代数意义，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
3．（2021秋•龙口市期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax+3＝b的解，则6a﹣3b+2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣7 C．7 D．11
思路引领：把x＝2代入方程ax+3＝b得出2a+3＝b，求出2a﹣b＝﹣3，变形后代入，即可求出答案．
解：把x＝2代入方程ax+3＝b得：2a+3＝b，
即2a﹣b＝﹣3，
所以6a﹣3b+2
＝3（2a﹣b）+2
＝3×（﹣3）+2
＝﹣9+2
＝﹣7，
故选：B．
总结升华：本题考查了一元一次方程的解和求代数式的值，能求出2a﹣b＝﹣3是解此题的关键．
4．（2022秋•丰台区校级期中）若x3﹣2a+2a＝4是关于x的一元一次方程，则a＝　 　．
思路引领：把只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程称为一元一次方程，根据一元一次方程的概念即可完成解答．
解：由题意得：3﹣2a＝1，
解得a＝1，
故答案为：1．
总结升华：本题考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三点：①只含一个未知数，即一元；②未知数的次数是1，即一次；③方程两边都是整式．
5．（2022春•原阳县月考）已知（k﹣3）x|k﹣2|﹣2021＝2022是关于x的一元一次方程，则k＝　 　．
思路引领：根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
解：∵（k﹣3）x|k﹣2|﹣2021＝2022是关于x的一元一次方程，
∴k−3≠0|k−2|=1，
解得k＝1．
故答案为：1．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．
6．（2021秋•蓬江区校级期中）已知关于x的方程（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一次方程，则k的值为 　 　．
思路引领：根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0且k﹣2≠0，然后求解即可得出答案．
解：∵关于x的方程（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x＝k+6是一元一次方程，
∴|k|−2=0k−2≠0
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0且k﹣2≠0是解此题的关键．
7．（2021春•南安市期中）方程|x﹣k|＝1的一个解是x＝2，那么k＝　 　．
思路引领：根据一元一次方程的解的定义，得到方程|2﹣k|＝1，根据绝对值的性质求出k的值即可．
解：由题意得，|2﹣k|＝1，
则2﹣k＝1或2﹣k＝﹣1，
解得，k＝1或k＝3．
故答案为：1或3．
总结升华：本题考查的是一元一次方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
8．（2021秋•灵武市期末）解方程：
（1）4x﹣2（x+0.5）＝17；
（2）4−x2−2x+13=1．
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）去括号得：4x﹣2x﹣1＝17，
移项合并得：2x＝18，
解得：x＝9；
（2）去分母得：12﹣3x﹣4x﹣2＝6，
移项合并得：7x＝4，
解得：47．
总结升华：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
9．（2020秋•罗湖区校级期末）解方程：
（1）3﹣（5﹣2x）＝x+2．
（2）4−x2−2x+13=1
思路引领：（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）3﹣5+2x＝x+2
2x﹣x＝2﹣3+5
x＝4；
（2）3（4﹣x）﹣2（2x+1）＝6
12﹣3x﹣4x﹣2＝6
﹣3x﹣4x＝6+2﹣12
﹣7x＝﹣4
x=47．
总结升华：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．
10．（2012秋•绵阳校级期中）已知|5﹣2x|+（5﹣y）2＝0，x，y分别是方程ax﹣1＝0和2y﹣b+1＝0的解，求代数式（5a﹣4）2011（b﹣1012）2012的值．
思路引领：先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入方程ax﹣1＝0和2y﹣b+1＝0求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
解：∵|5﹣2x|+（5﹣y）2＝0，
∴5﹣2x＝0，5﹣y＝0，解得x=52，y＝5．
∵x，y分别是方程ax﹣1＝0和2y﹣b+1＝0的解，
∴52a﹣1＝0，10﹣b+1＝0，解得a=25，b＝11，
∴原式＝（2﹣4）2011（11﹣1012）2012＝（﹣2）2011•（12）2012＝（﹣2×12）2011×12=−12．
总结升华：本题考查的是二元一次方程的解，熟知非负数的性质及有理数乘方的法则是解答此题的关键．
11．（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
思路引领：（1）首先去括号，移项、合并同类项可得x的值；
（2）根据（1）中x的值可得方程2（x+1）﹣m=−m−22的解为x＝3+2＝5，然后把x的值代入可得关于m的方程，再解即可．
解：（1）5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=−m−22的解为x＝3+2＝5，
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m=−m−22得：
2（5+1）﹣m=−m−22，
12﹣m=−m−22，
m＝22．
总结升华：此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
12．（2021秋•开福区校级期中）（1）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做多少天完成？
（2）甲一天能加工A种零件50个或加工B种零件20个，1个A种零件与2个B种零件配成一套，那么甲30天时间安排多少天做A种零件，多少天做B种零件，才能使得所有零件都刚好配套？
思路引领：（1）根据完成的工作量为1列出方程解答即可．
（2）设x天制作A种零件，根据等量关系列出方程解答即可．
解：（1）设余下的工作再由甲独做x天完成，根据题意可得：118x+818+824=1，
解得：x＝4，
答：余下的工作再由甲独做4天完成；
（2）设x天制作A种零件，可得方程：2×50x＝20（30﹣x），
解得：x＝5，
30﹣5＝25，
答：甲30天时间安排5天做A种零件，25天做B种零件，才能使得所有零件都刚好配套．
总结升华：此题考查了一元一次方程的应用，把工作总量看作“1”，利用工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系解决问题．
13．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上三点A，B，C表示的数分别为﹣12，﹣5，5，P，Q两点分别从A，C两点同时出发，相向而行，点P的速度为4个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒．
（1）点A与点C之间的距离为 　 　；
（2）P，Q在数轴上的相遇位置对应的数是 　 　；
（3）设点P运动时间为t（s），当点B到点Q的距离是点B到点P距离的2倍时，求t的值；
（4）当点P到A、B、C三点的距离之和为20个单位长度时，点P立即调头返回．速度不变．当P，Q两点在数轴上相遇时，相遇位置对应的数是 　 　．
思路引领：（1）根据两点间的距离公式解答；
（2）根据路程和等于相距路程列出方程可得方程，解方程可得答案；
（3）分别用含t的代数式表示出QB和PB，再列方程解答即可；
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，根据题意分情况解答即可．
解：（1）A，B两点之间的距离为：5﹣（﹣12）＝17．
故答案是：17；
（2）设运动时间为x秒，
由题意得，4x+6x＝5﹣（﹣12），
解得x＝1.7，
﹣12+4×1.7＝﹣5.2，
答：P，Q在数轴上表示﹣5.2的点处相遇；
故答案为：﹣5.2；
（3）由题意得，t秒时，点P表示的数是﹣12+4t，点Q表示的数是5﹣6t，
∴QB＝|（5﹣6t）﹣（﹣5）|＝|10﹣6t|，BP＝|（﹣12+4t）﹣（﹣5）|＝|4t﹣7|，
解得127或t＝2．
答：当QB＝2BP时，t的值是127或2；
（4）设P运动m秒到A，B，C距离和为20，继续运动n秒后P，Q相遇，
当P在AB之间时，
由题意得7+17﹣4m＝20，
解得m＝1，
由5﹣6（n+1）＝﹣8﹣4n，可得n＝3.5，
∴﹣8﹣4×3.5＝﹣22，
当P在BC之间时，
由题意得17+4m﹣7＝20，
解得m＝2.5，
由5﹣6（n+2.5）＝﹣2﹣4n可得n＝﹣4，
此时P，Q不能相遇．
综上，点P，Q能在数轴上相遇，相遇点是﹣22．
总结升华：本题考查一元一次方程是实际应用，熟练掌握行程问题中的等量关系并列出方程是解题关键．
14．（2022秋•邓州市期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价50元．厂方在国庆节期间开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
国庆特惠
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的九折付款．
（1）某客户要到该服装厂购买西装20套，领带30条．通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
（2）若客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
①若该客户按方案一购买需付款 　 　元（用含x的代数式表示）；
②若该客户按方案二购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）；
③当x＝　 时，两种优惠方案所付的钱数相同．（直接填空，不说明理由）
思路引领：（1）利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可分别求出选项两种优惠方案所需费用，比较后即可得出结论；
（2）①利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择方案一所需费用；
②利用总价＝单价×数量，结合服装厂给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出选择方案二所需费用；
③根据两种优惠方案所付的钱数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）选择方案一所需费用为300×20+50×（30﹣20）＝6500（元），
选择方案二所需费用为300×0.9×20+50×0.9×30＝6750（元）．
∵6500＜6750，
∴选择方案一购买较为合算；
（2）①若该客户按方案一购买，需付款300×20+50（x﹣20）＝（5000+50x）（元），
故答案为：（5000+50x）；
②若该客户按方案二购买，需付款300×0.9×20+50×0.9x＝（5400+45x）（元），
故答案为：（5400+45x）；
③依题意得：5000+50x＝5400+45x，
解得：x＝80，
∴当x＝80时，两种优惠方案所付的钱数相同．
故答案为：80．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出选项两种优惠方案所需费用；（2）①②根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出需付款金额；③找准等量关系，正确列出一元一次方程．
15．（2022秋•思明区校级期中）如图1是2022年1月的月历．
（1）带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？如果可以，请写出这三个数．
（2）如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为t，则：
①t能否等于92，请通过列式计算说明理由．
②t是否存在最大值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）同一列的三个数，相邻的数相差7，可设中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7，x+7，列出方程求解即可；
（2）①根据“7”字型框中的数的规律，可设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，列出方程求出m的值是否存在即可；
②设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，则t＝4m+24，要保证m的存在，则当m＝15时，t出现最大值．
解：（1）可以，
设中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7，x+7，根据题意有，
x﹣7+x+x+7＝36，解得：x＝12，
∴x﹣7＝12﹣7＝5，x+7＝12+7＝19，
∴这三个数为：5，12，19；
（2）①t不能等于92，
根据“7”字型框中的数的规律，可设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，根据题意有，
m+（m+1）+（m+1+7）+（m+1+7+7）＝92，解得：m＝17，
∴m+1+7+7＝17+1+7+7＝32，
∵日历里面不存在32这个数，
∴t不能等于92；
②设这四个为分别为m，m+1，m+1+7，m+1+7+7，
∴t＝m+（m+1）+（m+1+7）+（m+1+7+7）＝4m+24，
根据日历，m能取得最大值为m＝15，
当m＝15时，t＝4m+24＝15×4+24＝84，
∴t是存在最大值，最大值为84．
总结升华：本题考查了一元一次方程的应用，根据日历中数的规律列出合适的方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．