2023广东省四校高三上学期第一次联考数学试题含答案

2023 届广东省四校高三第一次联考

数学试题参考答案

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

9. BC       10. BC       11. AC          12. BD

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13.   1     14.      15.      16.

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分

17.(10分）

（1）当时，即     ---------------------------------------1分

当，   ------------------------------3分

显然不符合上式，所以数列的通项公式为   ---------------------5分

（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为

当时，，当时，

所以，且，  --------------------------------------- 8分

                         ---------------------------------------10分

18.（12分）

解：（1）在三角形中，由正弦定理得，

在三角形中，由正弦定理得，    ---------------------------------------2分

因为与互补，所以，

由题意得，所以，即，

所以平分.   得证；                             ---------------------------------5分

（2）中，由余弦定理 得：

解得或                                ---------------------------------------7分

若,则有：,则B为钝角，不合题意，舍去；  ----------------------------------8分

若 ,则有：,则B为锐角，合题意，所以

由（1）知： ,所以     ---------------------------------------10分

在中，由余弦定理得：

    解得：            

所以                            ---------------------------------------12分

19.（12分）

解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，

则“睡眠不足”的人数为25；

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,

则“睡眠不足”的人数为45；

列联表如下：

  -----------------------------------------------------------------------------2分

零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关

因为  ---------------------------------------4分

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.  ---------------------------------------5分

（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-----------------------------------6分

从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.

，，；

所以分布列为

  ---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）

数学期望  --------------------------------------10分

（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为，

 由题意知：             --------------------------------------11分

=        ---------------------------------------12分

20.（12分）

解：（1）取中点，连接，连接.

为等边三角形，，    ----------------------------1分

，
   
又 ，，
又 ，

为等边三角形，

，且

                     ---------------------------------------3分

中

，AE，     

又面，面，且

面，               ---------------------------------------4分
又面，

面面.             ---------------------------------------5分
（2）由（1），以点为坐标原点，建系如图，则，，，，，，

则      --------------------------------------------------6分
假设存在点，使得二面角的大小为，则设

，， --------------------------7分

则，

显然面的一个法向量为，--------------------------------8分

又，，

设面的一个法向量为，则 ，

即

解得 ，--------------------------------------------10分

由题，，

解得 或者（舍）           --------------------------------------------------11分

则 .                           -----------------------------------------------12分

21. (12分）

(1)由已知可得为圆的直径，则

记，则

  ---------------4分

(2) ----------5分

由已知直线存在斜率，记其方程为

代入有

记，则当时有-------------7分

，代入（1）式化简有

当过定点

当时，，过定点，舍去-------------------------11分

综上有，直线过定点-------------------------------------------------------------12分

22. （12分)

解：

(1)当在R上单调递增                --------------------------1分

当时，由，

当 时，，在上单调递减

当 时，，在上单调递增      -----------------------------3分

综上有：当在R上单调递增；

  当时，在上单调递减，在上单调递增.----4分

（2）由已知,

因为对于，

所以

设,则,----------------------7分

,

记,

当在)上单调递增;恒成立.---------9分

当),

在)上单调递减，则与矛盾；---------------11分

综上，当)恒成立，即恒成立.

------------------------------------------12分