安徽省淮北市北山中学2022-2023学年上学期九年级数学第二次月考测试题(含答案)

这是一份安徽省淮北市北山中学2022-2023学年上学期九年级数学第二次月考测试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省淮北市北山中学2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）
一、选择题（本大题共10小题，满分40分）
1．已知x：y＝5：2，则下列各式中不正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（　　）

A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
3．反比例函数y＝图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
4．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x+2）2﹣3
5．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
6．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（　　）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
7．在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（　　）

A． B． C．2 D．
8．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
9．二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中：
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．
正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
10．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）

A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
二、填空题（本大题共4小题，满分20分）
11．如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为　 　m．

12．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD是矩形，则它的面积为 　 　．

13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6、AD＝4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF＝120°，AE＝x、DF＝y，则y关于x的函数关系式为 　 　．

14．某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y＝﹣（x﹣h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 　 　天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共9小题，总计90分）
15．计算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．
16．如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．

17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是　 　．

18．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．

19．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

20．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．

21．如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，折痕为DE，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝　 　；
（2）当＝2时，tanα＝　 　；
（3）当＝3时，tanα＝　 　；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝　 　，并证明你的结论．



23．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，满分40分）
1．解：A、由合比性质，得＝，故A正确；
B、由分比性质，得＝，故B正确；
C、由反比性质，得y：x＝2：5．由合比性质，得＝，再由反比性质，得＝，故C正确；
D、由反比性质，得y：x＝2：5．由分比性质，得＝．再由反比性质，得＝，故D错误；
故选：D．
2．解：延长BD交地面于点E，
由题意得：∠BDC＝90°，
则BD＝＝6（米），
∴tanB＝＝＝1：2.4，
∵∠OEC＝∠BDC＝90°，∠OCE＝∠BCD，
∴∠O＝∠B，
∴斜坡的坡度为1：2.4，
故选：B．

3．解：∵在在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选：C．
4．解：抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是：y＝（x﹣2）2+2﹣5，即y＝（x﹣2）2﹣3；
故选：B．
5．解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为（4，3）
故选：D．
6．解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3．
故选：C．
7．解：如图：

由网格的特征可知，△ABC是直角三角形，
∴AB＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：A．
8．解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当＝，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当＝，即BC2＝CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，
∴a＜0，c＞0；1＝﹣，
则ac＜0；故①错误；
2a﹣b＝0，故②正确；
∵图象与x轴两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵当x＝1时，二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）取到最值，
∴a﹣b+c＞0，故④正确；故选：C．
10．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，满分20分）
11．解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2，FD＝8；
∵∠ECD+∠FCD＝90°，
∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴＝；
即DC2＝ED•FD，
∴代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故答案为：4．

12．解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为2，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为5，
∴矩形ABCD的面积为5﹣2＝3．
故答案为：3．

13．解：∵∠A＝∠D＝120°，
∴∠ABE+∠AEB＝60°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB+∠DEF＝60°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝，
∵AE＝x、DF＝y，AB＝6、AD＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
14．解：（1）∵第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
∴[﹣（18﹣h）2+k]﹣[﹣（19﹣h）2+k]＝5，
∴37﹣2h＝5，解得h＝16，
∴y＝﹣（x﹣16）2+k，
∵﹣1＜0，
∴x＝16即第16天，日销售额最大；
故答案为：16；
（2）∵在当月中旬日销售额达到最大值，
∴9＜h＜21，
又第18天后的日销售额呈下降趋势，
∴h＜，即h＜18.5，
故答案为：9＜h＜18.5．
三、解答题（本大题共9小题，总计90分）
15．解：原式＝﹣×﹣2×+﹣1＝﹣﹣+﹣1＝﹣1．
16．解：∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC．
∵ED∥CA，
∴∠DEA＝∠EAC．
∴∠DAE＝∠DEA．
∴ED＝AD．
∵ED∥CA，
∴△BED∽△BCA．
∴＝，
∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，
∴＝．
∴ED＝．
∴AD＝．
故AD的长为．
17．解：（1）如图：
（2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（a，b），
∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．

18．解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，2），
∴k2＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
∵点B（m，﹣1）在双曲线y＝上，
∴m＝﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝k1x+b，解得，
∴直线的解析式为：y＝x+1．…（2分）
（2）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．
19．解：（1）∵AE∥BD，∠EAD＝69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB＝69°，
∵tan69°＝，
∴BD＝．
∴BD≈≈30（m）；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，CF＝BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC＝30°，
∴∠ACF＝30°．
∵tan30°＝，
∴AF＝CF•tan30°＝30×，
∴CD＝BF＝80﹣10（m）．

20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵∠AEF＝∠CAB，
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD；
（2）解：AF＝2CF，设CF＝x，AF＝2x，
由△AEF∽△ACD得，
，
∴AF×AC＝AE×AD，即2x•3x＝4•（4+5），
解得x＝，
∴AC＝3x＝3．
21．解：（1）把（0，n）代入y＝ax2﹣x+2中得，
n＝2，即A（0，2），
把（0，2）代入y＝x+b中得，
b＝2，
∴y＝x+2，
把B（m，4）代入y＝x+2中得，
+2＝4，
∴m＝6，即B（6，4），
把B（6，4）代入y＝ax2﹣x+2中得，36a﹣10+2＝4，
∴a＝，即y＝x2﹣x+2，
∴直线表达式是y＝x+2，
抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；
（2）解方程x2﹣x+2＝0，得
x1＝2，x2＝3，
∵点C在点D右侧，
∴C（3，0），D（2，0），
过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，

∴F（6，0），
∵A（0，2），B（6，4），C（3，0），D（2，0），
∴AO＝2，DO＝2，CE＝3，BE＝4，OE＝6，
∴S四边形ABCD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BCE
＝（AO+BE）•OE﹣AO•OD﹣BE•CE
＝×（2+4）×6﹣×2×2﹣×3×4
＝18﹣2﹣6
＝10，即四边形ABCD的面积为10；
（3）设P（t，0），A（0，2），B（6，4），
∴PA2＝t2+4，BP2＝（t﹣6）2+16，
AB2＝36+4＝40，
①当∠PAB＝90°时，
∴t2+4+40＝（t﹣6）2+16，
∴t＝，即P（，0）；
②当∠APB＝90°时，
∴t2+4+（t﹣6）2+16+40，
∴x＝2或4，
∴P（2，0）或P（4，0），
综上所述△PAB以AP为直角边时，P（，0）或P（2，0）或P（4，0）．
22．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，
∴∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，
∴∠AB'E+∠DB'C＝135°，
∵∠B'DC+∠DB'C＝135°，
∴∠AB'E＝∠B'DC＝α，
∵＝1，
∴AB＝AC＝2AB'，
设AE＝a，AB'＝n，
∴BE＝2n﹣a，
∴B'E＝2n﹣a，
∵AE2+AB'2＝EB'2，
∴a2+n2＝（2n﹣a）2，
∴n＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝；
故答案为：；
（2）∵＝2，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝2n，
∴BE＝B'E＝3n﹣a，
∴a2+（2n）2＝（3n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：；
（3）∵＝3，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝3n，
∴BE＝B'E＝4n﹣a，
∴a2+（3n）2＝（4n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：．
（4）；
理由如下：
当＝n时，则AB′＝nB′C，
设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，
设AE＝a，则B′E＝BE＝[（n+1）x﹣a]，
∴a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，
∴a＝x，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝．
故答案为：．
23．（1）证明：如图1，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，
∴∠ABG＝∠C；
∵∠AEC＝∠ABC+∠BAG，∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴∠BAG＝∠CEF，
∴△ABG∽△ECF．
（2）证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，
∵∠EBG＝∠ABG，∠ABG＝∠C，
∴∠EBG＝∠C，
∵BE＝CE，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴EG＝EH，∠BGE＝∠CHE，
∵△ABG∽△ECF，
∴∠AGB＝∠EFH，∠AGB+∠BGE＝180°，
∴∠EFH+∠BGE＝180°，
∵∠EHF+∠CHE＝180°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（3）证明：如图3，过点G作GM∥AC交BC于点M，
∴△EGM∽△EAC，
∴，
∵∠EBG＝∠C＝∠EMG，
∴GM＝BG，
∵EG＝EF，
∴．