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    三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题13 不等式、推理与证明(教师版)

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    三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题13 不等式、推理与证明(教师版)

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    这是一份三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题13 不等式、推理与证明(教师版),共22页。
    专题13    不等式、推理与证明12021·浙江高考真题若实数xy满足约束条件,则的最小值是(    A B C D【答案】B【分析】画出满足条件的可行域,目标函数化为,求出过可行域点,且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域,如下图所示:目标函数化为,解得,设当直线点时,取得最小值为.故选:B.22020年新高考全国已知a>0b>0,且a+b=1,则A  BC  D【答案】ABD【解析】对于A当且仅当时,等号成立,故A正确;对于B,所以,故B正确;对于C当且仅当时,等号成立,故C不正确;对于D,因为所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;故选:ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质,综合了基本不等式,指数函数及对数函数的单调性,侧重考查数学运算的核心素养.32020年高考浙江】若实数xy满足约束条件,则的取值范围是A   B  C  D【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:据此可知目标函数的最小值为:且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选:B【点睛】求线性目标函数zaxby(ab≠0)的最值,当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.42020年高考全国卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A   B C  D【答案】C【解析】如图,设,则由题意,即,化简得解得(负值舍去).故选:C【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.52020年高考浙江】设集合STSN*TN*ST中至少有2个元素,且ST满足:对于任意的xyS,若xy,则xyT对于任意的xyT,若x<y,则S下列命题正确的是A.若S4个元素,则ST7个元素B.若S4个元素,则ST6个元素C.若S3个元素,则ST5个元素D.若S3个元素,则ST4个元素【答案】A【解析】首先利用排除法:若取,则,此时,包含4个元素,排除选项D若取,则,此时,包含5个元素,排除选项C若取,则,此时,包含7个元素,排除选项B下面来说明选项A的正确性:设集合,且,且,则同理,则,则,故,故,所以,此时,故,矛盾,舍.,则,故,故,所以,此时., 则,故,故,故此时中有7个元素.A正确.故选:A【点睛】新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说新题不一定是难题,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.62020年高考全国II卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足,且存在正整数,使得成立,则称其为0-1周期序列,并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为0-1序列是描述其性质的重要指标,下列周期为50-1序列中,满足的序列是A    B    C       D 【答案】C【解析】由知,序列的周期为m,由已知,对于选项A,不满足;对于选项B,不满足;对于选项D,不满足;故选:C【点晴】本题考查数列的新定义问题,涉及到周期数列,考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力,是一道中档题.72019年高考全国I数】古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例),著名的断臂维纳斯便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A165 cm  B175 cm C185 cm  D190 cm【答案】B【解析】方法一:如下图所示.依题意可知: 腿长为105 cm得,即所以AD>169.89.头顶至脖子下端长度为26 cmAB<26所以.综上,.故选B.方法二设人体脖子下端至肚脐的长为x cm,肚脐至腿根的长为y cm,则,得.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题.82019年高考全国II卷理数】201913日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星鹊桥,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行.点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M,月球质量为M,地月距离为R点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:.,由于的值很小,因此在近似计算中,则r的近似值为A B   C       D【答案】D【解析】由,得因为所以解得所以【名师点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是复杂式子的变形出错.92019年高考全国II卷理数】a>b,则Aln(ab)>0 B3a<3bCa3b3>0 Da│>│b【答案】C【解析】取,满足,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.102019年高考北京卷理数】xy满足,且y≥−1,则3x+y的最大值为A−7  B1 C5  D7【答案】C【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. ,当直线经过点,取最大值5.故选C【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.112019年高考北京卷理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ekk=12).已知太阳的星等是−26.7,天狼星的星等是−1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A1010.1        B10.1 Clg10.1  D10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足,,.故选:A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.122019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为A2  B3 C5  D6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线轴上的截距,故目标函数在点处取得最大值.,得所以.故选C.【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.132019年高考天津卷理数】,则A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式,可知 推不出能推出的必要不充分条件,故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系来判断条件.142019年高考浙江卷】若实数满足约束条件,则的最大值是A B1C10 D12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为,所以.平移直线可知,当该直线经过点A时,z取得最大值.联立两直线方程可得,解得.即点A坐标为所以.故选C.【名师点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,也有可能在解方程组的过程中出错.152019年高考浙江卷】,则A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时,当且仅当时取等号,则当时,有,解得,充分性成立;时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用赋值法,通过特取的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.162020年高考全国卷理数】xy满足约束条件z=x+7y的最大值为              .【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数即:其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:据此可知目标函数的最大值为:.故答案为:1【点睛】求线性目标函数zaxby(ab≠0)的最值,当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.172020年高考全国III卷理数】xy满足约束条件的最大值为__________【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为,所以,易知截距越大,则越大,平移直线,当经过A点时截距最大,此时z最大,,得所以.故答案为:7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想,是一道容易题.182020年高考江苏】已知,则的最小值是       【答案】【解析】,当且仅当,即时取等号.的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握一正,二定,三相等的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用时等号能否同时成立).192020年高考天津】已知,且,则的最小值为_________【答案】4【解析】,,当且仅当=4时取等号,结合,解得,或时,等号成立.故答案为:【点睛】本题考查应用基本不等式求最值,“1”合理变换是解题的关键,属于基础题.202020年高考江苏】已知,则的最小值是       【答案】【解析】,当且仅当,即时取等号.的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握一正,二定,三相等的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用时等号能否同时成立).212021·全国高考真题某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折次,那么______.【答案】5        【分析】1)按对折列举即可;(2)根据规律可得,再根据错位相减法得结果.【详解】1)由对折2次共可以得到三种规格的图形,所以对着三次的结果有:,共4种不同规格(单位故对折4次可得到如下规格:,共5种不同规格;2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列,首项为120,n次对折后的图形面积为,对于第n此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为种(证明从略),故得猜想两式作差得:因此,.故答案为:.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;3)对于结构,利用分组求和法;4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.222019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 【答案】26【解析】由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有个面.如图,设该半正多面体的棱长为,则,延长交于点,延长交正方体棱于,由半正多面体对称性可知,为等腰直角三角形,即该半正多面体棱长为【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形.232019年高考北京卷理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60/盒、65/盒、80/盒、90/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________【答案】130 15.【解析】(1,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付.2)设顾客一次购买水果的促销前总价为,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,恒成立,,.所以的最大值为.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养.242019年高考天津卷理数】,则的最小值为__________【答案】【解析】方法一:.因为所以,当且仅当时取等号成立.又因为,当且仅当,即时取等号,结合可知,可以取到3,故的最小值为.方法二:.当且仅当时等号成立,的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.                  

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