还剩25页未读，
继续阅读
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
展开
这是一份2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lnx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
2．（5分）若复数z＝，则z的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
3．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．ca＞cb
C．logac＜logbc D．logca＜logcb
4．（5分）已知圆心为（1，0），半径为2的圆经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的三个顶点，则C的标准方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
5．（5分）函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的偶函数，则f（﹣）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（5分）已知{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，且公比为q，则q＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
8．（5分）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以三比一获胜的概率为
D．乙队以3：2获胜的概率为
9．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S57＝（ ）
A．265 B．521 C．1034 D．2059
10．（5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g．（取π＝3.14，精确到0.1）
A．609.4 B．447.3 C．398.4 D．357.3
11．（5分）关于函数f（x）＝，有下面四个结论：
①f（x）是奇函数 ②f（x）在（，π）上单调递减 ③f（x）在[﹣π，π]上有两个零点④f（x）的最大值为
．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
12．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），f′（x）为f（x）的导函数．若f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，则f（x）（ ）
A．在（﹣1，0）上单调递增 B．在（0，1）上单调递增
C．极小值为0 D．最大值为4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“m+n＝9”的概率为 ．
14．（5分）曲线y＝cosxlnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
15．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P、Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于 ．
16．（5分）设函数f（x）＝|lnx﹣x﹣a|（a∈R），记f（x）在区间[，e]上的最大值为g（a），则当a＝ 时，g（a）的最小值为 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•＝•＝1．
（Ⅰ）求证：A＝B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|＝，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，点E为BC上一点且BC＝2AB＝2AD＝4BE．
（1）求证：平面PED⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px焦点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
20．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i＝1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi＝lgIi，．
（1）根据散点图判断，D＝a1+b1I与D＝a2+b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）为f（x）的导函数．
（1）证明：当x∈[﹣，0]时，f（x）﹣xg（x）≥0；
（2）若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，求证：xn+2nπ＜．
(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lnx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【分析】可以求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝[0，1]．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）若复数z＝，则z的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
【分析】由复数的乘方和除法运算法则，计算复数z，再由虚部的定义即可得到．
【解答】解：复数＝
＝＝﹣+i，
则z的虚部为．
故选：A．
【点评】本题考查复数的乘除运算，以及复数的虚部的定义，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．ca＞cb
C．logac＜logbc D．logca＜logcb
【分析】构造函数y＝logcx，又函数单调递减即可得解．
【解答】解：∵0＜c＜1，
∴函数y＝logcx为减函数，
又a＞b＞0，
∴logca＜logcb，
故选：D．
【点评】本题考查实数的大小比较，考查对数函数的图象及性质，属于基础题．
4．（5分）已知圆心为（1，0），半径为2的圆经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的三个顶点，则C的标准方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】有题意可得圆的标准方程，分别令x＝0，y＝0求出点的坐标，再由椭圆的焦点在x轴上，和椭圆的对称性可得a，b的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意可得圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝4，
令x＝0，可得y＝，令y＝0，可得x＝﹣1或3，
由椭圆的焦点在x轴上，及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，
所以椭圆的标准方程：+＝1，
故选：B．
【点评】本题可得求圆的方程及椭圆的标准方程，和椭圆的对称性，属于中档题．
5．（5分）函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性排除B；由f（1）＝0排除C；再由x→0时f（x）→﹣∞，排除A，则答案可求．
【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x＝0}，且f（﹣x）＝（e﹣x+ex）ln|﹣x|＝f（x），则函数为偶函数，排除B；
由f（1）＝0排除C；
当x→0时，f（x）＝（ex+e﹣x）lnx→﹣∞，排除A，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质，是基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的偶函数，则f（﹣）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数在对称轴处取得最值及偶函数关于y轴对称可求φ，代入后即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）＝2sin（2x+φ+）是定义在R上的偶函数，
故函数的图象关于y轴对称，
∴φ+＝即φ＝，
∵0＜φ＜π，
∴φ＝，
则f（﹣）＝2sin（﹣）＝2sin＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档试题．
7．（5分）已知{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，且公比为q，则q＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】设{an}是公差为d的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得d＝﹣1，再由等比数列的定义，计算可得所求值．
【解答】解：设{an}是公差为d的等差数列，
若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，可得（a3+3）2＝（a1+1）（a5+5），
即（a1+2d+3）2＝（a1+1）（a1+4d+5），
化为d2+2d+1＝0，解得d＝﹣1，则an＝a1﹣（n﹣1），
则公比为q＝＝＝1，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以三比一获胜的概率为
D．乙队以3：2获胜的概率为
【分析】A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；
B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜；
C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；
D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输．
【解答】解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，
所以甲队获胜的概率为P1＝（）3＝，故正确；
对于B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜，概率为，故正确；
对于C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故正确；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3：2获胜的概率为，故错．
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．
9．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S57＝（ ）
A．265 B．521 C．1034 D．2059
【分析】由归纳推理及等比数列前n项和可得：即a57在第11组中且为第11组中的第2个数，则S57＝20+21+…+29+（）＝1034，得解．
【解答】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．
分组为（1），（1，1），（1，2，1），（1，3，3，1），（1，4，6，4，1）…
则第n组n个数且第n组n个数之和为2n﹣1，
设a57在第n组中，
则≤57≤，
解得：n＝11，
即a57在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，
则S57＝20+21+…+29+（）＝1034，
故选：C．
【点评】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属中档题．
10．（5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g．（取π＝3.14，精确到0.1）
A．609.4 B．447.3 C．398.4 D．357.3
【分析】设正方体的棱长为a，由题意得＝，解得a＝5，求出该模型的体积为V＝≈398.33（cm3）．由此能求出制作该模型所需原料的质量．
【解答】解：如图，是几何体的轴截面，
设正方体的棱长为a，则＝，解得a＝5，
∴该模型的体积为：
V＝＝≈398.33（cm3）．
∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398.4（g）．
故选：C．
【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）关于函数f（x）＝，有下面四个结论：
①f（x）是奇函数 ②f（x）在（，π）上单调递减 ③f（x）在[﹣π，π]上有两个零点④f（x）的最大值为
．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【分析】函数f（x）＝，
①利用奇函数的定义即可判断出f（x）是否是奇函数；
②令f′（x）＝≤0，解得：cosx范围，即可判断出f（x）在（，π）上的单调性．
③由f（x）＝0，由sinx＝0，在[﹣π，π]上有3个零点，即可判断出结论．
④令k＝，可得sin（x+φ）＝≤1，解得k范围即可判断出结论．
【解答】解：函数f（x）＝，
①f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，正确；
②令f′（x）＝≤0，解得：﹣1≤cosx≤，∴f（x）在（，π）上不单调递减，因此不正确．
③由f（x）＝0，∴sinx＝0，在[﹣π，π]上有3个零点，分别为﹣π，0，π，因此不正确．
④令k＝，可得sin（x+φ）＝≤1，解得k≤，因此f（x）的最大值为，正确．
．其中所有正确结论的编号是①④．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），f′（x）为f（x）的导函数．若f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，则f（x）（ ）
A．在（﹣1，0）上单调递增 B．在（0，1）上单调递增
C．极小值为0 D．最大值为4
【分析】依题意，可求得f（x）和f′（x）的零点构成的集合为{a，b，}＝{﹣2，0，1}，分6类讨论，可确定a、b的值，继而利用导数确定函数的极值及单调区间，从而判断四个选项，可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），
∴f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣b）（x﹣a）＝（x﹣b）（3x﹣2a﹣b），
令f（x）＝0得：x＝a或x＝b；
f′（x）＝0得：x＝a，或x＝；
由a≠b知，f（x）和f′（x）的零点构成的集合为{a，b，}，
又f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，
①若a＝﹣2，b＝0，则＝﹣≠1，不符合题意，舍去；
②若a＝﹣2，b＝1，则＝﹣1≠0，不符合题意，舍去；
③若a＝0，b＝1，则＝≠﹣2，不符合题意，舍去；
④若a＝0，b＝﹣2，则＝﹣≠1，不符合题意，舍去；
⑤若a＝1，b＝0，则＝≠﹣2，不符合题意，舍去；
⑥若a＝1，b＝﹣2，则＝0，符合题意；
故f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣2a﹣b）＝（x+2）（3x﹣2+2）＝3x（x+2），
令f′（x）＞0，得：x＞0或x＜﹣2；
f′（x）＜0，得：﹣2＜x＜0；
∴x＝0为极小值点，f（0）＝（0﹣1）（0+2）2＝﹣4，排除C；
x＝﹣2为极大值点，f（﹣2）＝（﹣2﹣1）（﹣2+2）2＝0，排除D；
f（x）在区间（﹣2，0）上单调递减，排除A；
在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增，（0，1）（0，+∞），
故B在（0，1）上单调递增，正确；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，通过分类讨论思想的运用，确定a、b的值是解决问题的关键，考查运算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“m+n＝9”的概率为 ．
【分析】由题意可得：基本事件的总数为82．事件“m+n＝9”包括基本事件为：（1，8），（8，1），（2，7），（7，2），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）．即可得出事件“m+n＝9”的概率P．
【解答】解：由题意可得：基本事件的总数为82＝64．
则事件“m+n＝9”包括基本事件为：（1，8），（8，1），（2，7），（7，2），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）．
∴事件“m+n＝9”的概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）曲线y＝cosxlnx在点（1，0）处的切线方程为 xcos1﹣y﹣cos1＝0 ．
【分析】先求出导数，然后将x＝1代入求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．
【解答】解：，
所以k＝cos1，
故切线方程：y＝cos1×（x﹣1）
即xcos1﹣y﹣cos1＝0，
故答案为：xcos1﹣y﹣cos1＝0．
【点评】本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，注意抓住切点处的坐标、导数值．属于基础题．
15．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P、Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于 ．
【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．
【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，
在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，
由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，
由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，
即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，
∴（1﹣+）|PF1|＝4a
解得|PF1|＝3a．
|PF2|＝|PF1|﹣2a＝3a﹣2a＝a，
由勾股定理可得：（2c）2＝|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，即4c2＝9a2+a2，
可得e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）设函数f（x）＝|lnx﹣x﹣a|（a∈R），记f（x）在区间[，e]上的最大值为g（a），则当a＝ 时，g（a）的最小值为 ．
【分析】设，利用导数可知g（x）在单调递增，在（1，e）单调递减，由f（x）＝|g（x）|可知，，然后作出函数的图象，由图象观察即可得出答案．
【解答】解：设，则，
令g′（x）＞0，解得，令g′（x）＜0，解得1＜x＜e，
∴g（x）在单调递增，在（1，e）单调递减，
又，
∴，
在同一坐标系中，作函数的函数图象如下，
则g（a）表示的函数图象为图中粗线部分，由图可知，点P所对应的函数值最小，
由|﹣1﹣a|＝|1﹣e﹣a|，解得，即，故，即g（a）的最小值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，实质是考查求最大值中的最小值求法，通过作出函数图象，能形象的由函数图象观察得出答案，着重考查了数形结合思想的运用，属于中档题．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•＝•＝1．
（Ⅰ）求证：A＝B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|＝，求△ABC的面积．
【分析】（1）由，，故可将•＝•＝1转化为一个三角方程，解方程即可证明：A＝B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|+|＝平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵•＝•．
∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB
由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB
∴sin（A﹣B）＝0
∵﹣π＜A﹣B＜π
∴A﹣B＝0，∴A＝B
（Ⅱ）∵•＝1，∴bccosA＝1
由余弦定理得bc•＝1，即b2+c2﹣a2＝2
∵由（Ⅰ）得a＝b，∴c2＝2，∴c＝
（Ⅲ）∵|+|＝，∴||2+||2+2|•|＝6
即c2+b2+2＝6
∴c2+b2＝4
∵c2＝2
∴b2＝2，b＝
∴△ABC为正三角形
∴S△ABC＝×（）2＝
【点评】（1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，点E为BC上一点且BC＝2AB＝2AD＝4BE．
（1）求证：平面PED⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出•＝0且•＝0，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；
（2）由（1）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ＝2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出＝（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量＝（2，﹣1，0），算出与的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD，又AB⊥AD．
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）．
∴＝（2，4，0），＝（0，0，λ），＝（2，﹣1，0）．
由＝4﹣4+0＝0，＝0，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED，∴平面PED⊥平面PAC；
（2）解：由（1）得平面PAC的一个法向量是＝（2，﹣1，0），＝（2，1，﹣λ）．
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，解得λ＝±2．
∵λ＞0，∴λ＝2，可得P的坐标为（0，0，2）．
设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（2，2，0），＝（0，﹣2，2），
由，令x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1）．
∴cos＜，＞＝＝．
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，训练了利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px焦点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
【分析】（1）利用焦点坐标求出p的值，即可得到抛物线C的方程：
（2）由x轴是∠PBQ的角平分线，得kBP＝﹣kBQ，即2kx1x2+（k+t）（x1+x2）+2t＝0，设直线l的方程为：y＝kx+t，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式，化简可得t＝﹣k，所以直线l的方程为：y＝kx﹣k＝k（x﹣1），过定点（1，0）．
【解答】解：（1）∵焦点坐标为（2，0），∴，∴p＝4，
∴抛物线C的方程为：y2＝8x；
（2）设直线l的方程为：y＝kx+t，代入y2＝8x 得：k2x2+（2kt﹣8）x+t2＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴，，
∵x轴是∠PBQ的角平分线，
∴kBP＝﹣kBQ，
∴，
∴，
∴2kx1x2+（k+t）（x1+x2）+2t＝0，
∴，
整理得：k+t＝0，∴t＝﹣k，
∴直线l的方程为：y＝kx﹣k＝k（x﹣1），过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
20．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i＝1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi＝lgIi，．
（1）根据散点图判断，D＝a1+b1I与D＝a2+b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【分析】（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；
（2）令Wi＝lgIi，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程；
（3）根据点P的声音能量I＝I1+I2，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）根据散点图判断，模型D＝a2+b2lgI更适合；
（2）令Wi＝lgIi，先建立D关于W的线性回归方程，
由于，
∴，
∴D关于W的线性回归方程是，
即D关于I的回归方程是；
（3）点P的声音能量为I＝I1+I2，
∵，
∴＝，
根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为
，
∴点P会受到噪声污染的干扰．
【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）为f（x）的导函数．
（1）证明：当x∈[﹣，0]时，f（x）﹣xg（x）≥0；
（2）若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，求证：xn+2nπ＜．
【分析】（1）先写出g（x）的解析式，g（x）＝f′（x）＝，得到在（﹣，0）上，f（x）单调递增．对g（x）求导，得g′（x）＝，得到在（﹣，0）上，g（x）单调递减，令F（x）＝f（x）﹣xg（x），x∈[﹣，0]，求导，分析单调性，可得F（x）≥0，进而证明f（x）﹣xg（x）≥0．
（2）由题可知＝﹣1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根①，令yn＝xn+2nπ，则yn∈（﹣，0），可得f（yn）＝﹣e﹣2nπ，因为f（yn）＝﹣e﹣2nπ≥﹣1＝f（y0），由（1）得f（x）单调性，所以yn≥y0，又因为（1）可知（﹣，0）上，g（x）单调递减，可得0＜g（yn）≤g（y0）又因为f（yn）﹣yng（yn）≥0，化简即可得证．
【解答】（1）证明：g（x）＝f′（x）＝，
当x∈（﹣，0）时，g（x）＝f′（x）＞0，
所以在（﹣，0）上，f（x）单调递增．
g′（x）＝＝，
在（﹣，0）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
令F（x）＝f（x）﹣xg（x），x∈[﹣，0]，
F′（x）＝f′（x）﹣g（x）﹣xg′（x）＝g（x）﹣g（x）﹣xg′（x）＝﹣xg′（x），
当x∈（﹣，0）是，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以F（x）≥F（0）＝f（0）﹣0×g（0）＝0，
所以f（x）﹣xg（x）≥0．
（2）证明：若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，
则u（xn）＝0在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，
所以f（xn）+1＝0在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，
即＝﹣1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，①
令yn＝xn+2nπ，则yn∈（﹣，0）
f（yn）＝＝＝，
又因为①式成立，所以f（yn）＝﹣e﹣2nπ，
因为f（yn）＝﹣e﹣2nπ≥﹣1＝f（y0），
由（1）可知在（﹣，0）上，f（x）单调递增．
所以yn≥y0，
由（1）可知（﹣，0）上，g（x）单调递减，
所以0＜g（yn）≤g（y0）
由（1）可知f（yn）﹣yng（yn）≥0；
所以yn≤＝≤＝＝＝＝
又因为①式成立，得yn＜，
所以xn+2nπ＜．
【点评】本题以三角函数为背景，考查导数的运算，函数的单调性等基础知识，考查函数思想，转化思想，抽象概括能力，运算能力，属于难题．
(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2＝1；
a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是x+4y﹣3＝0；
联立方程，解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d＝＝，
φ满足tanφ＝，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17
解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|1﹣a|＝17，
解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．
综上，a＝8或a＝﹣16．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意可得|x|+2|x﹣1|≤4，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集；
（2）由题意可得f（x）min≥4，运用绝对值不等式的性质和绝对值的定义可得f（x）的最小值，进而得到a的范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤4即为|x|+2|x﹣1|≤4，
当x≥1时，可得x+2（x﹣1）≤4，解得x≤2，则1≤x≤2；
当0＜x＜1时，可得x﹣2（x﹣1）≤4，解得x≥﹣2，则0＜x＜1；
当x≤0时，可得﹣x﹣2（x﹣1）≤4，解得x≥﹣，则﹣≤x≤0．
综上可得，原不等式的解集为[﹣，2]；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，即为f（x）min≥4，
由f（x）＝|x|+2|x﹣a|＝|x|+|x﹣a|+|x﹣a|≥|x﹣x+a|+|a﹣a|＝|a|，当且仅当x＝a时，取得等号，
因为a＞0，可得f（x）min＝a，
则a≥4，即a的取值范围是[4，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 16:55:56；用户：轻松国文培训学校；邮箱：qsgwpx@xyh.com；学号：44874092
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lnx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
2．（5分）若复数z＝，则z的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
3．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．ca＞cb
C．logac＜logbc D．logca＜logcb
4．（5分）已知圆心为（1，0），半径为2的圆经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的三个顶点，则C的标准方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
5．（5分）函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的偶函数，则f（﹣）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（5分）已知{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，且公比为q，则q＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
8．（5分）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以三比一获胜的概率为
D．乙队以3：2获胜的概率为
9．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S57＝（ ）
A．265 B．521 C．1034 D．2059
10．（5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g．（取π＝3.14，精确到0.1）
A．609.4 B．447.3 C．398.4 D．357.3
11．（5分）关于函数f（x）＝，有下面四个结论：
①f（x）是奇函数 ②f（x）在（，π）上单调递减 ③f（x）在[﹣π，π]上有两个零点④f（x）的最大值为
．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
12．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），f′（x）为f（x）的导函数．若f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，则f（x）（ ）
A．在（﹣1，0）上单调递增 B．在（0，1）上单调递增
C．极小值为0 D．最大值为4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“m+n＝9”的概率为 ．
14．（5分）曲线y＝cosxlnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
15．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P、Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于 ．
16．（5分）设函数f（x）＝|lnx﹣x﹣a|（a∈R），记f（x）在区间[，e]上的最大值为g（a），则当a＝ 时，g（a）的最小值为 ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•＝•＝1．
（Ⅰ）求证：A＝B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|＝，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，点E为BC上一点且BC＝2AB＝2AD＝4BE．
（1）求证：平面PED⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px焦点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
20．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i＝1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi＝lgIi，．
（1）根据散点图判断，D＝a1+b1I与D＝a2+b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）为f（x）的导函数．
（1）证明：当x∈[﹣，0]时，f（x）﹣xg（x）≥0；
（2）若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，求证：xn+2nπ＜．
(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lnx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【分析】可以求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝[0，1]．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）若复数z＝，则z的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
【分析】由复数的乘方和除法运算法则，计算复数z，再由虚部的定义即可得到．
【解答】解：复数＝
＝＝﹣+i，
则z的虚部为．
故选：A．
【点评】本题考查复数的乘除运算，以及复数的虚部的定义，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．ca＞cb
C．logac＜logbc D．logca＜logcb
【分析】构造函数y＝logcx，又函数单调递减即可得解．
【解答】解：∵0＜c＜1，
∴函数y＝logcx为减函数，
又a＞b＞0，
∴logca＜logcb，
故选：D．
【点评】本题考查实数的大小比较，考查对数函数的图象及性质，属于基础题．
4．（5分）已知圆心为（1，0），半径为2的圆经过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的三个顶点，则C的标准方程为（ ）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】有题意可得圆的标准方程，分别令x＝0，y＝0求出点的坐标，再由椭圆的焦点在x轴上，和椭圆的对称性可得a，b的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意可得圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝4，
令x＝0，可得y＝，令y＝0，可得x＝﹣1或3，
由椭圆的焦点在x轴上，及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，
所以椭圆的标准方程：+＝1，
故选：B．
【点评】本题可得求圆的方程及椭圆的标准方程，和椭圆的对称性，属于中档题．
5．（5分）函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性排除B；由f（1）＝0排除C；再由x→0时f（x）→﹣∞，排除A，则答案可求．
【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x＝0}，且f（﹣x）＝（e﹣x+ex）ln|﹣x|＝f（x），则函数为偶函数，排除B；
由f（1）＝0排除C；
当x→0时，f（x）＝（ex+e﹣x）lnx→﹣∞，排除A，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质，是基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的偶函数，则f（﹣）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数在对称轴处取得最值及偶函数关于y轴对称可求φ，代入后即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）＝2sin（2x+φ+）是定义在R上的偶函数，
故函数的图象关于y轴对称，
∴φ+＝即φ＝，
∵0＜φ＜π，
∴φ＝，
则f（﹣）＝2sin（﹣）＝2sin＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档试题．
7．（5分）已知{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，且公比为q，则q＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】设{an}是公差为d的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得d＝﹣1，再由等比数列的定义，计算可得所求值．
【解答】解：设{an}是公差为d的等差数列，
若a1+1，a3+3，a5+5成等比数列，可得（a3+3）2＝（a1+1）（a5+5），
即（a1+2d+3）2＝（a1+1）（a1+4d+5），
化为d2+2d+1＝0，解得d＝﹣1，则an＝a1﹣（n﹣1），
则公比为q＝＝＝1，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲队获胜的概率为
B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以三比一获胜的概率为
D．乙队以3：2获胜的概率为
【分析】A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜；
B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜；
C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜；
D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输．
【解答】解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，
所以甲队获胜的概率为P1＝（）3＝，故正确；
对于B，乙队以3：0获胜，即第4局乙获胜，概率为，故正确；
对于C，乙队以三比一获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故正确；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3：2获胜的概率为，故错．
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．
9．（5分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S57＝（ ）
A．265 B．521 C．1034 D．2059
【分析】由归纳推理及等比数列前n项和可得：即a57在第11组中且为第11组中的第2个数，则S57＝20+21+…+29+（）＝1034，得解．
【解答】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…．
分组为（1），（1，1），（1，2，1），（1，3，3，1），（1，4，6，4，1）…
则第n组n个数且第n组n个数之和为2n﹣1，
设a57在第n组中，
则≤57≤，
解得：n＝11，
即a57在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，
则S57＝20+21+…+29+（）＝1034，
故选：C．
【点评】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，属中档题．
10．（5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10cm，高为10cm．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g．（取π＝3.14，精确到0.1）
A．609.4 B．447.3 C．398.4 D．357.3
【分析】设正方体的棱长为a，由题意得＝，解得a＝5，求出该模型的体积为V＝≈398.33（cm3）．由此能求出制作该模型所需原料的质量．
【解答】解：如图，是几何体的轴截面，
设正方体的棱长为a，则＝，解得a＝5，
∴该模型的体积为：
V＝＝≈398.33（cm3）．
∴制作该模型所需原料的质量为398.33×1≈398.4（g）．
故选：C．
【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）关于函数f（x）＝，有下面四个结论：
①f（x）是奇函数 ②f（x）在（，π）上单调递减 ③f（x）在[﹣π，π]上有两个零点④f（x）的最大值为
．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【分析】函数f（x）＝，
①利用奇函数的定义即可判断出f（x）是否是奇函数；
②令f′（x）＝≤0，解得：cosx范围，即可判断出f（x）在（，π）上的单调性．
③由f（x）＝0，由sinx＝0，在[﹣π，π]上有3个零点，即可判断出结论．
④令k＝，可得sin（x+φ）＝≤1，解得k范围即可判断出结论．
【解答】解：函数f（x）＝，
①f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，正确；
②令f′（x）＝≤0，解得：﹣1≤cosx≤，∴f（x）在（，π）上不单调递减，因此不正确．
③由f（x）＝0，∴sinx＝0，在[﹣π，π]上有3个零点，分别为﹣π，0，π，因此不正确．
④令k＝，可得sin（x+φ）＝≤1，解得k≤，因此f（x）的最大值为，正确．
．其中所有正确结论的编号是①④．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），f′（x）为f（x）的导函数．若f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，则f（x）（ ）
A．在（﹣1，0）上单调递增 B．在（0，1）上单调递增
C．极小值为0 D．最大值为4
【分析】依题意，可求得f（x）和f′（x）的零点构成的集合为{a，b，}＝{﹣2，0，1}，分6类讨论，可确定a、b的值，继而利用导数确定函数的极值及单调区间，从而判断四个选项，可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a，b∈R，a≠b），
∴f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣b）（x﹣a）＝（x﹣b）（3x﹣2a﹣b），
令f（x）＝0得：x＝a或x＝b；
f′（x）＝0得：x＝a，或x＝；
由a≠b知，f（x）和f′（x）的零点构成的集合为{a，b，}，
又f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣2，0，1}中，
①若a＝﹣2，b＝0，则＝﹣≠1，不符合题意，舍去；
②若a＝﹣2，b＝1，则＝﹣1≠0，不符合题意，舍去；
③若a＝0，b＝1，则＝≠﹣2，不符合题意，舍去；
④若a＝0，b＝﹣2，则＝﹣≠1，不符合题意，舍去；
⑤若a＝1，b＝0，则＝≠﹣2，不符合题意，舍去；
⑥若a＝1，b＝﹣2，则＝0，符合题意；
故f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣2a﹣b）＝（x+2）（3x﹣2+2）＝3x（x+2），
令f′（x）＞0，得：x＞0或x＜﹣2；
f′（x）＜0，得：﹣2＜x＜0；
∴x＝0为极小值点，f（0）＝（0﹣1）（0+2）2＝﹣4，排除C；
x＝﹣2为极大值点，f（﹣2）＝（﹣2﹣1）（﹣2+2）2＝0，排除D；
f（x）在区间（﹣2，0）上单调递减，排除A；
在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增，（0，1）（0，+∞），
故B在（0，1）上单调递增，正确；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，通过分类讨论思想的运用，确定a、b的值是解决问题的关键，考查运算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8．连续两次抛掷这个正八面体，记下它与地面接触的面上的数字分别为m，n，则事件“m+n＝9”的概率为 ．
【分析】由题意可得：基本事件的总数为82．事件“m+n＝9”包括基本事件为：（1，8），（8，1），（2，7），（7，2），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）．即可得出事件“m+n＝9”的概率P．
【解答】解：由题意可得：基本事件的总数为82＝64．
则事件“m+n＝9”包括基本事件为：（1，8），（8，1），（2，7），（7，2），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）．
∴事件“m+n＝9”的概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）曲线y＝cosxlnx在点（1，0）处的切线方程为 xcos1﹣y﹣cos1＝0 ．
【分析】先求出导数，然后将x＝1代入求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．
【解答】解：，
所以k＝cos1，
故切线方程：y＝cos1×（x﹣1）
即xcos1﹣y﹣cos1＝0，
故答案为：xcos1﹣y﹣cos1＝0．
【点评】本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，注意抓住切点处的坐标、导数值．属于基础题．
15．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P、Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于 ．
【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．
【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
由PQ⊥PF1，|PQ|＝|PF1|，
在直角三角形PF1Q中，|QF1|＝＝|PF1|，
由双曲线的定义可得：2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|，
由|PQ|＝|PF1|，即有|PF2|+|QF2|＝|PF1|，
即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a＝|PF1|，
∴（1﹣+）|PF1|＝4a
解得|PF1|＝3a．
|PF2|＝|PF1|﹣2a＝3a﹣2a＝a，
由勾股定理可得：（2c）2＝|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，即4c2＝9a2+a2，
可得e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（5分）设函数f（x）＝|lnx﹣x﹣a|（a∈R），记f（x）在区间[，e]上的最大值为g（a），则当a＝ 时，g（a）的最小值为 ．
【分析】设，利用导数可知g（x）在单调递增，在（1，e）单调递减，由f（x）＝|g（x）|可知，，然后作出函数的图象，由图象观察即可得出答案．
【解答】解：设，则，
令g′（x）＞0，解得，令g′（x）＜0，解得1＜x＜e，
∴g（x）在单调递增，在（1，e）单调递减，
又，
∴，
在同一坐标系中，作函数的函数图象如下，
则g（a）表示的函数图象为图中粗线部分，由图可知，点P所对应的函数值最小，
由|﹣1﹣a|＝|1﹣e﹣a|，解得，即，故，即g（a）的最小值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，实质是考查求最大值中的最小值求法，通过作出函数图象，能形象的由函数图象观察得出答案，着重考查了数形结合思想的运用，属于中档题．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第223题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•＝•＝1．
（Ⅰ）求证：A＝B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|＝，求△ABC的面积．
【分析】（1）由，，故可将•＝•＝1转化为一个三角方程，解方程即可证明：A＝B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|+|＝平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵•＝•．
∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB
由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB
∴sin（A﹣B）＝0
∵﹣π＜A﹣B＜π
∴A﹣B＝0，∴A＝B
（Ⅱ）∵•＝1，∴bccosA＝1
由余弦定理得bc•＝1，即b2+c2﹣a2＝2
∵由（Ⅰ）得a＝b，∴c2＝2，∴c＝
（Ⅲ）∵|+|＝，∴||2+||2+2|•|＝6
即c2+b2+2＝6
∴c2+b2＝4
∵c2＝2
∴b2＝2，b＝
∴△ABC为正三角形
∴S△ABC＝×（）2＝
【点评】（1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，点E为BC上一点且BC＝2AB＝2AD＝4BE．
（1）求证：平面PED⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出•＝0且•＝0，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；
（2）由（1）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ＝2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出＝（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量＝（2，﹣1，0），算出与的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD，又AB⊥AD．
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）．
∴＝（2，4，0），＝（0，0，λ），＝（2，﹣1，0）．
由＝4﹣4+0＝0，＝0，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED，∴平面PED⊥平面PAC；
（2）解：由（1）得平面PAC的一个法向量是＝（2，﹣1，0），＝（2，1，﹣λ）．
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，解得λ＝±2．
∵λ＞0，∴λ＝2，可得P的坐标为（0，0，2）．
设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（2，2，0），＝（0，﹣2，2），
由，令x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1）．
∴cos＜，＞＝＝．
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，训练了利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px焦点坐标为（2，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
【分析】（1）利用焦点坐标求出p的值，即可得到抛物线C的方程：
（2）由x轴是∠PBQ的角平分线，得kBP＝﹣kBQ，即2kx1x2+（k+t）（x1+x2）+2t＝0，设直线l的方程为：y＝kx+t，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式，化简可得t＝﹣k，所以直线l的方程为：y＝kx﹣k＝k（x﹣1），过定点（1，0）．
【解答】解：（1）∵焦点坐标为（2，0），∴，∴p＝4，
∴抛物线C的方程为：y2＝8x；
（2）设直线l的方程为：y＝kx+t，代入y2＝8x 得：k2x2+（2kt﹣8）x+t2＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴，，
∵x轴是∠PBQ的角平分线，
∴kBP＝﹣kBQ，
∴，
∴，
∴2kx1x2+（k+t）（x1+x2）+2t＝0，
∴，
整理得：k+t＝0，∴t＝﹣k，
∴直线l的方程为：y＝kx﹣k＝k（x﹣1），过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
20．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i＝1，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
1.04×10﹣11
45.7
﹣11.5
1.56×10﹣21
0.51
6.88×10﹣11
5.1
表中Wi＝lgIi，．
（1）根据散点图判断，D＝a1+b1I与D＝a2+b2lgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且．已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据（1）中的回归方程，判断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据（μ1，v1），（μ2，v2），…，（μn，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
【分析】（1）根据散点图中点的分布成非线性形状，判断两变量适合的模型；
（2）令Wi＝lgIi，建立D关于W的线性回归方程，再写出D关于I的回归方程；
（3）根据点P的声音能量I＝I1+I2，根据（1）中的回归方程计算点P的声音强度D的预报值，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）根据散点图判断，模型D＝a2+b2lgI更适合；
（2）令Wi＝lgIi，先建立D关于W的线性回归方程，
由于，
∴，
∴D关于W的线性回归方程是，
即D关于I的回归方程是；
（3）点P的声音能量为I＝I1+I2，
∵，
∴＝，
根据（1）中的回归方程知，点P的声音强度D的预报值为
，
∴点P会受到噪声污染的干扰．
【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）为f（x）的导函数．
（1）证明：当x∈[﹣，0]时，f（x）﹣xg（x）≥0；
（2）若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，求证：xn+2nπ＜．
【分析】（1）先写出g（x）的解析式，g（x）＝f′（x）＝，得到在（﹣，0）上，f（x）单调递增．对g（x）求导，得g′（x）＝，得到在（﹣，0）上，g（x）单调递减，令F（x）＝f（x）﹣xg（x），x∈[﹣，0]，求导，分析单调性，可得F（x）≥0，进而证明f（x）﹣xg（x）≥0．
（2）由题可知＝﹣1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根①，令yn＝xn+2nπ，则yn∈（﹣，0），可得f（yn）＝﹣e﹣2nπ，因为f（yn）＝﹣e﹣2nπ≥﹣1＝f（y0），由（1）得f（x）单调性，所以yn≥y0，又因为（1）可知（﹣，0）上，g（x）单调递减，可得0＜g（yn）≤g（y0）又因为f（yn）﹣yng（yn）≥0，化简即可得证．
【解答】（1）证明：g（x）＝f′（x）＝，
当x∈（﹣，0）时，g（x）＝f′（x）＞0，
所以在（﹣，0）上，f（x）单调递增．
g′（x）＝＝，
在（﹣，0）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
令F（x）＝f（x）﹣xg（x），x∈[﹣，0]，
F′（x）＝f′（x）﹣g（x）﹣xg′（x）＝g（x）﹣g（x）﹣xg′（x）＝﹣xg′（x），
当x∈（﹣，0）是，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以F（x）≥F（0）＝f（0）﹣0×g（0）＝0，
所以f（x）﹣xg（x）≥0．
（2）证明：若xn是函数u（x）＝f（x）+1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）内零点，
则u（xn）＝0在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，
所以f（xn）+1＝0在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，
即＝﹣1在（﹣2nπ﹣，﹣2nπ）（n∈N）有根，①
令yn＝xn+2nπ，则yn∈（﹣，0）
f（yn）＝＝＝，
又因为①式成立，所以f（yn）＝﹣e﹣2nπ，
因为f（yn）＝﹣e﹣2nπ≥﹣1＝f（y0），
由（1）可知在（﹣，0）上，f（x）单调递增．
所以yn≥y0，
由（1）可知（﹣，0）上，g（x）单调递减，
所以0＜g（yn）≤g（y0）
由（1）可知f（yn）﹣yng（yn）≥0；
所以yn≤＝≤＝＝＝＝
又因为①式成立，得yn＜，
所以xn+2nπ＜．
【点评】本题以三角函数为背景，考查导数的运算，函数的单调性等基础知识，考查函数思想，转化思想，抽象概括能力，运算能力，属于难题．
(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2＝1；
a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是x+4y﹣3＝0；
联立方程，解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d＝＝，
φ满足tanφ＝，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17
解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|1﹣a|＝17，
解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．
综上，a＝8或a＝﹣16．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意可得|x|+2|x﹣1|≤4，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集；
（2）由题意可得f（x）min≥4，运用绝对值不等式的性质和绝对值的定义可得f（x）的最小值，进而得到a的范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤4即为|x|+2|x﹣1|≤4，
当x≥1时，可得x+2（x﹣1）≤4，解得x≤2，则1≤x≤2；
当0＜x＜1时，可得x﹣2（x﹣1）≤4，解得x≥﹣2，则0＜x＜1；
当x≤0时，可得﹣x﹣2（x﹣1）≤4，解得x≥﹣，则﹣≤x≤0．
综上可得，原不等式的解集为[﹣，2]；
（2）若不等式f（x）≥4对一切x∈R恒成立，即为f（x）min≥4，
由f（x）＝|x|+2|x﹣a|＝|x|+|x﹣a|+|x﹣a|≥|x﹣x+a|+|a﹣a|＝|a|，当且仅当x＝a时，取得等号，
因为a＞0，可得f（x）min＝a，
则a≥4，即a的取值范围是[4，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 16:55:56；用户：轻松国文培训学校；邮箱：qsgwpx@xyh.com；学号：44874092
相关试卷
343.2023-2024武汉市江岸区高三元月调考试卷（无答案）： 这是一份343.2023-2024武汉市江岸区高三元月调考试卷（无答案），共4页。
湖北省武汉市武昌区2023-2024学年届高三上学期元月期末调考数学试卷Word版含答案： 这是一份湖北省武汉市武昌区2023-2024学年届高三上学期元月期末调考数学试卷Word版含答案，文件包含湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高三上学期期末数学试题Word版无答案KS5U高考docx、2024届湖北省武汉市武昌区高三上学期期末质量检测数学试题pdf、答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
武汉市江岸区2023——2024学年度高三元月调考数学试卷及参考答案： 这是一份武汉市江岸区2023——2024学年度高三元月调考数学试卷及参考答案，文件包含武汉市江岸区20232024学年度高三元月调考pdf、答题卡11pdf、高三数学岸1pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
