高考物理三轮冲刺专题02近似计算法(含解析)

专题02近似值计算法

目录

一、近似物理模型导致的近似值................................................1

二、数学方法近似导致的近似值................................................3

　　近似计算是中学物理问题中一种常用的估算方法，由此求出的物理量是近似值。近似值的背后潜藏着一个确定的真实值，近似值是对物理问题近似的描述，近似值与真实值存在着差值。一类差值来源于物理模型的近似，另一类差值来源于数学方法的近似。如果我们拨开包围在真实值周围的层层迷雾，就可以找寻出近似值背后的真实值。

一、 近似物理模型导致的近似值

　　近似值与真实值之间误差的第一种来源是物理模型的近似。物理模型是对物理问题的简化与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态模型。由于学生的知识结构的限制，在构建物理模型时，对研究对象做太多的简化，所构建的物理模型不能一步到位，把不该忽略的问题忽略了，导致了物理模型的缺陷，也是一种近似模型。应用这样的物理模型进行估算求出近似解也无不可，如果从精确计算来说，却不够至臻完善。

典例1. （19年全国1卷）最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为（）

A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg C．1.6×105 kg  D．1.6×106 kg

【答案】B

【解析】设该发动机在s时间内，喷射出的气体质量为，根据动量定理，，可知，在1s内喷射出的气体质量，故本题选B。

【总结与点评】本题中构建物理模型非常关键，以在s时间内喷射出这部分气体作为研究对象，忽略气体的重力，不计这部分流体与其他流体之间的相互作用，这样的物理模型是一种近似描述喷出气体运动过程的的物理模型。

针对训练1a.（18年海南卷）一攀岩者以1m/s的速度匀速向上攀登，途中碰落了岩壁上的石块，石块自由下落。3s后攀岩者听到石块落地的声音，此时他离地面的高度约为（）

A. 10m        B. 30m        C. 50m        D. 70m

【答案】C

【解析】本题是估算题，由于石块的速度远小于声音的传播速度，可以忽略声音传播的时间

，故选C.

如果考虑声音从地面传播至攀岩者的时间，可以这样计算：

设石块自由落体的时间为，他离地面的高度为，则（），，解得，。选C

针对训练1b.（人教版必修一加速度问题与练习4）为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块安装了宽度为3.0cm的遮光板，滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为。通过第二个光电门的时间为。遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为，求滑块的加速度。

【解析】滑块的宽度，滑块上的光电门开始遮住第一个光电门的瞬时速度可近似认为遮光板通过第一个光电门的平均速度：

同理，滑块上的遮光板开始遮住第二个光电门的瞬时速度

则加速度为：

代入数据得：

本题若应用匀变速运动规律求解，可以求得其真实值。

【解析】第一个光电门至第二个光电门的距离为，遮光板开始遮住第一个光电门的速度为，所求的加速度为。

则：滑块上的遮光板通过第一个光电门的过程中

①

滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的过程中

②

滑块上的遮光板从开始遮住第一个光电门到刚穿过第二个光电门的过程中

③

①②③解得：

代入数据得：

【总结与点评】本题的近似值的误差来源于遮光板开始遮住第一个光电门、第二个光电门的瞬时速度物理模型的构建。只有当时间无限趋近于零时，平均速度等于瞬时速度。实际上，以这样物理模型求得的瞬时速度总是与真实值存在差异，也导致了加速度的值与真实值产生误差。通过计算，加速度的相对误差为2.5%，近似值与真实值非常接近。

这道题是《速度变化的快慢的描述加速度》的问题与练习的第4题（人教版必修一），教师参考用书给出一个近似解法，这是由于编题者为了巩固瞬时速度概念而用的近似求解方法，也是因为学生还没有学习过匀变速直线运动规律，因此，瞬时速度的模型存在一点缺陷。

二、数学方法近似导致的近似值

近似值与真实值误差的另一个来源是应用了数学近似方法，数学近似方法包括应用数学近似公式，或应用图像法通过读图求解等。近似公式包括如下等公式：当x趋近于零，；图像法是应用各种图像的物理意义，通过读图估算求解。能否作出如此的近似处理，要看具体的解题要求，如果是学生的数学知识局限，也只能应用近似的处理方法了。

典例2.（人教版3-4 用双缝干涉测量光的波长）如图为物理光学中的双缝干涉示意图，假设相干光源距离为，到像屏之间的距离为，（）光波波长为λ,相邻明条纹间距，证明：

【解析】模型构建：发出的光束为光线，并沿直线传播。在重叠区域遵循波的叠加原理。

数理整合：为的中垂线，为明条纹位置，设为第一条明条纹，

到距离：

到的距离：

①

因为：，其中应用，得

②

同理

③

②③代入①化简得：

【总结与点评】本题在教材中证明方法，出现多个近似处理，不便学生对问题的理解。利用二项式定理近似展开式将根式化简，可以得出非常简洁的证明结果，当应用上式化简时，要注意二项式定理展开式的近似条件。如果不应用近似计算方法，虽然也可以得出相邻明条纹间距的表达式，但表达式非常繁，不利于学生的理解与记忆。

针对训练2（2007年江苏卷）如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。

（1）求小环C的平衡位置。

（2）若小环C带电量为q，将小环拉离平衡位置一小位移x（∣x∣<<d）后静止释放，试判断小环C能否回到平衡位置。（回答“能”或“不能”即可）

（3）若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x（∣x∣<<d）后静止释放，试证明小环C将作简谐运动。

【答案】（1）l=d，（2）不能

【解析】（1）设C在AB连线的延长线上距离B为l处达到平衡，带电量为Q

库仑定律

平衡条件

解得（舍去），l2=d

所以，平衡位置l=d

（2）不能

（3）环C带电-q，平衡位置不变，拉离平衡位置一小位移x后

C受力为

当<<1时，则，利用该式化简得：

利用近似关系化简得

所以小环C将做简谐运动

典例3.（19年全国2卷）一质量为m=2000 kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方100 m处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中，0~t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2时刻开始，汽车第1 s内的位移为24 m，第4 s内的位移为1 m。

（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；

（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；

（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？

【答案】（1）（2）， 28 m/s（3）30 m/s；；87.5 m

【解析】1）v-t图像如图所示。

（2）设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1，则t1时刻的速度也为v1，t2时刻的速度也为v2，在t2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a，取Δt=1s，设汽车在t2+n-1Δt内的位移为sn，n=1,2,3,…。

若汽车在t2+3Δt~t2+4Δt时间内未停止，设它在t2+3Δt时刻的速度为v3，在t2+4Δt时刻的速度为v4，由运动学有

①

②

③

联立①②③式，代入已知数据解得

④

这说明在t2+4Δt时刻前，汽车已经停止。因此，①式不成立。

由于在t2+3Δt~t2+4Δt内汽车停止，由运动学公式

⑤

⑥

联立②⑤⑥，代入已知数据解得

，v2=28 m/s⑦

或者，v2=29.76 m/s⑧

第二种情形下v3小于零，不符合条件，故舍去

（3）设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f1，由牛顿定律有：f1=ma⑨

在t1~t2时间内，阻力对汽车冲量大小为：⑩

由动量定理有：⑪

由动能定理，在t1~t2时间内，汽车克服阻力做的功为：⑫

联立⑦⑨⑩⑪⑫式，代入已知数据解得

v1=30 m/s⑬

⑭

从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为

⑮

联立⑦⑬⑮，代入已知数据解得

s=87.5 m⑯

点评与深化：在t1~t2时间内汽车的加速度变化非常小，把汽车减速运动看作匀减速直线运动，对其运动模型进行近似处理。

其位移。

如果考虑到加速度变化，也可以精确求出这段时间的位移。

在t2时刻以后，摩擦力达到恒定，①

在t1~t2时间内②

①②得：

在t1~t2时间内

令，③④

④

③④得：⑤

⑥

⑦

⑥⑦得：⑧

⑨

⑧⑨得：

精确值与近似值相差0.2m，相对误差，精确值与近似值非常接近，这就是命题专家把汽车在t1~t2时间内减速运动看作匀减速直线运动的原因。

针对训练3.如图，将导轨装置的一端稍微抬高，在导轨上端与电阻R相连处接上开关和一个传感器（相当于一只理想的电流表），能将各时刻的电流数据实时传输到计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出图象。先断开K，使导体棒恰好能沿轨道匀速下滑．闭合K，匀强磁场方向垂直于轨道平面向下，让杆在悬挂物M的牵引下，从图示位置由静止开始释放，此时计算机屏幕上显示出如图（乙）所示的图象（设杆在整个运动过程中与轨道垂直，且细线始终沿与轨道平行的方向拉杆，导轨的电阻、导体棒电阻不计，细线与滑轮间的摩擦及滑轮的质量均忽略不计，（已知，杆长，，）．试求：杆速度稳定时下滑的位移？

【解析】本题需要应用图像的物理意义，通过读图得出流过导体棒的电量的近似值。在此基础上，求出棒从开始运动至匀速运动的位移也是近似值。

当悬挂物与棒刚好作匀速下滑时，由图知：

如果棒从静止到匀速过程中流过棒截面的电量为，发生的位移为，由图像中图线所围的面积表示该段时间内的电量，通过读图数格子可以求出

又知

本题如果应用微元累积法求解，就可以求出真实解，微元累积法解法如下：

在棒与悬挂物变加速运动的过程中，分别隔离悬挂物与棒，利用牛顿第二定律得：

①

②

①②解得

代入数据得

当棒与悬挂物匀速运动时

棒从静止作变加速到匀速运动时,发生的位移为

应用微元累积法：

，则

【总结与点评】本题的误差来自于图线与时间轴所围的格子数的估读，近似值与真实值之间的相对误差为4.8%，相对误差在5%以内为合理范围。

　　应用近似的物理模型解决物理问题要注意其对相关的物理概念理解的影响。比如，在上面的例题中，虽然以平均速度代替瞬时速度，但要学生明确平均速度与瞬时速度是两个有各自内涵的概念，不能把两者混为一谈；应用近似方法解决物理问题时，要理解解题要求，把握好近似的尺度，真正做到自觉自省。只有这样，才能使学生在应用各种近似方法解题的过程中做到近似得当，使其近似值接近真实值，才能有助于学生思维能力由发展。