2023届高三数学一轮复习大题专练01导数恒成立问题1

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一轮大题专练1—导数（恒成立问题1）1．已知函数，，．（1）当时，，求的取值范围；（2）证明：当时，．解：（1）当时，，即，即，设，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，（1），则．实数的取值范围为，；（2）证明：，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，令，则，易知在单调递增，在单调递减，，又两个等号不同时成立，故当时，． 2．已知函数（其中，为的导数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．解：（1），则，又，函数在处的切线方程为；（2）令，则，，在，上单增，①当时，，为增函数，则恒成立，符合题意；②当时，由在，上单增，且，，故存在唯一，使得，则当时，，单减，，此时与矛盾，不合题意．综上所述，实数的取值范围为，． 3．已知函数．（Ⅰ）当时，试判断函数的单调性；（Ⅱ）当时，若对任意的，，恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）时，，的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；（Ⅱ）恒成立，即，，，，故当时，对任意，，恒成立，令，则，令，则，，，，函数在，上单调递增，显然（1），故当时，，当时，，故函数在，递减，在递增，故（1），故，故的取值范围是． 4．已知函数，，．（1）若，证明：；（2）若，求的取值范围．解：（1）证明：若，则，即证，只需证，设，则，，显然在，上恒成立，在，上单增，，在，上单增，，，即得证；（2）令，依题意，对任意，，恒成立，则，解得，又在，上恒成立，显然成立，在上恒成立，即，解得，故；下面证明：当时，在，上恒成立，令，则，，（a），（a）在，上单减，则，由（1）知，，故，当且仅当时，取等号，故在，上恒成立，综上，实数的取值范围为，． 5．已知函数，．（Ⅰ）当时，求证：在上单调递增；（Ⅱ）当时，，求的取值范围．解：（Ⅰ）证明：当时，，，则，又在上单调递增，且，且（1），，，使得，当时，，当，时，，在上单调递减，在，上单调递增，，，，，，在上单调递增；（Ⅱ）当时，，问题等价于（记为在，上恒成立，令，，（1），要使式在，上恒成立，则必须（1），，下面证明当时，在，上恒成立．，，，又，，当时，在，上单调递增，（1），即式在，上恒成立，故的取值范围为，． 6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．解：（1）的定义域是，，当时，在上恒成立，故在上单调递增；分当时，令，得，在，上有，在，上有，在，上是减函数，在，上是增函数分（2）当时，，即令，则，若，由（1）知，当时，在上是增函数，故有，即，得，故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）（当且仅当，即，且时取等号）．函数在，单调递增，，式成立．分②若，令．则，当且仅当时等号成立．在区间，上单调递增，，，，使得，则当时，，即，函数在区间上单调递减，，即，式不恒成立．综上所述，实数的范围是，分