数列相关提分技巧

【数列】数列相关提分五技巧 技巧1  等比数列前n项和规律技巧2  单一条件口算结果技巧3  公式法口算通项技巧4 错位相减法口算结果技巧5 斐波那数列 一．等比数列前n项和规律 二．单一条件口算结果-----实质考查等比或等差中项1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。（常数数列：每一项都是相同的） 三．公式法口算通项----an=Sn-Sn-1(n四．口算错位相减法的结果五．斐波那数列---黄金分割数列---  数列特点：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34...三个数据为一组，第一数据为偶数，第二、三个数据为奇数 技巧1  等比数列前n项和规律【例1】（2020·福建省厦门第六中学）已知等比数列的前项和（为常数），则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】技巧法：常规法：∵等比数列的前项和（为常数），∴，，
成等比数列，∴，解得或∵时，是常数，不成立，故舍去.故选：C【举一反三】1．（2020·安徽含山（理））已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（    ）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【答案】C【解析】技巧法：Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3常规法：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，故选：C.2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比数列的前项和为，则的值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】技巧法：常规法：，，，故选C. 技巧2  单一条件口算结果【例2-1】（1）（2020·宁夏高三其他（文））为等差数列的前项和，若，则（    ）.A．-1 B．0 C．1 D．2（2）（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知各项为正数的等比数列满足﹐则的值为（    ）A． B． C． D． 【答案】（1）B（2）D【解析】（1）技巧法：常规法：因为，所以，故选：B.（2）技巧法：由等比中项的性质可得，常规法：已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，，由对数的运算性质可得.故选：D.【例2-2】（2020·河南）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】技巧法：常规法：因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A【举一反三】1．设是等差数列的前项和,若,则A． B． C． D．【答案】A【解析】，，选A. 2．（2020·广东云浮·）在正项等比数列中，若，则（    ）．A．5 B．6 C．10 D．11【答案】D【解析】技巧法：常规法：因为，且为等比数列，所以，所以.故选：D. 3．（2020·浙江宁波）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差中项的性质可得，，由等比中项的性质可得，，因此，.故选：C. 4．（2020·全国高三其他（理））已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（    ）A． B． C． D．2【答案】D【解析】技巧法：常规法：根据等差数列的性质可得，所以可设，.则，，所以.故选:D. 技巧3  公式法口算通项【例3】（2020·南京市秦淮中学高三其他）已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】技巧法：常规法：当时，，当时，，又适合上式，所以，故答案为： 【举一反三】1．（2020·湖南湘潭·高考模拟（文））已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．【答案】【解析】技巧法：常规法：由题意，可知当时，；当时，. 又因为不满足，所以. 2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】常规法：为数列的前项和，①时，②①②，得：，，，数列的通项公式为.故答案为：. 技巧4 错位相减法口算结果【例4】（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（2）数列满足，整理得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．常规法：（1）数列的前项和为，点，在函数的图象上，所以，①当时，，当时，，②，①②得（首项符合通项）．故．（2）数列满足，整理得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．【举一反三】1．（2020·河南高三其他（文））已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）如果数列，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）数列的前项和为，且①．所以：②②①得：．（用技巧法口算结果，减少计算量）（2）数列，所以，所以①，②①②得：，整理得：．（用技巧法口算结果，减少计算量） 2．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））在正项等比数列{}中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设正项等比数列{an}的公比为(，∵∴，所以 ∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.（用技巧法口算结果，减少计算量）. 技巧5 斐波那数列【例5】（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学）“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】常规法：因为数列为“斐波那契”数列，所以，，所以，，，，，将以上2017个等式相加可得，，即，所以，所以，所以.故选：C. 【举一反三】1．（2020·河北高三月考）数列、、、、、、、、、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中，偶数的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第项为偶数，由于，所以前项中偶数的个数为．故选：B. 2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由图可知各正方形的边长为：1，1，2，3，5，8，矩形的面积为：，阴影部分面积为： ，所求概率为：故选: B  提高训练（共十九题）1．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，.故选：B. 2．（2020·甘肃高三其他（文））已知等比数列的前项和为，则a=（    ）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】技巧法：a=-1因为，所以，，，，求得.故选：C．3．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.故选：D. 4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】裴波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，观察发现前12项中，第4项，第8项，第12项都能被3整除.以此类推前40项中，第4项，第8项，第12项，第16项，第20项，第24项，第28项，第32项，第36项，第40项，共10项，能被3整除.所以能被3整除的概率为.故选A 5．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个为偶数.根据规律：共有偶数个，故.故选：. 8．（2020·江西高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，该数列依次每3项中，有2项是奇数，另外1项是偶数所以前120项中有80项是奇数所以这个数是奇数的概率为故选：B 7．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，..故选：. 8．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（    ）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】D【解析】因为数列为等差数列，故等价于，故可得.又根据等差数列前项和性质.故选：D.9．（2019·河南高二月考）两等差数列，的前n项和分别为，，且，则　　A． B． C． D．2【答案】C【解析】由等差数列的前项和，依题意有，所以,所以，故选C. 10．(多选）（2020·福建省永泰县第一中学高三月考）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（    ）A．B．且C．D．【答案】BC【解析】技巧法：可知选BC常规法：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B满足条件；由，所以所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以所以，令，则，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；即C满足条件；故选：BC 12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差数列的前项和，且，则__________.【答案】2【解析】因为，所以，解得.故答案为：13．（2020·陕西渭南·（理））已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中,则an=_____.【答案】【解析】技巧法：略常规法：当n=1时，S1=a1=4，当n≥2时，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以数列{an}的通项公式an=.故答案为：. 14．（2020·湖北高三月考（理））设为数列的前项和，若，则____【答案】【解析】技巧法：略常规法：当时，，即，当时，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为： 15．（2020·浙江高三其他）已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________．【答案】2        【解析】由题意易得，当时，，而，所以．故答案为：2；． 16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.【答案】        【解析】因为斐波那契数列满足， ，， ∴；；； …； 所以， 因为 ． 故答案为：，． 17．（2020·陕西西安中学）斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2019=t(t为常数)，则________(用t表示)，________(用常数表示).【答案】        【解析】斐波那契数列满足：，，，设，则：；根据可得，所以，所以．故答案为：；． 18．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，；当时，.不适合.综上所述，；（2）由（1）可得.当时，；当时，，得，上式下式，，满足，因此，.19．（2020·河南高二其他（文））设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足， 求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此；（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.