苏科版九年级数学上学期期末专题04 动点相切与最值

这是一份苏科版九年级数学上学期期末专题04 动点相切与最值，共20页。试卷主要包含了如图，正方形ABCD的边长为8等内容，欢迎下载使用。
专题04 动点相切与最值
典例分析：
典例1
如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，12OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　）

A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°
试题分析：设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数．
答案详解：解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，
∵OD=12OB，
∴∠OBD＝30°，
∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，
当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，
所以选：B．

典例2
如图，已知线段OP交⊙O于点B，且OB＝PB＝4，点A是⊙O上的一个动点，那么点B到直线AP距离的最大值为　2　．

试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明BH=12OT，求出OT的最大值即可解决问题．
答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．

∵∠BHP＝∠OTB＝90°，
∴BH∥OT，
∵BP＝OB，
∴TH＝HP，
∴BH=12OT，
当PA与⊙O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，
所以答案是：2．

实战训练
一．动点与相切
1．如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为　 　s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为3cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为　 　s．

3．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　秒时，⊙P与坐标轴相切．

4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为　 　．

5．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（　　）

A．3 B．43 C．3或43 D．不确定
二．圆中最值与相切
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（　　）

A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
7．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　 　．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．

10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　）

A．2 B．12+3 C．2+1 D．2+22
11．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　．

12．如图①，半径为2的圆O外有一点P，且OP＝6，点A是⊙O上一点，则线段PA长的最大值为 　 　，最小值为 　 　；
问题解决
（2）如图②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F为边AC上的动点，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值．


一．动点与相切
1．如图，半圆O的直径DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t＝0（s）时，半圆O在△ABC的右侧，OC＝6cm，那么，当t为　1或6或11或26　s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．

试题分析：分四种情形分别求解即可解决问题．
答案详解：解：如图，∵OC＝6，DE＝10，
∴OD＝OE＝5，CD＝1，EC＝11，
∴t＝1或11s时，⊙O与直线AC相切；
当⊙O′与AB相切时，设切点为M，连接O′M，
在Rt△BMO′中，BO′＝2MO′＝10，
∴OO′＝6，
当⊙O″与AB相切时，设切点为N，连接O′N，同法可得BO″＝10，OO″＝26，
∴当t＝6或26s时，⊙O与AB相切．
所以答案是1或6或11或26

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，到点A运动停止．以P为圆心作半径为3cm的⊙P，当⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为　43−2或63　s．

试题分析：由矩形的性质和直角三角形的性质得出∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，分两种情况①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时；②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时；由直角三角形的性质即可得出答案．
答案详解：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AB＝43，
∴BD=AB2+AD2=(43)2+122=83=2AB，
∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，
①当⊙P与对角线BD相切，点P在CD上时，如图1所示：
设QD为E，连接PE，则PE⊥BD，
∴∠DPE＝30°，
∴DE=33PE＝1，
∴PD＝2DE＝2，
∴CP＝43−2，
∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，
∴点P的运动时间为43−2（秒），
②当⊙P与对角线BD相切，点P在AD上时，如图2所示：
设QD为F，连接PF，则PF⊥BD，
∵∠ADB＝30°，
∴PD＝2PF＝23，
∴CD+PD＝63，
∵动点P以每秒1cm的速度从点C沿折线C﹣D﹣A匀速运动，
∴点P的运动时间为63秒；
综上所述，⊙P与对角线BD相切时，点P的运动时间为43−2（秒）或63秒；
所以答案是：43−2或63．


3．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　1或3或5　秒时，⊙P与坐标轴相切．

试题分析：设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），求得AB＝22，AC＝22，OB＝OC＝2，推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
答案详解：解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝22，AC＝42，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，

∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB=2，
∴AP＝AB﹣PB=2，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，

∵PB=2，
∴AP＝AB+PB＝32，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝3；
③当点P只与y轴相切时，

∵PC=2，
∴AP＝AC+PC＝52，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
所以答案是：1或3或5．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为　43+6　．

试题分析：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE=3OB=3t，AE＝2AH＝2t，从而得到23+3t＝2t，然后解关于t的方程即可．
答案详解：解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，
∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，
∴AH＝OB＝t，
∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠OBE＝60°，
∴∠OEB＝30°，
在Rt△OBE中，OE=3OB=3t，
在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，
∵A（0，23），
∴OA＝23，
∴23+3t＝2t，
∴t＝43+6．
所以答案是：43+6．

5．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（　　）

A．3 B．43 C．3或43 D．不确定
试题分析：分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
答案详解：解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．

在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB=82−42=43．
综上所述，BP的长为3或43．
所以选：C．
二．圆中最值与相切
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（　　）

A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
试题分析：如图，作CP⊥AB于点P，当C、O、P在同一条直线上时半径最小，利用圆的切线性质得出⊙O的半径r的最小值，进而得出答案．
答案详解：解：如图，作CP⊥AB于点P，
当C、O、P在同一条直线上时半径最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵S△ABC=12AB•CP=12AC•BC，
即5CP＝3×4，
解得：CP=125，
即半径最小值为：1.2，
所以选：D．

7．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
试题分析：取OP的中点N，连接MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=12OQ＝1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．
答案详解：解：设OP与⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，
∵OP＝4，ON＝2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=12OQ=12×2＝1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
所以选：B．

8．如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝　3　．

试题分析：根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
答案详解：解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，
∴PT=OP2−OT2=22−12=3，
故：PT=3．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　32　．

试题分析：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝16，则AB的最大长度为32．
答案详解：解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（6，8），
∴OC=62+82=10，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为6，
∴OP＝OA＝OB＝16，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为32，
所以答案是32．

10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（　　）

A．2 B．12+3 C．2+1 D．2+22
试题分析：延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．
答案详解：解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，

∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE=OC2+CE2=2，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+2．
则AB+BC的最大值是2+1．
所以选：C．
11．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　3　．

试题分析：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=CP2−CQ2=CP2−3，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论．
答案详解：解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，
∴BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ=CP2−CQ2=CP2−3，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为23，
∴PQ的最小值为12−3=3，
所以答案是：3．

12．如图①，半径为2的圆O外有一点P，且OP＝6，点A是⊙O上一点，则线段PA长的最大值为 　8　，最小值为 　4　；
问题解决
（2）如图②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F为边AC上的动点，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求线段PB的距离的最小值．
试题分析：（1）根据三角形三边关系可得；
（2）由PF＝CF＝2得，点P在以F为圆心，半径为2的圆上运动，由（1）结论可得；
（3）设CF＝x，对应PB的最小值为y，建立y和x的函数关系式，从而求得．
答案详解：解：（1）如图，

∵OP﹣OA≤PA≤OP+OA＝OP+OB，
当A运动到B时，PA最大＝PB＝OP+OB＝6+2＝8，
当A运动到C时，PA最小＝OP﹣OC＝6﹣2＝4，
所以答案是8，6；

（2）∵FP＝FC＝2，
∴P点在以F为圆心，半径为2的圆上运动，
∴当B、P、F在一条直线上时，PB最小＝BF﹣PF，
在Rt△BCF中，FC＝2，BC＝8，
∴BF=CF2+BC2=22+82=217，
∴PB的最小值＝217−2，；
（3）设CF＝x，对应BP的最小值为y，
由上知：y＝BF﹣CF=64+x2−x＝64×164+x2+x，
∴当x＝6时，y最小＝10﹣6＝4．