2023宜宾高三上学期第一次诊断测试数学（理）数学试题含答案

宜宾市2020级高三第一次诊断性试题

  数  学（理工类）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则集合的元素个数为

　　A．   B．    C．   D．

2．若复数z满足，则的虚部是

　　A．   B．              C．           D．

3．“”是“”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

4．已知函数，则的大致图象是

A．             B．              C．              D．

5．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是

A．       

B．       

C．       

D．

6．在中，若，则

　  A．   B．    C．       D．

7．已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则

A．       B．         C．        D．

8．“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为

A．     B．　       C．　　　　 D．

9．已知，当取最大值时，则的值为

A．       B．    C．           D．

10．南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：

，则数列的前项和为

A．      B．    

C．       D．

11．已知定义在上的奇函数满足，，则

A． 　　　　 B． 　　　　  C． 　　　　  D．

12．已知，，，则，，的大小关系为

A．    B．     C．       D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．若满足约束条件则的最大值为________.

14．在的展开式中，常数项为_________．（用数字作答）

15．已知函数，方程在区间有且仅有四个根，则正数的取值范围是         ．

16．关于的不等式的解集为，则的最大值是         ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必做题：共60分.

17．（12分）

年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．

(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；

(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写右面2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？

附：

18.（12分）

　　已知正项数列满足，.

(1)计算，，猜想的通项公式并加以证明；

(2)若，求数列的前项和.

19.（12分）

　　的内角，，所对边分别为,,,已知，.

(1)若，求的周长;

(2)若边的中点为，求中线的最大值.

20．（12分）

现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．

(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；

(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，

(i)试证明数列为等比数列；

(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．

21．（12分）

已知函数（）.

(1)，求证：;

(2)证明：.

（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

　　在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

　　(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；

　　(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．

23.（10分）选修4-5：不等式选讲

　　已知函数．

　　(1)当时，解不等式；

(2)当函数的最小值为时，求的最大值．

宜宾市2020级高三第一次诊断性试题（参考答案）

数 学（理工类）

注意：

    一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

    二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13.；          14.；       15. ；       16.

三、              解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（1）供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为..........................................2分

..........................................................................4分

（2）2×2列联表

..........................................................................6分

..........................................................................10分

没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.....................................12分

18. 解：（1）当时，；

当时，；...................................................................2分

猜想........................................................................4分

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立；

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立.........................................................6分

（2），....................................................................8分

..........................................................................12分

19. 解：（1），，，

所以,,......................................................................2分

，.........................................................................4分

，，

...........................................................................6分

（2），，，

，，，.....................................................................8分

，

,当且仅当时，等号成立.

，

...........................................................................12分

20. （1）

；；；.....................................................................4分

所以X的分布列为

..........................................................................5分

所以；.....................................................................6分

(2)（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，

于是有，即，

数列是首项为，公比为的等比数列................................................9分

（ii），所以，..............................................................11分

当时，，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数...................12分

21. 解：（1）先证，

令，，

所以在上单调递增，

所以，

即........................................................................2分

再证，

令，，

，在单调递增，

，即......................................................................4分

（2），

，.........................................................................6分

要证，只需证，

，，.....................................................................7分

要证，即证

令，，

在上单调递增，

，，

所以在区间上存在零点

且在上单调递减，上单调递增，................................................10分

而，

所以

所以，得证..................................................................12分

22.解：（1）由得．

代入，得的普通方程为，.......................................................3分

的极坐标方程为

化简得：...................................................................5分

（2）l的参数方程为（t为参数，t∈R），代入，

得到，.....................................................................7分

∴，，

．

∴成等差数列.................................................................10分

23.解：（1）   

由，得或或..................................................................3分

即或或

的解集为，..................................................................5分

（2）

　　当时取等号，............................................................7分

由柯西不等式得

当，即时取等号．

∴的最大值为．...............................................................10分