2023届上海市奉贤区致远高级中学高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届上海市奉贤区致远高级中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】A

【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得.

【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立

所以x满足时，x一定满足，所以，

又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.

故选：A

2．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

3．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.

4．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据与的关系图可得正确的选项.

【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

二、填空题

5．已知，，则________.

【答案】

【分析】解不等式，求出，从而求出，进而求出交集.

【详解】，解得：，所以，

所以，故.

故答案为：

6．已知log52＝a，5b＝3，用a，b表示log512＝___．

【答案】b+2a

【分析】由题可得，再利用对数的运算法则即得.

【详解】∵5b＝3，

∴，又log52＝a，

∴.

故答案为：.

7．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】由幂函数的性质进行求解即可.

【详解】因为幂函数在区间上是严格减函数，

所以，

故答案为：

8．若，，则_____.

【答案】

【分析】利用诱导公式求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，进而求得.

【详解】，

由于，所以，

所以.

故答案为：

9．设，求方程的解集__________.

【答案】

【解析】分四种情况去绝对值求解即可.

【详解】当时，原方程化为：，

即，

故此时；

当时，原方程化为：，

即，

故此时，与矛盾，舍掉；

当时，原方程化为：，

即，

解得，与矛盾，舍掉；

当时，原方程化为：，

即，

故此时；

综上所述：方程的解集为：.

故答案为：.

10．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于      .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）

【答案】60

【详解】

过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则Rt△ACD中,∠C=30∘，AD=46m，,

根据正弦定理,，

,故答案为60m.

【考点定位】解三角形.

11．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

【详解】解： 因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时；

故答案为：

12．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围为________.（结果用区间表示）

【答案】

【分析】参变分离可得在区间上有解，根据二次函数的性质及不等式的性质求出的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为函数在区间上有零点，

即在区间上有解，在区间上有解，

由，所以，所以，

所以；

故答案为：

13．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.

【答案】7

【分析】根据题意列出对数不等式，根据对数函数的单调行进行求解即可.

【详解】设天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，

则有，

所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，

故答案为：7

14．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．

【答案】6

【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．

【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为6

【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．

15．若，，则________.

【答案】0.8

【分析】先利用诱导公式可知，然后结合可求得，从而可求得，进而求得答案.

【详解】解：由题意得：

由题意得：

由可知：

，即

，即

故可知

故答案为：

16．设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.

【答案】

【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.

【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；

当时，，

当时，，又时，，

存在最小值，满足题意；

当时，在，上单调递减，在上单调递增，

若存在最小值，则，解得：，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

若存在最小值，则，不等式无解；

综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.

三、解答题

17．已知函数，.

（1）的周期是，求，并求的解集；

（2）已知，，，，求的值域.

【答案】（1），或，；（2）.

【分析】（1）利用正弦函数的性质求出的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于的等式，解出即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简，结合的范围和三角函数的性质，从而求出的值域.

【详解】（1）由于的周期是，所以，所以.

令，故或，整理得或.

故解集为或，.

（2）由于，所以.所以

由于，，所以.

，故，故.

所以函数的值域为.

【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．

【详解】(1)由于， ，则．因为，

由正弦定理知，则．

(2)因为，由余弦定理，得，

即，解得，而，，

所以的面积．

19．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0（p∈R）两个实根.

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB＝3，AC＝，求p的值

【答案】（Ⅰ）C＝60°；（Ⅱ）－1－

【详解】（Ⅰ）由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式

△＝（p）2－4（－p＋1）＝3p2＋4p－4≥0

所以p≤－2或p≥

由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p

于是1－tanAtanB＝1－（1－p）＝p≠0

从而tan（A＋B）＝

所以tanC＝－tan（A＋B）＝

所以C＝60°

（Ⅱ）由正弦定理，得

sinB＝

解得B＝45°或B＝135°（舍去）

于是A＝180°－B－C＝75°

则tanA＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝

所以p＝－（tanA＋tanB）＝－（2＋＋1）＝－1－

【解析】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

20．已知函数.

（1）若是偶函数，求实数的值；

（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；

（3）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【分析】（1）由为偶函数，便有（1），从而可以求出；

（2）根据条件便可得到对任意，恒成立，配方便可求出在上的最小值，从而得出的取值范围；

（3）利用定义法证明函数在区间上的单调性，即可得到不等式，解得.

【详解】解：（1）∵，

又∵，∴，

∴解得.

（2）由，得；

对任意的都成立；

设，

时，与单调递增，

在上单调递增，

则

；

；

实数的取值范围为；

（3）任取，则，

即

，

∵，∴，，

∴，而，

∴.

【点睛】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，配方求二次式子的最值的方法，属于中档题.

21．已知a∈R，函数．

(1)当a＝1时，解不等式；

(2)若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值；

(3)设a＞0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或；

(3).

【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；

（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案.

（3）根据题意得出，通过对数的运算转化为任意恒成立，所以只需求函数在上的最小值即可.

【详解】(1)当a＝1时，不等式化为，

∴，即，解得0＜x＜1，

经过验证满足条件，因此不等式的解集为；

(2)由，得，

即，所以，

当时，则，解得x＝1，经过验证此时满足题意；

当时，①若，则a＝，此时解得x＝2．经过验证满足题意；

②若时，方程有两不等实根，设为，显然，

由，得，因为，所以，

即

所以都满足，所以此时不满足题意.

综上可得或；

(3)当a＞0时，对任意，函数在区间上单调递减，

所以，所以，

即任意恒成立，

因为，所以在上单调递增，

所以t＝时，取得最小值，

且最小值为，所以只需，即，

所以实数a的取值范围是．