2023届广东省深圳市福田区福田中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届广东省深圳市福田区福田中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先化简集合,求出即得解.

【详解】解：

所以，所以的元素个数为2.

故选：B.

2．若．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】因为，所以，所以．

故选：D.

3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】[方法一]：【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.

[方法二]：有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

4．函数在区间的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性可排除BD；由时，，可排除C.

【详解】令，则，

为奇函数，图象关于原点对称，可排除BD；

当时，，，，可排除C.

故选：A.

5．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为,所以错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:B.

6．已知，则（    ）

A．25 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．

【详解】因为，，即，所以．

故选：C.

7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据与的关系图可得正确的选项.

【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.

【详解】[方法一]：构造函数

因为当

故，故，所以；

设，

，所以在单调递增，

故，所以，

所以，所以，故选A

[方法二]：不等式放缩

因为当，

取得：，故

，其中，且

当时，，及

此时，

故，故

所以，所以，故选A

[方法三]：泰勒展开

设，则，，

，计算得，故选A.

[方法四]：构造函数

因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，

故选：A．

[方法五]：【最优解】不等式放缩

因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．

故选：A．

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．

二、多选题

9．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2016年至2020年共5年的借阅数据如下表：

根据上表，可得关于的回归直线方程为，下列结论正确的有（    ）A．

B．4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7

C．与的相关系数

D．2023年的借阅量一定为6.6万册

【答案】ABC

【分析】对A，根据回归直线过样本中心点可得；对B，根据百分位数的定义可得75%分位数；对C，根据回归直线的斜率可得的正负；对D，根据回归直线的意义可判断.

【详解】对于A，因为，，所以，得，A正确；

对于B，因为，所以4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，B正确；

对于C，由，可知C正确；

对于D，由A可知回归直线方程为，所以2023年的借阅量约为6.6万册，D错误．

故选：ABC．

10．甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示事件“取出的是红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（    ）

A．事件是两两互斥的事件

B．事件与事件相互独立

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断AB,由概率计算值即可判断CD.

【详解】由题意可得，，，,,

事件是两两互斥的事件，故A正确，

,故事件与事件不是相互独立,故B错误，

，故C选项正确，

,故D错误，

故选：AC

11．已知函数 ，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】CD

【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案

【详解】如图，作出函数的大致图象，

当时， ，

故在点处的切线斜率为 ，

直线过定点，当时，与图象有一个交点；

直线过点时， ，此时与图象有2个交点；

当时，与图象有一个交点；

当时，与图象有2个交点；

综上，当时，与图象有2个交点，

故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4，

故选：CD

12．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．当时，

【答案】AD

【分析】构造函数，根据其单调性可判断A，构造函数可判断B，构造函数可判断C，当时，函数单调递增，然后可得，然后结合A可判断D.

【详解】设，函数单调递增，

∵，∴，即，∴，A正确；

设，∴，不是恒大于等于零，B错误；

设，则，不是恒小于等于零，C错误；

∵，∴，函数单调递增，

∴，

∴，又，

∴，D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．的展开式中的常数项为______.

【答案】

【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.

【详解】由题意的展开式的通项为，

令即，则，

所以的展开式中的常数项为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

14．已知函数，当时，，则的最大值是________．

【答案】##

【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.

【详解】令，解得：；令，解得：；

图象如下图所示，

由图象可知：，，.

故答案为：.

15．若是奇函数，则________．

【答案】

【分析】由奇函数定义域关于原点对称，可知，由此可得时，，进而可解得的值；由可得；代回检验可知满足题意；由此可得的值.

【详解】由得：，又为奇函数，定义域关于原点对称，；

当时，，解得：；

，

由得：，定义域为，

，；

当，时，，

由得：，且，

为奇函数，满足题意；.

故答案为：.

16．若存在直线与函数，的图象都相切，则实数a的最大值为______.

【答案】1

【分析】先由函数图象特征确定a的范围，再设出直线与曲线，相切的切点，利用导数的几何意义建立函数，探求最值作答.

【详解】因存在直线与函数，的图象都相切，由函数，的图象知，

必有函数的图象在的图象及上方，

即，成立，令，，

在单调递增，而，则当时，，当时，，

因此，在上递减，在上递增，，则，

设直线与曲线，相切的切点分别为，

而，于是有：，即，，

该直线方程为，点在此直线上，则，

整理得：，令，求导得：，

显然函数在上单调递减，当时，，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，，即，

所以实数a的最大值为1.

故答案为：1

【点睛】关键点睛：涉及直线与函数图象相切问题，设出切点坐标，借助导数的几何意义求解是解题的关键.

四、解答题

17．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

18．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

（2）依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

期望.

19．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．

【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，可以取20，30，

，，

则的分布列:

所以；

（2）由题意，可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，

则.

20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附，

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）证明见解析；(ii)；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.

【详解】（1）由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）(i)因为，

所以

所以，

(ii)

由已知，，

又，，

所以

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性.

【答案】(1)

(2)函数在上为增函数

【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

（2）利用函数的单调性与导数符号之间的关系可得出结论.

【详解】（1）解：函数的定义域为，，

所以，，，故曲线在点处的切线方程为.

（2）解：，则，

令，其中，

，

所以，函数在上为增函数，

当时，，即，

所以，函数在上为增函数.

22．已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

【答案】(1)

(2)证明见的解析

【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.

【详解】（1）[方法一]：常规求导

的定义域为，则

令,得

当单调递减

当单调递增，

若,则,即

所以的取值范围为

[方法二]：同构处理

由得：

令，则即

令，则

故在区间上是增函数

故，即

所以的取值范围为

（2）[方法一]：构造函数

由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设

要证,即证

因为,即证

又因为,故只需证

即证

即证

下面证明时，

设，

则

设

所以,而

所以,所以

所以在单调递增

即,所以

令

所以在单调递减

即,所以；

综上, ,所以.

[方法二]：对数平均不等式

由题意得：

令，则，

所以在上单调递增，故只有1个解

又因为有两个零点，故

两边取对数得：，即

又因为，故，即

下证

因为

不妨设，则只需证

构造，则

故在上单调递减

故，即得证

【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

这个函数经常出现，需要掌握