2022届北京市第二中学高三上学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022届北京市第二中学高三上学期期中考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届北京市第二中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题
1．设命题，，则为（    ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】根据命题的否定，特称命题的否定为全称命题，∴为“，”．故选．
2．已知复数的虚部为1，且，则可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由待定系数法得到，再根据求得的值，进而得到结果即可.
【详解】因为复数的虚部为1，可设复数，
又，所以整理得，
故，
故选：C
3．函数的图像在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
4．已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
5．已知向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，则的值为（    ）
A．-2 B．- C． D．4
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的定义及运算律即可得出答案.
【详解】解：因为向量为单位向量，，
且向量与向量的夹角为，得，
则.
故选：C.
6．已知参数方程，下列选项的图中，符合该方程的是    （    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的参数方程，令时，可排除A；令时，可排除C和D；结合，可求得，即可求解.
【详解】由题意，参数方程，
当时，可得，所以图象过原点，排除A；
当时，可得，所以图象过点 ，可排除C和D；
当时，可得，解得，
从而得到，所以选项B适合.
故选：B.
7．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（　　）
A．16 B．10 C．12 D．8
【答案】C
【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
【详解】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD.
由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°.
因为F到准线的距离为6，
所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
故选：C.

8．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】连接，根据面面平行的判定定理，可证平面平面，结合题意，可得点P在直线AC上运动，再连接，根据勾股定理，结合图象，即可得答案.
【详解】连接，
因为，，分别是棱，，的中点，
所以，
又平面EFG，平面，
所以平面平面，
因为直线与平面不存在公共点，即平面EFG，且是底面内一动点，
所以点P在直线AC上运动，
连接，
因为底面ABCD，所以，
所以为直角三角形，所以
由图可得当点P位于AC中点时，BP最小，此时，
所以.
故选：D

【点睛】解题的关键在于找到点P的位置，需结合题意及面面平行判定和性质定理解决，考查分析推理，空间想象，数形结合的能力，属中档题.
10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.


二、填空题
11．若，则____________.
【答案】80
【分析】利用赋值法令及计算可得；
【详解】解：令，则，令，则，于是.
故答案为：
12．若双曲线的右顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，则双曲线的离心率为_____.
【答案】
【分析】由已知中双曲线的顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】解：设双曲线的右顶点为，一条渐近线方程为，
则右顶点到其渐近线的距离为，所以，
所以，所以.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
13．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
【答案】①②③
【分析】分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可；
【详解】对于①，单位向量经过奇数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，此时，单位向量与向量同向；
2.最终状态为顺时针旋转，此时，单位向量与向量逆向；
所以，单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；①对；
对于②，单位向量经过偶数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，与向量不同向；
2. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
3. 最终状态为逆时针旋转，与向量同向；
4. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
所以，单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；②对
对于③，单位向量经过变换后得到向量，
由于与属于逆向关系，即单位向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，
才能保证模长不会经过变换改变，因此，③对；
对于④，单位向量经过变换后得到向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，才能保证模长不会经过变换改变，
并且经过变换后最终要得到单位向量逆时针转，
故，其中4次变换要回到单位向量，
由③可得，单位向量经过变换后得到向量，
中有且只有2个变换，满足题意的这2个变换的情况有：
1.两次变换；2. 两次变换；3. 和各一次变换；然后，
据此再讨论这3种情况下的变换，明显地，④错；
故答案为：①②③
【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据题意，分类讨论各种成立的情况，属于难题；

三、双空题
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan()＝2，则sinA的值为______，若B＝，a＝4，则△ABC的面积等于___．
【答案】          16
【分析】利用正切的和与差化简tan()＝2．可得tanA的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sinA的值，由正弦定理可求得b的值，同角三角函数基本关系式求cosA的值，两角和的正弦函数公式求sinC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】∵由tan()＝2，可得：
∴tanA＝，即
又∵cos2A+sin2A＝1
∴解得：sinA＝
∵B＝，a＝4，sinA＝
∴由正弦定理：，可得：
∵tanA＝，sinA＝，即
∴sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×4×＝16．
故答案为：，16
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
15．已知是平面上一点，，．
①若，则____；
②若，则的最大值为____．
【答案】         
【详解】 由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点，
因为，所以，如图所示，
则，

（2）中，因为，
所以，
如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，
此时最大值为，所以的最大值为．

点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

四、解答题
16．已知函数满足下列3个条件中的2个条件：①函数的周期为π；②是函数的对称轴；③且在区间上单调；
（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的最值.
【答案】（Ⅰ）①②成立，理由见解析，；（Ⅱ）的最大值为1；最小值为.
【解析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域，即可得出最值.
【详解】（Ⅰ）由①可得，.    
由②得：，.
由③得，，

若①②成立，则，，.
若①③成立，则，，不合题意.    
若②③成立，则，与③中的矛盾，所以②③不成立.
所以，只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，.    
所以，当时，函数取得最大值1；
当或时，函数取得最小值.
17．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【分析】（解法1）（Ⅰ）因为底面 ，所以，
由底面为长方形，有 ，而，
所以．而，所以 ．
又因为，点 是的中点，所以 ．
而，所以 平面．而 ，所以．
又， ，所以平面 ．
由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 ．
（Ⅱ）如图1，在面内，延长 与交于点 ，则是平面 与平面
的交线．由（Ⅰ）知，，所以．
又因为底面 ，所以．而 ，所以．
故是面 与面所成二面角的平面角，
设， ，有，
在Rt△PDB中, 由, 得,
则 , 解得．
所以
故当面与面 所成二面角的大小为时，．
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以为原点，射线 分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
设， ，则， ，点是 的中点，
所以， ，
于是，即 ．
又已知，而 ，所以．
因, , 则, 所以．
由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 ．

（Ⅱ）由，所以是平面 的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以是平面 的一个法向量．
若面与面 所成二面角的大小为，
则，
解得．所以
故当面与面 所成二面角的大小为时，．
【解析】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角．

18．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.
【详解】试题分析：（1）求导：，利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：（2）利用导数证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：，令，只需证（3）恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知时在（0，1）上恒成立，只需证明当时，在（0，1）上不恒成立，这样就简单多了．
试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：
（2），结论成立
（3）由（2）知时在（0，1）上恒成立
当时，令则
当时，，即当时，在（0，1）上不恒成立
k的最大值为2．
【解析】导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值
【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．

19．体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：
抗生素使用情况
没有使用
使用“抗生素A”疗
使用“抗生素B”治疗
日期
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
体温（）
38.7
39.4
39.7
40.1
39.9
39.2
38.9
39.0

抗生素使用情况
使用“抗生素C”治疗
没有使用
日期
20日
21日
22日
23日
24日
25日
26日
体温（）
38.4
38.0
37.6
37.1
36.8
36.6
36.3

（I）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；
（II）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；
（III）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．
【答案】（I）平均值为（II）分布列见解析，．（III）“抗生素C”治疗效果最佳，理由见解析.
【解析】（I）根据所给表格，可计算体温不低于的各天体温平均值；
（II）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而求得数学期望；
（III）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断.
【详解】（I）由表可知，该患者共6天的体温不低于，记平均体温为，
．
所以，患者体温不低于的各天体温平均值为
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2
，
，
，
则X的分布列为：
X
0
1
2
    
    
    
    

所以．
（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳，理由如下：
①“抗生素B”使用期间先连续两天降温后又回升，“抗生素C”使用期间持续降温共计，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳
②“抗生素B”治疗期间平均体温，方差约为0.0156：“抗生素C”平均体温，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳．
【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法， 分析实际问题方案的解决方法，属于中档题.
20．已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点
【解析】（1）由题意可得方程解方程后即可得解；
（2）设直线，，，假设存在点，设，由题意，联立方程组表示出、，代入即可得解.
【详解】（1）由题意得，解得:，，.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）依题意，若直线的斜率不为零，可设直线，，.
假设存在点，设，由题设，，且，.
设直线，的斜率分别为，，
则，.
因为，在上，
故，，
而轴上任意点到直线，距离均相等等价于“平分”，
继而等价于.
则.
联立，消去得：，
有，.
则，
即，故或（舍）.
当直线的斜率为零时，也符合题意.
故存在点，使得轴上任意点到直线，距离均相等.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.
21．在无穷数列中，，是给定的正整数，，.
(1)若，，写出，，的值；
(2)证明：存在，当时，数列中的项呈周期变化；
(3)若，的最大公约数是，证明数列中必有无穷多项为.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.

【分析】（1）由，，结合，，求出，，；
（2）利用反证法证明，假设，，由于，证得当当时，数列中的项呈周期变化；
（3）利用反证法证明数列中必有“”，再利用综合法证明数列中必有无穷多项为．
【详解】(1)解：由，，，．
得，，，，
，，，，
从第四项开始满足，
故，；
(2)证明：(反证法)假设，，由于，
记，，则，．
则，，
，，，
依次递推，有，，
则由数学归纳法易得，．
当时，，与矛盾．
故存在，使．
数列必在有限项后出现值为0的项；
故存在，当时，数列中的项呈周期变化；
(3)证明：①先证数列中必有“”（反证法）
假设数列中没有“”，由（2）知数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，
，，则必有，于是由，则，因此是的因数，
由，则或，因此是的因数，
依次递推，可得是，的因数，因为，所以这与，的最大公约数是矛盾，
所以数列中必有“”；
②再证数列中必有无穷多项为
假设数列中第一个“”项为是，令，，，
则，
若，则数列中的项从开始依次为“，，0”的无限循环，故有无穷多项为；
若，则，；
若，则进入“，，0”的无限循环，故有无穷多项为；
若，则从开始的项依次为，，，，，，，
必出现连续两个“”，从而进入“，，0”的无限循环，故有无穷多项为；
综合①②知：数列中必有无穷多项为．
【点睛】关键点点睛：主要考查递推数列、合情推理及与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题．