江苏省徐州市2022-2023学年高三数学上学期期中抽测试题（Word版附答案）

2022-2023学年度第一学期高三年级期中抽测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.    C.    D.

2.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（    ）

A.第一象限          B.第二象限         C.第三象限         D.第四象限

3.的展开式中的常数项为（    ）

A.15                B.60               C.80              D.160

4.在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小.降水量的测量方法是从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度.降水量以mm为单位，一般取一位小数.现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中）（    ）

A.  B.  C.  D.

5.从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（    ）

A.3              B.或        C.3或6           D.或6

7.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）

A. B.  C.   D.

8.，，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ）

A.的最小值为2                B.以为直径的圆与直线相切

C.       D.

10.已知函数的最小正周期为，则（    ）

A.

B.的最大值为3

C.在区间上单调增

D.将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称

11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A.曲线在点处的切线方程为

B.不等式的解集为

C.若关于的方程有6个实根，则

D.，，都有

12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（    ）

A.平面                     B.直线与所成的角为60°

C.该截角四面体的表面积为         D.该截角四面体的外接球半径为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量服从正态分布，若，则的值为______.

14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且满足，，则的离心率的值为______.

15.已知，，则的值为______.

16.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到.若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长______cm.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.

（1）求角；

（2）若，为边的中点，且，求的面积.

18.（12分）

已知等差数列的前项和满足是等差数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前20项和.

19.（12分）

为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某校组织了一次党史知识竞赛.已知知识竞赛中有甲、乙、丙三个问题，规则如下：（1）学生可以自主选择这三个问题的答题顺序，三个问题是否答对相互独立；（2）每答对一个问题可以获取本题所对应的荣誉积分，并继续回答下一个问题，答错则不可获取本题所对应的荣誉积分，且停止答题.已知学生答对甲、乙、丙三个问题的概率及答对时获得的相应荣誉积分如下表.

（1）若，求学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率；

（2）针对以下两种答题顺序：①丙、乙、甲；②乙、丙、甲，当满足什么条件时，学生按顺序①答题最后所得荣誉积分的期望较高?

20.（12分）

如图，在四面体中，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

21.（12分）

已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.

（1）若直线过的右焦点，且斜率为，求的面积；

（2）若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.

22.（12分）

已知函数，，.，分别为函数，的导函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，存在实数，同时满足，.

2022~2023学年度高三年级第一学期期中抽测

答案

一、选择题：

1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.C

二、选择题：

9.BC 10.ACD 11.AC 12.BCD

三、填空题：

13.0.3 14.  15.  16.

四、解答题：

17.（1）由余弦定理得，，

即，所以，又因为，所以.

（2）在中，由余弦定理知，，

同理，在中，，

因为，所以，可得，

由余弦定理，即，所以，

所以由三角形面积公式得，.

18.（1）因为是等差数列，所以，所以，

又是等差数列，所以，即，

整理得，，所以，所以的公差为，

此时，，则有，符合题意，

故数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

所以.

19.（1）设“学生按‘甲、乙、丙’的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分”为事件，则

.

答：学生按“甲、乙、丙”的顺序答题并最终恰好获得300荣誉积分的概率为0.28.

（2）设顺序①答题最后所得的荣誉积分为，按顺序②答题最后所得的荣誉积分为，则的所有可能取值为0，300，500，600，的所有可能取值为0，200，500，600.

，，

，，

所以.

，，

，，

所以.

解得.

故当时，学生按顺序①答题最后所得荣誉积分的期望较高.

20.（1）取中点，由可知，，

在中，由可知，，

所以是二面角的平面角，

在中，，

所以是直角三角形，因此，

在中，，，，所以，

所以，故平面平面.

（2）由（1）可知，，，两两互相垂直，

以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则即

取，则，，所以平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，所以.

由图形可知，二面角的余弦值为.

21.（1）将点代入的方程，得，解得，

所以的方程为.直线的方程为，

联立整理得，，解得，

不妨设，，

则，

点到直线的距离为，所以的面积为.

（2）①当直线的斜率存在时，设方程为，

联立整理得，，

设，，则

即，，

直线的方程为，则，

同理，，由可知，，

即，

即，

整理得，，

则，

整理得，，即.

当时，直线，恒过点，不符合题意；

当时，直线，恒过点.

②当直线的斜率不存在时，可设，，

则，即，

此时直线不与相交，不符合题意.综上所述，直线过定点.

22.（1），，

①当时，，函数在上单调增；

②当时，，，函数在上单调减；

，，函数在上单调增.

综上所述，当时，函数在上单调增；

当时，函数在上单调减，在上单调增.

（2），，

由，可知，，所以在上单调增，

又因为，，

所以函数在内存在一个零点，设为，则，即，

又因为，所以，即成立.

对两边同时取对数，得，因此.

故存在，同时满足，.