广东省东莞市南城阳光实验中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省东莞市南城阳光实验中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省东莞市南城阳光实验中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
2．下列哪个图形具有稳定性（　　）
A． B．
C． D．
3．在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．36° B．46° C．54° D．56°
4．若三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．7
5．图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．45° B．62° C．73° D．135°
6．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

A．AB＝BC B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝CD
8．若三角形三个内角度数之比为1：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
9．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（a+b） B．（a﹣b）（a﹣b）
C．（a﹣b）（a+b） D．（﹣a﹣b）（a+b）
10．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分.
11．计算：（﹣4a）2＝　 　．
12．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是　 　．
13．如图，点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，AB＝5，BD＝3，则AE＝　 　．

14．如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AEB＝　 　度．

15．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数为 　 　．

16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　 　．

17．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上中线和高，AE＝2，S△ABD＝2.5，则DC的长是 　 　．

三、解答题（一）：本题共3小题，每小题6分，共18分
18．如图，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：BE＝CD．

19．△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，那么AD⊥BC吗？请说明理由．

20．先化简再求值：b（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝2，b＝3．
四、解答题（二）：本题共3小题，每小题8分，共24分
21．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝120°，求∠ACB的度数．

22．已知10a＝2，10b＝3，求值：
（1）102a+103b；
（2）102a+3b．
23．如图，小华有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别是D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若DE＝6，求梯形ABED的面积．

五、解答题（三）：本题共2小题，每小题10分，共20分
24．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a，宽为b的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为a+b的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题：

（1）图②中，阴影部分的面积是 　 　．
（2）观察图①②，请你写出三个式子：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系：　 　．
（3）应用：已知x+y＝8，xy＝12，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．
25．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）当∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，∠D＝　 　°，∠P＝　 　°；
（2）∠A＝60°，∠D＝　 　°，∠P＝　 　°；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．



参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．下列哪个图形具有稳定性（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
解：A、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
B、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、图形具有稳定性，本选项符合题意；
D、图形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
3．在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．36° B．46° C．54° D．56°
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
解：在一个直角三角形中，一个锐角等于54°，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣54°＝36°．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中两个锐角互余是解题的关键．
4．若三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．7
【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，解不等式，确定x的取值范围，然后可得答案．
解：设第三边长为x，由题意得：5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜7，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
5．图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）

A．45° B．62° C．73° D．135°
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
解：∵两个三角形全等，
∴边长为a的对角是对应角，
∴∠1＝73°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
6．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
7．如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

A．AB＝BC B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝CD
【分析】添加条件AB＝CD可证明AC＝BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A＝∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
解：∵AE∥FD，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
在△AEC和△DFB中，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．若三角形三个内角度数之比为1：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为1：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是20°，60°，100°，则这个三角形一定是钝角三角形．
解：设三角分别为x，3x，5x，
依题意得x+3x+5x＝180°，
解得x＝20°．
∴三个角的度数分别为20°，60°，100°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
9．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（a+b） B．（a﹣b）（a﹣b）
C．（a﹣b）（a+b） D．（﹣a﹣b）（a+b）
【分析】根据平方差公式的结构特征解决此题．
解：A．根据平方差公式的结构特点，（a+b）（a+b）不能用平方差公式，那么A不符合题意．
B．根据平方差公式的结构特点，（a﹣b）（a﹣b）不能用平方差公式，那么B不符合题意．
C．根据平方差公式的结构特点，（a﹣b）（a+b）能用平方差公式，那么C符合题意．
D．根据平方差公式的结构特点，（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）不能用平方差公式，那么D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．
10．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【分析】分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形阴影部分的面积是正确解答的关键．
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分.
11．计算：（﹣4a）2＝　16a2　．
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：（﹣4a）2＝16a2．
故答案为：16a2．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是　11或13　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长＝3+3+5＝11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长＝5+5+3＝13．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．如图，点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌△DEF，AB＝5，BD＝3，则AE＝　7　．

【分析】求出AD的长，再根据全等三角形对应边相等可得DE＝AB，然后根据AE＝AD+DE代入数据计算即可得解．
解：∵AB＝5，BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5，
∴AE＝AD+DE＝2+5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中线段之间的关系是解题的关键．
14．如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AEB＝　80　度．

【分析】根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ACB+∠DBC，代入求出即可．
解：∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，
∴∠ACB＝∠DBC＝40°，
∴∠AEB＝∠ACB+∠DBC＝40°+40°＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质求出∠ACB的度数是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
15．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数为 　105°　．

【分析】先根据三角板的性质得出∠CBD，∠ABD及∠A的度数，再由三角形外角性质即可得出结论．
解：如图，

∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝60°，∠CBD＝45°，∠ABD＝90°
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°，
∴∠α＝∠ABC+∠A＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查的是三角形外角性质，熟知三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和是解答此题的关键．
16．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135°　．

【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
解：∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．

【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
17．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上中线和高，AE＝2，S△ABD＝2.5，则DC的长是 　2.5　．

【分析】根据三角形的面积公式可得BD•AE＝2.5，从而可得BD＝2.5，然后利用三角形的中线定义可得CD＝BD＝2.5，即可解答．
解：∵S△ABD＝2.5，AE⊥BC，
∴BD•AE＝2.5，
∵AE＝2，
∴BD＝2.5，
∵AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（一）：本题共3小题，每小题6分，共18分
18．如图，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：BE＝CD．

【分析】已知图形∠A＝∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，用ASA（还有∠A＝∠A）即可证出△ABE≌△ACD．
19．△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，那么AD⊥BC吗？请说明理由．

【分析】先利用SSS判定△ABD≌△ACD，从而得到∠ADB＝∠ADC，再利用两角互补，所以得到AD⊥BC．
解：AD⊥BC．
∵AD是连接点A与BC中点D的支架，
∴BD＝DC，
∵AB＝AC，AD＝AD，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SSS）
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．先化简再求值：b（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝2，b＝3．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
解：b（a﹣b）+（a+b）2
＝ab﹣b2+a2+2ab+b2
＝3ab+a2，
当a＝2，b＝3时，原式＝3×2×3+22
＝18+4
＝22．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
四、解答题（二）：本题共3小题，每小题8分，共24分
21．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝120°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据高的定义求得∠ADB为直角，结合∠A＝70°即可求出∠ABD的度数；
（2）首先根据外角的性质求出∠DCE的度数，再结合角平分线的定义求出∠DBC的度数，进而求出∠ABC的度数．
解：（1）在△ABC中，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠A＝20°；
（2）在△EDC中，
∵∠BEC＝∠BDC+∠DCE，且∠BEC＝120°，∠BDC＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB＝2∠DCE＝60°，
∴∠ACB＝60°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
22．已知10a＝2，10b＝3，求值：
（1）102a+103b；
（2）102a+3b．
【分析】（1）把原式化为（10a）2+（10b）3进行计算即可；
（2）把原式化为102a×103b进行计算．
解：（1）∵10a＝2，10b＝3，
∴原式＝（10a）2+（10b）3
＝22+33
＝4+27
＝31；
（2）∵10a＝2，10b＝3，
∴原式＝102a×103b
＝（10a）2×（10b）3
＝22×33
＝4×27
＝108．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
23．如图，小华有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别是D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若DE＝6，求梯形ABED的面积．

【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，根据三角形的内角和定理和邻补角得出∠DAC＝∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB；
（2）根据△ACD≌△CBE得出CD＝BE，AD＝CE，得DE＝AD+BE．根据梯形面积公式则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD，即DE＝AD+BE．
∴梯形ABED的面积为：（BE+AD）•DE＝DE2＝62＝18．
【点评】本题考查了梯形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是证明三角形全等．
五、解答题（三）：本题共2小题，每小题10分，共20分
24．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为a，宽为b的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为a+b的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题：

（1）图②中，阴影部分的面积是 　（a﹣b）2　．
（2）观察图①②，请你写出三个式子：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系：　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　．
（3）应用：已知x+y＝8，xy＝12，求值：①（x﹣y）2；②x﹣y．
【分析】（1）表示出阴影部分的边长即可得答案；
（2）用两种方法表示四个长方形面积可得答案；
（3）应用（2）的结论，可得答案．
解：（1）阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，
∴阴影部分的面积是（a﹣b）2；
故答案为：（a﹣b）2；
（2）由图可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）∵x+y＝8，xy＝12，
∴①（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝82﹣4×12＝16，
②x﹣y＝±4．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式．
25．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）当∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，∠D＝　115　°，∠P＝　65　°；
（2）∠A＝60°，∠D＝　120　°，∠P＝　60　°；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．

【分析】（1）（2）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的内角和定理可得出∠BDP的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出∠BPC的度数；
（3）根据（1）中∠D与∠P的式子即可得出结论．
解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°−∠A，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，∠A＝50°，
BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°−∠A）＝90°−∠A，
在△BCD中，
∠BDC＝180°−（∠DBC+∠DCB）
＝180°−（90°−∠A）
＝90°+∠A
＝90°+25°
＝115°；
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP＝∠CBE，∠BCP＝∠BCF，
∴∠CBP+∠BCP
＝∠CBE+∠BCF
＝（∠CBE+∠BCF）
＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝（180°+∠A），
∴∠BPC＝180°−（∠CBP+∠BCP）
＝180°−（180°+∠A）
＝90°−∠A
＝90°−50°
＝65°．
故答案为：115，65．
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°−∠A，
∴∠CBP+∠BCP
＝∠CBE+∠BCF
＝（∠CBE+∠BCF）
＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝（180°+∠A），
＝90°+30°
＝120°；
∴∠BPC＝180°−（∠CBP+∠BCP）
＝90°−∠A
＝90°﹣30°
＝60°，
故答案为：120，60；
（3）∠D+∠P的值不变．
∵由（1）知∠D＝90°+∠A，∠P＝90°−∠A，
∴∠D+∠P＝180°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．