高考数学一轮复习考点规范练43圆的方程含解析新人教A版文

考点规范练43　圆的方程

基础巩固

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=1  B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2

答案:D

解析:由题意可得圆的半径r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)

A.2 B.1 C. D.

答案:B

解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.

3.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆

C.抛物线 D.直线

答案:A

解析:以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.

设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.

4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1

答案:A

解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得

因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.

5.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为(　　)

A.2 B.-2

C.1 D.-1

答案:D

解析:曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,

解得m=-1,故选D.

6.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　　; 

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　　. 

答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2　(2)-1-

解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,

则△BPC为直角三角形,

得|BC|=r==b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.

(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1.

圆C在点B处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,即切线在x轴上的截距为-1-.

7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=　　　　　. 

答案:

解析:由题意知,圆的半径r=≤1.

当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=.

8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x-2)2+y2=9

解析:设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),

则,即a=2.

又点M(0,)在圆C上,则圆C的半径r==3.

故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.

9.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.

解:(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,

即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,

根据已知条件得

解得

因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.

由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.

故P点的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设P(x0,y0),由已知得.

又P在双曲线y2-x2=1上,从而得

由此时,圆P的半径r=.

由此时,圆P的半径r=.

故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.

能力提升

11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)

A.2 B. C. D.

答案:A

解析:如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,

则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),

∵,

∴,

两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,ymax=2,△PAB面积的最大值是×2×2=2,故选A.

12.(2020全国Ⅱ,文8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由题意可知,圆心在第一象限.

设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,

解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),

此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=.

当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=.

综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为.故选B.

13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为　　　　　　　　　　. 

答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4

解析:设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

由题意可得解得

所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.

14.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.

(1)求的坐标;

(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.

解:(1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,=0,

得解得

若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.

∴舍去,即=(6,8).

(2)圆x2-6x+y2+2y=0,

即(x-3)2+(y+1)2=()2,

其圆心为C(3,-1),半径r=.

∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),

∴直线OB的方程为y=x.

设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),

则解得

故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

高考预测

15.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x-2)2+(y-1)2=5

解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.

因为△OPQ为直角三角形,

所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.