2022年九年级中考数学考点分级狂刷练习——一元二次方程——根的判别式

这是一份2022年九年级中考数学考点分级狂刷练习——一元二次方程——根的判别式，共14页。试卷主要包含了下列方程中，没有实数根的是方程， 关于x的方程x2+，关于x的一元二次方程x2+，求证等内容，欢迎下载使用。
A.只有一个实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
2.下列方程中，没有实数根的是方程（ ）
A.-3x2+2x+10=0B.2x2+8x-3=0
C.3x2+2x=1D.x2+3x+3=0
若一元二次方程mx+x2+2=0有两个相等的实数根，则m=___ ．
一元二次方程x2+3x-2=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
5. 关于x的方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.1
6. 若关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
7.关于x的一元二次方程x2+（k-3）x+1-k=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.无法确定
8.已知关于x的方程k2x2-2（k+1）x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
9.若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根．
10.求证：无论k取何值时，关于x的一元二次方程x2-2x+k2+4k+7=0都没有实数根．
11.关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+3m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你给出一个m的值，并求出此时方程的根．
12.已知一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-m=0．求证：此方程有两个不相等的实数根；
已知关于x的方程x2-（2k+1）x+（3k-1）=0．
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根．
14.已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．
（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
15.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- 34 ）=0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．
16.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+ 12 k2-2=0．求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
17.已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2 k+1 x=1有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；（2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
18.已知关于x的方程ax2+（3-2a）x+a-3=0．求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
19.已知关于x的一元二次方程（n+2）x2-4nx+4（n-2）=0（n＞-2）．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）直接写出该方程的两根___ ．
（3）当方程的两根都是整数时，求整数n的值．
已知：关于x的方程x2-2（k+2）x+k2-2k-2=0
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，求k的值．
中考数学考点分级狂刷——一元二次方程——9 根的判别式
参考答案与试题解析
第一级 夯实基础
（3分）一元二次方程2x2-3x+1=0根的情况是（ ）
A.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
【正确答案】：B
【解析】：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】∵Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
（3分）下列方程中，没有实数根的是方程（ ）
A.-3x2+2x+10=0
B.2x2+8x-3=0
C.3x2+2x=1
D.x2+3x+3=0
【正确答案】：D
【解答】
Δ=b2-4ac=22-4×（-3）×10=124＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、Δ=b2-4ac=82-4×2×（-3）=88＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、Δ=b2-4ac=22-4×3×（-1）=16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；
D、Δ=b2-4ac=32-4×1×3=-3＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
3.（3分）若一元二次方程mx+x2+2=0有两个相等的实数根，则m=___ ．
【正确答案】：± 22
【解析】：根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，最后即可求出m的值．
【解答】∵mx+x2+2=0，
∴x2+mx+2=0，
a=1，b=m，c=2，
∵方程有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=0，
∴m2-4×1×2=0，
即m2=8，
∴m= ±22 ．
故答案为： ±22 ．
【点评】：本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够根据一元二次方程有两个相等的实数根得到b2-4ac=0，从而正确求得m的值．
（3分）一元二次方程x2+3x-2=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
【正确答案】：C
【解析】：先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】∵△=32-4×1×（-2）=17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
（3分）关于x的方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A.-2
B.-1
C.0
D.1
【正确答案】：C
【解析】：根据判别式的意义得到Δ=（2k-1）2-4k2＞0，再解不等式得到k的范围，然后在此范围内找出k的最大整数值．
【解答】根据题意得Δ=（2k-1）2-4k2＞0，
解得k＜ 14 ，
所以k的最大整数值为0．
故选：C．
（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
【正确答案】：D
【解析】：根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×1×c＞0，解之可得答案．
【解答】根据题意，得：Δ=42-4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
（3分）关于x的一元二次方程x2+（k-3）x+1-k=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
【正确答案】：A
【解答】△=（k-3）2-4（1-k）
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=（k-1）2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
（6分）已知关于x的方程k2x2-2（k+1）x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【解答】（1）根据题意得k2≠0且Δ=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0，
解得：k≥- 12 且k≠0；
（2）∵k≥- 12 且k≠0，k为符合条件的最小整数，
∴k=1，
故x2-4x+1=0，
则x2-4x+4=-1+4，
故（x-2）2=3，
则x-2=± 3 ，
解得：x1=2+ 3 ，x2=2- 3 ．
（6分）若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根．
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根．
【解答】（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，
解得：b=2或b=-10．
（2）当b=2时，
此时x2+4x+4=0，
∴x1=x2=-2
（6分）求证：无论k取何值时，关于x的一元二次方程x2-2x+k2+4k+7=0都没有实数根．
【解析】：根据根的判别式即可求出答案．
【解答】由题意可知：△=4-4（k2+4k+7）
=4-4k2-16k-28
=-4k2-16k-24
=-4（k2+4k+6），
∵k2+4k+6=k2+4k+4+2=（k+2）2+2＞0，
∴△＜0，
∴无论k取何值时，该方程都没有实数根；
第二级 强化提高
（6分）关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+3m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个m的值，并求出此时方程的根．
【解答】：
（1）证明：x2+（m+3）x+3m=0，
Δ=（m+3）2-4×1×3m=m2-6m+9=（m-3）2，
∵不论m为何值，（m-3）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）取m=0，
方程为x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=-3．
（6分）已知一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-m=0．
求证：此方程有两个不相等的实数根；
【解答】由题意有△=[-（2m-1）]2-4（m2-m）=1＞0．
∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（6分）已知关于x的方程x2-（2k+1）x+（3k-1）=0．
（1）求证：无论k取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为1时，求k的值及该方程的另一个根．
【解答】：
（1）证明：∵方程x2-（2k+1）x+（3k-1）=0是一元二次方程，
∴Δ=（2k+1）2-4（3k-1）=4（k-1）2+1＞0，
∴无论k为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=1代入关于x的方程x2-（2k+1）x+（3k-1）=0，得
关于x的方程12-（2k+1）+（3k-1）=0．
解得k=1．
设方程的另一根是x2，则1•x2=3k-1=2，
解得x2=2．
即k的值是1，该方程的另一个根是2．
（6分）已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
【解答】
（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根，
∴Δ=（-3）2-4（a-1）=-4a+13≥0，
解得：a≤ 134 ，
即a的取值范围是a≤ 134 ；
（2）∵a的取值范围是a≤ 134 ，
∴整数a的最大值是3，
把a=3代入方程x2-3x+a-1=0得：x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2．
（6分）已知关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- 34 ）=0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】
证明： △=−2k+12−4×5k−34=4k−22 ，
∵4（k-2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
∵△ABC是等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个为4，
① 当b=c时，Δ=4（k-2）2=0，则k=2，
方程化为 x2−5x+254=0 ，
解得 x1=x2=52 ，
而 52+52=5＞4 ，
∴ 52 、 52 、4能够成三角形；△ABC的周长为 52+52+4=9 ；
② 当b=a=4或c=a=4时，
把x=4代入方程，得 16−42k+1+5k−34=0 ，
解得 k=114 ，
方程化为 x2−132x+10=0 ，
解得 x1=52 ，x2=4，
∵4、4、 52 能够成三角形，
∴△ABC的周长为 4+4+52=212 ．
综上所述，△ABC的周长为9或 212 ．
【点评】：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
（6分）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+ 12 k2-2=0．
求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
【解答】∵Δ=[-（2k+1）]2-4×1×（ 12 k2-2）
=4k2+4k+1-2k2+8
=2k2+4k+9
=2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（6分）已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2 k+1 x=1有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
【解答】
（1）方程整理为（1-2k）x2-2 k+1 x-1=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-2 k+1 ）2-4×（1-2k）×（-1）＞0，
解得k＜2，
又1-2k≠0，k+1≥0，
解得k≠ 12 ，k≥-1
∴-1≤k＜2且k≠ 12 ；
（2）根据题意知Δ=（-2 k+1 ）2-4×（1-2k）×（-1）=0，
解得k=2，
则方程为-3x2-2 3 x-1=0，即3x2+2 3 x+1=0，
则（ 3 x+1）2=0，
∴ 3 x+1=0，
解得x1=x2=- 33 ．
（6分）已知关于x的方程ax2+（3-2a）x+a-3=0．
求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
【解答】：证明： ① 当a=0时，方程为3x-3=0，是一元一次方程，有实数根；
② 当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3-2a）x+a-3=0中，Δ=（3-2a）2-4a（a-3）=9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（6分）已知关于x的一元二次方程（n+2）x2-4nx+4（n-2）=0（n＞-2）．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）直接写出该方程的两根___ ．
（3）当方程的两根都是整数时，求整数n的值．
【解答】
（1）∵Δ=（-4n）2-4×4（n-2）（n+2）=64＞0，
∴关于x的一元二次方程（n+2）x2-4nx+4（n-2）=0（n＞-2）一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x= 4n±642n+2 ，
∴x1=2，x2= 2n−4n+2 ，
故答案为：x1=2，x2= 2n−4n+2 ；
（3）∵方程的两根都是整数，n＞-2，
∴n=-1或6或0或2；
20.（6分）已知：关于x的方程x2-2（k+2）x+k2-2k-2=0
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，求k的值．
【解答】
（1）∵关于x的方程x2-2（k+2）x+k2-2k-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=[-2（k+2）]2-4×1×（k2-2k-2）=24k+24＞0，
解得：k＞-1；
（2）∵方程x2-2（k+2）x+k2-2k-2=0的一个根为1，
∴把x=1代入方程得：1-2（k+2）+k2-2k-2=0，
解得：k=5或-1，
∵△=24k+24≥0，
∴k=5或-1都符合，
即k=5或-1．