2022年人教版四川省乐山市中考数学试卷

2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）下面四个数中，比0小的数是　　
A． B．1 C． D．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是　　
A． B． C． D．
5．（3分）关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为　　
A． B． C．1 D．
6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为　　

A．88 B．90 C．91 D．92
7．（3分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为　　

A．4 B．3 C． D．2
8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是　　

A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
9．（3分）如图，在中，，，点是上一点，连结．若，，则的长为　　

A． B．3 C． D．2
10．（3分）如图，等腰的面积为，，．作且．点是线段上一动点，连结，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为　　

A． B．3 C． D．4
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）　　．
12．（3分）如图，已知直线，，．则　　．


13．（3分）已知菱形的两条对角线、的长分别是和．则菱形的面积为 　　．
14．（3分）已知，则　　．
15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形的边长为 　　．

16．（3分）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则　　．

三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）．
18．（9分）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 　　．
解不等式②，得 　　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为 　　．
19．（9分）如图，是线段的中点，，．求证：．

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）先化简，再求值：，其中．
21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：．文学鉴赏，．趣味数学，．川行历史，．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 　　．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 　　．
．随机抽取八年级三班的40名学生
．随机抽取八年级40名男生
．随机抽取八年级40名女生
．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点，且与关于直线对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

24．（10分）如图，线段为的直径，点、在上，，过点作，垂足为点．连结交于点．
（1）求证：；
（2）已知的半径为6，，延长至点，使．求证：是的切线．

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形中，．求证：．
证明：设与交于点，
四边形是正方形，
，．
，
，
．
．
，
．
．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．则　　．
【拓展应用】
如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值．



26．（13分）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标；
（3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点．设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．


2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）下面四个数中，比0小的数是　　
A． B．1 C． D．
【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
【解答】解：，
比0小的数是．
故选：．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
3．（3分）点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．
【解答】解：，横坐标为，纵坐标为：2，
点在第二象限．
故选：．
4．（3分）一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可知存在种可能性，其中抽到黑球的有6种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
【解答】解：一个布袋中放着6个黑球和18个红球，
从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是，
故选：．
5．（3分）关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为　　
A． B． C．1 D．
【分析】直接把代入一元二次方程即可求出的值，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：方程的其中一个根是1，
，解得，
两根的积为，
两根的积为，
故选：．
6．（3分）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照如图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为　　

A．88 B．90 C．91 D．92
【分析】根据加权平均数的计算公式进行解答即可．
【解答】解：李老师的综合成绩为：（分；
故选：．
7．（3分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为　　

A．4 B．3 C． D．2
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合三角形及平行四边形的面积公式计算可求解．
【解答】解：在平行四边形中，，
，，
，
，，，
，
解得，
故选：．
8．（3分）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（千米）与所用的时间（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是　　

A．前10分钟，甲比乙的速度慢
B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C．甲的平均速度为0.08千米分钟
D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【分析】观察函数图象，逐项判断即可．
【解答】解：由图象可得：前10分钟，甲的速度为（千米分），乙的速度是（千米分），
甲比乙的速度慢，故正确，不符合题意；
经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故正确，不符合题意；
甲40分钟走了3.2千米，
甲的平均速度为（千米分钟），故正确，不符合题意；
经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，
甲比乙走过的路程多，故错误，符合题意；
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，点是上一点，连结．若，，则的长为　　

A． B．3 C． D．2
【分析】过点作于，由锐角三角函数的定义可得，再解直角三角形可求得的长，利用勾股定理可求解的长，进而求解的长．
【解答】解：过点作于，

，，
，，
，
在中，，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，等腰的面积为，，．作且．点是线段上一动点，连结，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为　　

A． B．3 C． D．4
【分析】如图，过点作于点．当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为，点的运动轨迹是的中位线，，利用相似三角形的性质求出可得结论．
【解答】解：如图，过点作于点．

当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为，
点的运动轨迹是的中位线，，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
△，
，
，

故选：．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）　6　．
【分析】根据绝对值的化简，由，可得，即得答案．
【解答】解：，
则，
故答案为6．
12．（3分）如图，已知直线，，．则　　．


【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，，
则，
，
，
故答案为：．
13．（3分）已知菱形的两条对角线、的长分别是和．则菱形的面积为 　24　．
【分析】根据菱形的面积对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
【解答】解：菱形的两条对角线、的长分别是和，
菱形的面积是，
故答案为：24．
14．（3分）已知，则　4　．
【分析】根据完全平方公式得出和的值即可得出结论．
【解答】解：，
，
即，
，，
，
故答案为：4．
15．（3分）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形” 的周长为26，则正方形的边长为 　5　．

【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
依题意得：，
解得：，
，
即正方形的边长为5．
故答案为：5．
16．（3分）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则　3　．

【分析】连接、，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，进而求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
【解答】解：设与轴交于点，连接、，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：3．

三、大题共3个小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）．
【分析】分别利用特殊角的三角函数值，算术平方根的定义及负整数指数的定义运算，然后合并即可求解．
【解答】解：原式
．
18．（9分）解不等式组．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 　　．
解不等式②，得 　　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

所以原不等式组解集为，
故答案为：，，．
19．（9分）如图，是线段的中点，，．求证：．

【分析】根据判定定理直接判定两个三角形全等．
【解答】证明：点为线段的中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
．．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：


，
当时，原式．
21．（10分）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【分析】设摩托车的速度为千米小时，则抢修车的速度为千米小时，根据时间路程速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设摩托车的速度为千米小时，则抢修车的速度为千米小时，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米小时．
22．（10分）为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：．文学鉴赏，．趣味数学，．川行历史，．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据；④结合统计图分析数据并得出结论．
（1）请对张老师的工作步骤正确排序 　①③②④　．
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 　　．
．随机抽取八年级三班的40名学生
．随机抽取八年级40名男生
．随机抽取八年级40名女生
．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．

【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；
（2）根据抽样调查的特点解答即可；
（3）根据样本估计总体思想解答即可．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：①③②④，
故答案为：①③②④；
（2）根据抽样调查的特点易判断出：，
故答案为：；
（3）由条形统计图可估计，八年级学生中选择趣味数学的人数为：
（人，
，
答：至少应该开设5个班．
五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点，且与关于直线对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）将点坐标代入直线解析式，求出的值，确定点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
（2）通过已知条件求出直线解析式，用的面积的面积解答即可．
【解答】解：点在直线上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）易知直线与、轴的交点分别为，，
直线经过点，且与关于直线对称，
直线与轴的交点为，
设，则，
解得：，
，
与轴的交点为，
阴影部分的面积的面积的面积．

24．（10分）如图，线段为的直径，点、在上，，过点作，垂足为点．连结交于点．
（1）求证：；
（2）已知的半径为6，，延长至点，使．求证：是的切线．

【分析】（1）证明可得结论；
（2）证明可得，从而得结论．
【解答】证明：（1）连接，
线段为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，交于，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．
25．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形中，．求证：．
证明：设与交于点，
四边形是正方形，
，．
，
，
．
．
，
．
．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．则　　．
【拓展应用】
如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值．



【分析】（1）过点作交于点，作交的延长线于点，利用正方形，，求证即可；
（2）过点作交于点，作交的延长线于点，利用在长方形中，，求证．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点作于点．设交于点．证明，推出，可得结论．
【解答】解：（1）结论：．
理由：如图1中，过点作交于点，作交的延长线于点，

，，
在正方形中，，，
，
，
，
在和中，，，，
，
，即，
；

（2）如图2中，过点作交于点，作交的延长线于点，

，，
在长方形中，，，
，
，
．
．
，
，，
．
故答案为：；

（3）如图3中，过点作于点．设交于点．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
26．（13分）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标；
（3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点．设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．

【分析】（1）在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点在第三象限和第一象限两种情形．当点在第三象限时，设点，可表示出的面积，当点在第三象限时，作交于，先求出直线，从而得出点坐标，从而表示出的面积，根据，列出方程，进一步求得结果，当在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据，得出，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
（2）设点，

如图1，当点在第三象限时，作交于，
，，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，轴，，
点，
，
，
，
，
（舍去），，
当时，，
，，

如图2，当点在第一象限时，
作轴于，交直线于，

，
，
，
，（舍去），
当时，，
，，
综上所述：，或，；
（3）如图3，

作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，．
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