辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市金普新区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市金普新区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
3．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．（a3）2＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．（ab2）3＝ab6
5．如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（　　）

A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
6．用直尺和圆规操作一个角等于已知角的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
7．到三角形三条边的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点
B．两条高的交点
C．两条角平线的交点
D．两条边的垂直平分线的交点
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是（　　）

A．AG＝DG B．AD⊥EF且EG＝FG
C．DE⊥DF D．DE∥AC
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，则BC和CE的数量关系是（　　）

A．BC＝CE B．BC＝2CE C．BC＝3CE D．无法确定
10．如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（　　）

A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的顶角为20°，则底角的度数为 　 　°．
12．a4（am）2＝al6，则m的值为 　 　．
13．已知（x2﹣6x+1）（x+m）的结果中不含x2项，则m＝　 　．
14．与单项式3a的积是12a3﹣6a2+3a的多项式是 　 　．
15．如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝　 　°．

16．如图，三角形纸片中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　 　．

三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18、19、20题各8分，共30分）
17．求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝﹣．
18．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．

19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
20．如图，点M，N是∠AOB内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）求作点P，使PM＝PN，且点P到OA，OB的距离相等．

四、解答题（本题共5小题，其中21题8分，22题10分，共18分）
21．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

22．如图，AD是△ABC的角平分线，且D是BC的中点．求证：AB＝AC．

23．如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．

24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．
（1）求证：∠CBE＝45°；
（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．

25．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC外一点，DC⊥AC，连接BD．

（1）如图1，当∠DBC＝45°时，求证：DC＝AC；
（2）如图2，当DC＝AC时，写出BD与AB的位置关系，并证明．



参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别根据轴对称图形的定义即可判断；
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10
【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
解：A、2+5＝7，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
C、4+5＞6，能组成三角形，符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
3．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
解：360°÷60°＝6．
故这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．（a3）2＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．（ab2）3＝ab6
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2•a6＝a8，故A符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故C不符合题意；
D、（ab2）3＝a3b6，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是（　　）

A．OB＝OC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．OB＝OC，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△AOB≌△DOC，故本选项符合题意；
B．AB＝DC，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△AOB≌△DOC，故本选项不符合题意；
C．∠A＝∠D，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项不符合题意；
D．∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，OA＝OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6．用直尺和圆规操作一个角等于已知角的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】用直尺和圆规操作一个角等于已知角实际上作两个三角形的三条对应边相等，利用全等三角形的性质得到对应角相等．
解：用直尺和圆规操作一个角等于已知角的依据是“SSS“．
故选：B．
【点评】本题考查了作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
7．到三角形三条边的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点
B．两条高的交点
C．两条角平线的交点
D．两条边的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，则下列关系正确的是（　　）

A．AG＝DG B．AD⊥EF且EG＝FG
C．DE⊥DF D．DE∥AC
【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，证出Rt△AED≌Rt△AFD，推出AF＝AE，根据等腰三角形的性质得出答案即可．
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和t△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴EG＝GF，AG⊥EF．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，则BC和CE的数量关系是（　　）

A．BC＝CE B．BC＝2CE C．BC＝3CE D．无法确定
【分析】连接AE，利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝30°，然后利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠B＝∠BAE＝30°，进而可得∠EAC＝30°，最后利用含30度角的直角三角形的性质可得AE＝2EC，从而可得BE＝2EC，即可解答．
解：连接AE，

∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠BAE＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝30°，
∴AE＝2EC，
∴BE＝2EC，
∴BC＝3CE，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（　　）

A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【分析】作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GOH是等边三角形，即可求解．
解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，
由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．等腰三角形的顶角为20°，则底角的度数为 　80　°．
【分析】根据等腰三角形的顶角等于20°，利用等腰三角形底角相等及三角形内角和定理求解即可．
解：∵等腰三角形的顶角等于20°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴每个底角等于（180°﹣20°）×＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．
12．a4（am）2＝al6，则m的值为 　6　．
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出2m+4＝16，再求出答案即可．
解：∵a4（am）2＝al6，
∴a4•a2m＝a16，
∴a2m+4＝a16，
∴2m+4＝16，
解得：m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，能熟练掌握同底数幂的乘法法则是解此题的关键．
13．已知（x2﹣6x+1）（x+m）的结果中不含x2项，则m＝　6　．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合不含x2项，即其系数为0，从而可求解．
解：（x2﹣6x+1）（x+m）
＝x3+mx2﹣6x2﹣6mx+x+m
＝x3+（m﹣6）x2+（﹣6m+1）x+m，
∵结果中不含x2项，
∴m﹣6＝0，
解得：m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含x2项，则其系数为0．
14．与单项式3a的积是12a3﹣6a2+3a的多项式是 　4a2﹣2a+1　．
【分析】计算（12a3﹣6a2+3a）÷3a便可得出答案．
解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1．
故答案为：4a2﹣2a+1．
【点评】本题考查整式除法，掌握除法法则是解题关键．
15．如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝　120　°．

【分析】由三角形的内角和可求得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义可得∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，则可求得∠CBO+∠BCO＝60°，再利用三角形的内角和可得∠BOC＝120°．
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵△ABC的角平分线BD、CE交于点O，
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°，
∴∠BOC＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
16．如图，三角形纸片中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　b+c﹣a　．

【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，即可求解．
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝a，
∵AB＝c，
∴AE＝AB﹣BE＝c﹣a，
∴△AED的周长＝AD+AE+DE＝AC+AE＝b+c﹣a，
故答案为：b+c﹣a．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键．
三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18、19、20题各8分，共30分）
17．求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后把x＝﹣代入求出即可．
解：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），
＝﹣2x2+x
＝x（﹣2x+1），
当x＝﹣时，原式＝﹣×[﹣2×（﹣）+1]＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的化简求值，主要考查学生的化简和计算能力，注意：先算乘法（有括号先去括号），再算加减（就是合并同类项），最后代入计算即可（先算乘方，再算乘法，最后算加法）．
18．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．

【分析】根据AAS，可得△ABE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得答案．
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴AC＝AB（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据AAS判定三角形全等，在判定对应边相等．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，4），B1（3，2），C1（1，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．如图，点M，N是∠AOB内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）求作点P，使PM＝PN，且点P到OA，OB的距离相等．

【分析】（1）利用基本作图，（作一个角等于已知）作∠A'O'B'＝∠AOB；
（2）利用基本作图作OC平分∠AOB；
（3）作线段MN的垂直平分线交OC于P点．
解：（1）如图2，∠A'O'B'为所作；
（2）如图1，OC为所作；
（3）如图1，点P为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
四、解答题（本题共5小题，其中21题8分，22题10分，共18分）
21．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝EF，从而求出EF＝BE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，
∴EC＝EF，
∵EB＝EC，
∴EF＝BE，
又∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AD，
∴AE是∠DAB平分线．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记两个性质并作出辅助线是解题的关键．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，且D是BC的中点．求证：AB＝AC．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE＝DF，然后证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），可得∠B＝∠C，即可解决问题．
【解答】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
23．如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．

【分析】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题．
解：AC＝BD+CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，

∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【点评】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了等腰三角形的性质，本题中求证CD＝DE是解题的关键．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．
（1）求证：∠CBE＝45°；
（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．

【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可证明∠ABC＝∠C＝∠DAB，而∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，则∠CBE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°；
（2）延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，因为AB＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可证明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可证明∠G＝∠DAB，则∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝EH．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，
∴∠BDC＝∠FDC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠C＝∠DAB，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°.
（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，
证明：延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，
∵AB＝AC，
∴AB+AG＝AC+AE，
∴BG＝CE，
∵BF＝CE，
∴BG＝BF，
在△EBG和△EBF中，
，
∴△EBG≌△EBF（SAS），
∴∠G＝∠F，
∵∠G＝∠AEG，
∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，
∴∠G＝∠DAB，
∴∠G＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∵∠HEC＝∠DEF，
∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，
∴BH⊥EH，
∵∠HEB＝∠HBE＝45°，
∴BH＝EH．

【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是△ABC外一点，DC⊥AC，连接BD．

（1）如图1，当∠DBC＝45°时，求证：DC＝AC；
（2）如图2，当DC＝AC时，写出BD与AB的位置关系，并证明．

【分析】（1），（2）由条件可判定A、B、C、D在同一个圆上，应用圆周角定理即可证明；
【解答】（1）证明：∵AC⊥DC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∴A、B、C、D在同一个圆上，连接AD，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∠CAD＝∠DBC＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝DC；
（2）BD⊥AB，
证明：DC⊥AC，AC＝DC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠CAD＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴A、B、C、D在同一个圆上，
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴BD⊥AB．



【点评】本题考查圆的有关知识，关键是由条件证明A、B、C、D在同一个圆上，由圆周角定理解决问题．