2023届高三数学一轮复习大题专练12导数有解问题2

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一轮大题专练12—导数（有解问题2）1．已知函数，，，．（1）当时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．解：（1）证明：当时，，则，，因为，，所以，，因此，所以在，上单调递增，于是，因此在，上单调递增，所以 ．（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，此时函数仅有1个零点，当时，因为，所以，，当，时，，单调递增，当，时，，因为，，所以，所以单调递增，又，，因此在，上存在唯一的零点，且．当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又，，，因此在，上存在唯一的零点，且，，当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又 ， ，，所以在，上存在唯一零点，因此在，上有两个零点，综上，的取值范围是，．2．已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，因为，，所以曲线在点，处的切线方程为．（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，当时，方程不成立，所以，令，则与的图象有两个交点，且，令，得或，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值（1），因为，且当时，，所以的取值范围是．3．已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．解：（1）依题可得，定义域为，所以．当时，由，得，由，得，则的单调递减区间为，单调递增区间为．当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和．当时，恒成立，则的单调递增区间为．当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和．（2）．方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根．令，，则．令，，则，因为在上恒成立，故在上单调递增．因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；当，时，有，即，所以单调递增．因为，（1），，所以的取值范围是．4．已知实数，设函数，．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）若，则，令，令，解得或，令，解得，函数在，单调递增，在单调递减；（Ⅱ）①当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；②当时，令，则，即有唯一实数解，当时，则，，而，显然无解；当时，若，则，而，显然无解，则，令，则它们的图象有且仅有一个交点，注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，（A）若，则；（B）若，则，时，，则存在唯一交点；（C）若，则（a）（a），，由零点存在性定理可知，存在唯一交点；综上所述，实数的取值范围为，．5．已知函数和．（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．解：（Ⅰ）函数的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为①，的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为②，由①②，解得，；（Ⅱ）方程在区间，上有解，则在区间，上有解，设，则，当时，，递增；当时，，，递减．所以的最大值为（1），所以，所以．令，则，由的导数为，可得在递增，递减，则的最小值为（1），即有恒成立，所以，所以，所以在，递减，在，递增，所以在处取得最小值1，因为与相交有解，．（e），（e），所以（1），所以，所以的取值范围为．6．已知函数，其中，令．（1）求证：当时，无极值点；（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．解：（1）证明：，则，显然，，当时，，在上为增函数，无极值点；（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：，则，显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，显然当时，；当时，，故，令，则，故在上为减函数，故当时，，即，令，则，当时，，故在单调递增，故当时，，即，故当时，，因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立．综上，存在，使得在处取得极小值．7．已知函数，．（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）函数的定义域为，，①当时，，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；②当时，令，解得或，当时，，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意；当时，，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；综上，实数的取值范围为；（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，，存在，，使得成立，即存在，，使成立，只需函数在，上的最大值大于等于，，解得，故实数的取值范围为．