2021-2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期阶段测试一数学试题含解析

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期阶段测试一数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则的值为（       ）．

A．－2 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】直接根据斜率相等，即可求得.

【详解】因为直线与直线平行，

所以斜率相等，即的值为2.

故选：D

2．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（       ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

【答案】A

【分析】根据圆和圆的位置关系，求得圆心距和半径之间的关系，即可得解.

【详解】圆的圆心为，半径等于1，

圆的圆心为，半径等于4，

所以两圆圆心距为，

恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切.

故选：A.

3．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（       ）

A．3 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【分析】根据椭圆中的关系即可求解.

【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，

所以，，可得，，

所以，可得，

所以该椭圆的短轴长，

故选：B.

4．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．

【详解】圆可化为，

所以点与圆心连线所在直线的斜率为，

则所求直线的斜率为，

由点斜式方程，可得，

整理得.

故选：A.

5．双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为：.

故选：C

6．直线被圆截得的弦长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用弦长与半径、弦心距的几何关系，求弦长即可.

【详解】可化为，则圆心坐标为，半径．

点到直线l的距离，

∴半弦长为，故截得的弦长为．

故选：C

7．已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，则p＝（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】解方程即得解.

【详解】因为到焦点F的距离为8，

所以，得.

故选：D

8．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解

【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．

由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．

故选：A

二、多选题

9．(多选)下列说法中，错误的是（       ）

A．任何一条直线都有唯一的斜率

B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C．任何一条直线都有唯一的倾斜角

D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

【答案】ABD

【详解】解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．

10．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（       ）

A．实轴长为8 B．虚轴长为4

C．焦距为6 D．离心率为

【答案】ABD

【分析】求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.

【详解】解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，

所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.

故选：ABD

11．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，则直线的方程可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，结合选项逐个验证.

【详解】因为圆的圆心为，半径为；

对于A，圆心到直线的距离，正确；

对于B，圆心到直线的距离，不正确；

对于C，圆心到直线的距离，正确；

对于D，圆心到直线的距离，正确；

故选：ACD.

12．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（       ）

A．开口向上，准线方程为y＝－

B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，准线方程为y＝－1

【答案】AB

【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.

【详解】由题设，抛物线可化为，

∴开口向上，焦点为，准线方程为.

故选：AB

三、填空题

13．圆上的点到直线的距离的最大值为______．

【答案】

【分析】利用圆心到直线距离，结合圆的半径，求圆上点到直线距离的最大值.

【详解】由题设，圆心坐标为，半径为4，

∴圆心到直线的距离为，

∴圆上的点到直线的距离的最大值为．

故答案为：

14．直线经过点，直线经过点，且，表示和之间的距离，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可知当，与过，两点的直线垂直时，取得最大值，从而可得答案

【详解】当，与过，两点的直线垂直时，，

故答案为：

15．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．

【答案】

【分析】根据题意可得间的关系，结合即可得到答案.

【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，

联立，解得，

∴椭圆的标准方程是．

故答案为：.

16．双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点P，若，则____________．

【答案】

【分析】结合点到直线的距离公式求出，进而求得，结合双曲线的定义得到，在中，结合余弦定理得到的齐次式，进而可以求出结果.

【详解】

设作直线的垂线的垂足为，过点作于，

，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，根据双曲线的定义得，

在中，,

所以，因此，即，

故答案为：.

四、解答题

17．已知的三个顶点分别为，，.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求边上的中线所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）直接由两点式求边所在直线的方程；

（2）求出点的坐标为（－4，2），再利用两点式求中线所在直线的方程.

【详解】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；

（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），

由两点式，得所在直线的方程为，即.

18．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.

（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.

【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.

由圆的圆心在直线上，知：.

又∵圆与轴相切于点，

∴，，则.

∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.

（Ⅱ）如果选择条件①：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

如果选择条件②：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

19．根据下列条件写出抛物线的标准方程：

（1）经过点；

（2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据点在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为，，将点代入即可求出；

（2）根据的几何意义结合焦点位置即可解出．

【详解】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为.

综上，抛物线的标准方程为或.

（2）由焦点到准线的距离为6，知.

又焦点在轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为.

20．已知双曲线C的中心为直角坐标系的原点，它的右焦点为，虚轴长为2．

（1）求双曲线C渐近线方程；

（2）若直线与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题设可得，写出双曲线方程，即可得渐近线方程；

（2）设交点，联立方程整理并根据一元二次方程解的性质列不等式组求k的范围．

【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为，

∴对应渐近线方程为： ．

（2）设直线l与双曲线C右支的两交点为A，B且，

联立方程，，消．

由题意得：，解得：．

∴当A，B为直线l与C右支的两个交点时．

21．有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地运费的倍﹐已知､两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系

（1）求、两地的售货区域的分界线的方程﹔

（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，设在两地的购货费用相同，利用已知条件求出点的轨迹方程，即为所求；

（2）分别化简、结合（1）中的方程可得出结论.

【详解】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，

设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，

若在两地的购货费用相同，则，

化简可得，

故在、两地的售货区域的分界线的方程为；

（2）由（1）可知，、两地的售货区域的分界线是以点为圆心，以为半径的圆，

所以，在圆上的居民从、两地购货的总费用相同.

由，可得，

所以，在圆外的居民从地购货便宜；

由，可得，

所以，在圆内的居民从地购货便宜.

【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

22．已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）待定系数法求椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，，，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积.令转化为关于t的函数，利用函数求最值.

【详解】（1）依题意得：，∴.

方程的根为或.

∵椭圆的离心率，∴，∴

∴

∴椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，

由，得，

则，

点到直线的距离为，

.

令，则.

.

∵在单调递增，

∴时.有最小值3.此时有最大值.

∴面积的最大值为.